18.2.3 正方形 (第1课时)课件 2022-2023学年人教版八年级数学

18.2.3正方形(第1课时)矩形有一个直角一组邻边相等菱形一组邻边相等有一个直角正方形你能给正方形下一个定义吗？问题1图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？问题2当CD移动到C

D

位置，此时AD

＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？ABCDABC

D

正方形是特殊的矩形.情景二：两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD矩形正方形〃〃1.矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?思考菱形∟∟∟∟正方形2.菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢?思考矩形〃〃正方形邻边相等〃〃发现：一组邻边相等的矩形叫正方形.菱形一个角是直角正方形∟发现：一个角为直角的菱形叫正方形.如何来给正方形下定义？有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?对称性：_____________.对称轴：_____________.轴对称图形4条ABCD知识点2正方形的性质总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性平行四边形中心对称图形(对角线的交点)即是中心对称图形，又是轴对称图形(两条)即是中心对称图形，又是轴对称图形(两条)即是中心对称图形，又是轴对称图形(四条)矩形菱形正方形有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系菱形正方形平行四边形矩形矩形菱形正方形平行四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.性质：1.正方形的四个角都是直角，四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.已知：如图，四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边都相等，四个角都是直角.ABCD证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°,AB=BC(正方形的定义).又∵正方形是平行四边形.∴正方形是矩形(矩形的定义),

正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD.已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.ABCDO证明：∵正方形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.例

求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.ADCBO已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O.求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.题型1利用正方形的性质求线段相等ADCBO已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O.求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.已知正方形ABCD，若E为对角线上一点，连接EA、EC.

EA=EC吗？说说你的理由.EABCD12？？解：

EA=EC.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠1=∠2=45°，又∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS).∴AE=CE.例

如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求证：∠EAD＝∠EDA＝15°

.题型2利用正方形的性质求角度ABDCE例

如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求证：∠EAD＝∠EDA＝15°

.ABDCE证明：∵

ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.已知：如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°.证明：∵CE⊥AF，

∴∠ADC＝∠AEM＝90°.又∵∠CMD＝∠AME，

∴∠1＝∠2.又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC,∴Rt△CDM≌Rt△ADF(ASA).∴DM=DF.∴∠DMF=∠DFM.∵∠ADF=90°，∴∠MFD=45°.例

如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG.ABCDEFG题型3利用正方形的性质证明线段相等例

如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG.ABCDEFG解：∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD.又∵四边形DEFG也是正方形,∴DE=DG.又∵正方形的每个内角为90°,∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC，∴∠ADE＝∠CDG.∴△AED≌△CGD(SAS).∴AE=CG.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：(1)AE=AF；(2)EA⊥AF．123已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：(1)AE=AF；(2)EA⊥AF．123证明：(1)∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°.在△ABF与△ADE中，AD=AB,∠ADE=∠ABF=90°，DE=BF,∴△ABF≌△ADE(SAS).∴AE=AF

,∠1=∠3.(2)∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°即EA⊥FA.

如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．ADBCEF如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．ADBCEFAB=BC，∠ABE=∠BCF，BE=CF，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(SAS)．1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质(

)A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等BD3．在正方形ABC中，∠ADB=_____，∠DAC=_____，∠BOC=_____.ADBCO45°90°45°4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是_________.ADBCOE22.5°

跟踪训练

B

跟踪训练

C

强化练习1.（2023·

江津区期中）下列命题正确的是(

)

DA.对角线互相垂直平分的四边形是正方形B.对角线相等的平行四边形是正方形C.对角线互相平分的矩形是正方形D.对角线相等的菱形是正方形

A

DA.①②

B.②③

C.③④