第2章2.3.2同步训练及解析

PAGEPAGE1人教A高中数学选修2-3同步训练1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较解析：选B.∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．2．已知X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝1.6，则n，p的值分别为()A．100,0.8 B．20,0.4C．10,0.2 D．10,0.8解析：选C.由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝2,np(1－p)＝1.6))，解得p＝0.2，n＝10.3．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝()A.eq\f(15,8) B.eq\f(15,4)C.eq\f(5,2) D．5解析：选A.两枚硬币同时出现反面的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，故ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,4)))，因此D(ξ)＝10×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(15,8).4．已知随机变量ξ的方差D(ξ)＝4，且随机变量η＝2ξ＋5，则D(η)＝________.解析：由D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，得D(η)＝D(2ξ＋5)＝22D(ξ)＝16.答案：16一、选择题1．下面说法中正确的是()A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值答案：C2．若ξ的分布列如下表所示且E(ξ)＝1.1，则()ξ01xP0.2p0.3A.D(ξ)＝2 B．D(ξ)＝0.51C．D(ξ)＝0.5 D．D(ξ)＝0.49解析：选D.0.2＋p＋0.3＝1，∴p＝0.5.又E(ξ)＝0×0.2＋1×0.5＋0.3x＝1.1，∴x＝2，∴D(ξ)＝02×0.2＋12×0.5＋22×0.3－1.12＝0.49.3．已知随机变量ξ～B(100,0.2)，那么D(4ξ＋3)的值为()A．64 B．256C．259 D．320解析：选B.由ξ～B(100,0.2)知随机变量ξ服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(ξ)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4ξ＋3)＝42D(ξ)＝16×16＝256.故选B.4．已知X的分布列为X012Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)设Y＝2X＋3，则D(Y)＝()A.eq\f(8,3) B.eq\f(5,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)解析：选A.D(Y)＝D(2X＋3)，又D(X)＝02×eq\f(1,3)＋12×eq\f(1,3)＋22×eq\f(1,3)－1，∴D(X)＝eq\f(2,3)，∴D(Y)＝22D(X)＝eq\f(8,3).5．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,3)，k＝3,6,9.则D(X)等于()A．6 B．9C．3 D．4解析：选A.E(X)＝3×eq\f(1,3)＋6×eq\f(1,3)＋9×eq\f(1,3)＝6.D(X)＝(3－6)2×eq\f(1,3)＋(6－6)2×eq\f(1,3)＋(9－6)2×eq\f(1,3)＝6.6．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝eq\f(3,2)，则σ(X3)的值是()A．0.5 B.eq\r(1.5)C.eq\r(2.5) D．3.5解析：选C.∵X1～B(n,0.2)，∴E(X1)＝0.2n＝2，∴n＝10.又X2～B(6，p)，∴D(X2)＝6p(1－p)＝eq\f(3,2)，∴p＝eq\f(1,2).又X3～B(n，p)，∴X3～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，∴σ(X3)＝eq\r(D(X3))＝eq\r(10×\f(1,2)×\f(1,2))＝eq\r(2.5).二、填空题7．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________.解析：D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)＝D(ξ)＝1.答案：18．已知随机变量X的分布列为：X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)则D(X)＝________.解析：E(X)＝eq\f(1,4)＋eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(29,12)，E(X2)＝1×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,3)＋9×eq\f(1,6)＋16×eq\f(1,4)＝eq\f(85,12)，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝eq\f(85,12)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,12)))2＝eq\f(179,144).答案：eq\f(179,144)9．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a、b、c成等差数列，若E(ξ)＝eq\f(1,3)，则D(ξ)＝________.解析：由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝eq\f(1,3)③，以上三式联立解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，故D(ξ)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)三、解答题10．已知η的分布列为：η010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)(1)求方差及标准差；(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．解：(1)∵E(η)＝0×eq\f(1,3)＋10×eq\f(2,5)＋20×eq\f(1,15)＋50×eq\f(2,15)＋60×eq\f(1,15)＝16，D(η)＝(0－16)2×eq\f(1,3)＋(10－16)2×eq\f(2,5)＋(20－16)2×eq\f(1,15)＋(50－16)2×eq\f(2,15)＋(60－16)2×eq\f(1,15)＝384，∴eq\r(D(η))＝8eq\r(6).(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1536.11．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．解：这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上标有2，则P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴ξ的分布列为ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝7.8.D(ξ)＝(6－7.8)2×eq\f(7,15)＋(9－7.8)2×eq\f(7,15)＋(12－7.8)2×eq\f(1,15)＝3.36.12．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分数X8090100概率P0.20.60.2乙：分数Y8090100概率P0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平．解：∵E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.