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文档简介
2.6矩阵的初等变换矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的十分重要的运算
它在解线性方程组、求逆矩阵以及矩阵理论的研究中起着重要作用
这一节主要介绍矩阵的初等变换以及用初等变换求逆矩阵的方法.矩阵的初等变换定义10下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．矩阵的初等变换矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．定义11(初等矩阵)
对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵
称为初等矩阵
(1)对I施以第(1)种初等变换得到的矩阵
矩阵的初等变换
(2)对I施以第(2)种初等变换得到的矩阵
(3)对I施以第(3)种初等变换得到的矩阵
矩阵的初等变换定理4(初等矩阵的作用)
设Am
n
(aij)m
n
(1)对A的行施以一次某种初等变换得到的矩阵
等于用同种的m阶初等矩阵左乘A
(2)对A的列施以一次某种初等变换得到的矩阵
等于用同种的n阶初等矩阵右乘A
矩阵的初等变换
初等矩阵都是可逆的
且它们的逆矩阵仍是初等矩阵
矩阵的初等变换等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．矩阵的初等变换定理5
任意一个矩阵Am
n
(aij)m
n经过若干次初等变换
可以化为下面形式的矩阵D
矩阵D称为矩阵A的等价标准形
推论2如果A为n阶可逆矩阵
则D
In
矩阵的初等变换例39求矩阵
的等价标准型矩阵的初等变换例40求矩阵的等价标准型矩阵的初等变换定理6(矩阵可逆的充要条件)
n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积
求逆矩阵的方法：
如果A可逆,在A-1也可逆,由定理6,存在初等矩阵,使那么有即矩阵的初等变换求逆矩阵的初等行变换法
作一个n
2n的分块矩阵(A¦I)
然后对此矩阵施以仅限于行的初等变换
使子块A化为I
同时子块
I即化成A
1了
即
(1)式表示对A施以若干次初等行变换化为I,(2)式表示对I施以同样的初等行变换化为A-1.于是可以得出如下求逆矩阵的方法：矩阵的初等变换例41求矩阵的逆矩阵.解矩阵的初等变换
如果不知道矩阵A是否可逆
也可以用初等变换求逆矩阵的方法去判断
在分块矩阵(A¦I)中子块A处有一行的元素全为零
即子块A处化不成I
则A不可逆
例如子块A不能经初等变换化为I
所以A不可逆
矩阵的初等变换求逆矩阵的初等列变换法
作一个2n
n的分块矩阵
然后对此矩阵施以仅限于列的初等变换
使子块A化为I
同时子块I即化成A
1
即初等列变换矩阵的初等变换例42已知矩阵与同阶矩阵X满足，求X.解：由有所以可
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