陕西省榆林市玉林第一中学高二数学理联考试卷含解析

陕西省榆林市玉林第一中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，已知b=3，c=3，A=30°，则角C等于（）A．30° B．60°或120° C．60° D．120°参考答案：D考点： 正弦定理．

专题： 解三角形．分析： 由条件利用余弦定理求得a=3=b，可得A=B=30°，从而求得C的值．解答： 解：△ABC中，∵已知b=3，c=3，A=30°，则由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc?cosA=9+27﹣18?=9，故a=3，故有a=b，∴A=B=30°，∴C=120°，故选：D．点评： 本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．2.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条

B．20条C．25条

D．10条参考答案：A略3.已知椭圆的离心率为，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为

（

） A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.下列说法正确的有(

)个①、在对分类变量X和Y进行独立性检验时，随机变量的观测值越大，则“X与Y相关”可信程度越小；②、进行回归分析过程中，可以通过对残差的分析，发现原始数据中的可疑数据，以便及时纠正；③、线性回归方程由n组观察值计算而得，且其图像一定经过数据中心点；④、若相关指数越大，则残差平方和越小。A、1

B、2

C、3

D、4命题意图：基础题。考核回归分析及独立性检验的理论基础。参考答案：C5.若双曲线的焦点到它相对应的准线的距离为2，则k等于（）

A．1B.4C.6D.8参考答案：解析：双曲线标准方程为∴

∴双曲线的焦点到相应准线的距离∴由题设得

∴应选C.6.若三棱锥P-ABC的三条侧棱与底面所成的角都相等，则点P在底面ABC上的射影一定是DABC的（

）A.外心

B.垂心

C.内心

D.重心参考答案：略7.求证：参考答案：见解析【分析】构造函数h（x）＝ex﹣x﹣1，利用导数求解函数的最值，即可证明ex≥x+1，【详解】h（x）＝ex﹣x﹣1，所以h'（x）＝ex﹣1，当x≥0时，h'（x）≥0，h（x）为增函数，当x＜0时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，所以h（x）≥h（0）＝0，所以ex≥x+1，【点睛】本题考查了导数的应用，考查了构造法的应用，函数的最值的求法，属于基础题.8.椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】本题中当椭圆短轴的端点与两焦点的张角小于90°时，∠P为直角的情况不存在，此时等价于椭圆的离心率小于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角等于90°时，符合要求的点P有两个，即短轴的两个端点，此时等价于椭圆的离心率等于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角大于90°时，根据椭圆关于y轴对称这个的点P有两个．【解答】解：当∠F1为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；同理当∠F2为直角时，这样的点P有两个；由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P也有两个．故符合要求的点P有六个．故选C．9.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列.则第30个数为(

)A.1278

B.1346

C.1359

D.1579参考答案：10.若椭圆+=1的离心率e=，则m的值为（）A．1 B．或 C． D．3或参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】分别看焦点在x轴和y轴时长半轴和短半轴的长，进而求得c，进而根据离心率求得m．【解答】解：当椭圆+=1的焦点在x轴上时，a=，b=，c=由e=，得=，即m=3当椭圆+=1的焦点在y轴上时，a=，b=，c=由e=，得=，即m=．故选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积等于

参考答案：略12.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.参考答案：0．98.【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．13.已知正方体棱长为1，正方体的各个顶点都在同一个球面上，则球的表面积为

，体积为

。参考答案：

14.已知则

．参考答案：－1/9略15.设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为

．参考答案：16【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）?（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）?（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题．16.已知集合A={1，a}，B={1，3}，若A∪B={1，2，3}，则实数a的值为．参考答案：2利用并集的性质求解．解：∵集合A={1，a}，B={1，3}，若A∪B={1，2，3}，∴a=2．故答案为：2．17.正项等比数列{an}满足a2a4＝1，S3＝13，bn＝log3an，则数列{bn}的前10项和是

参考答案：-25三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是一条渐近线的方程是

（1）求双曲线C的方程；

（2）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.

参考答案：（1）解：设双曲线C的方程为由题设得

解得

所以双曲线C的方程为（2）解：设直线l方程为点M，N的坐标满足方程组①

②

将①式代入②式，得整理得此方程有两个不等实根，于是，且整理得

.

③由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（）满足

从而线段MN的垂直平分线的方程为此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为由题设可得

整理得将上式代入③式得，整理得解得所以k的取值范围是

19.过点M(0，1)作直线，使它被两已知直线l1:x－3y+10=0和l2:2x+y－8=0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程.参考答案：解法一：过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设直线方程y=kx+1，若与两已知直线分别交于A、B两点，则解方程组可得xA=,xB=.

由题意+=0,∴k=－.故直线方程为x+4y－4=0.解法二：设所求直线方程y=kx+1,代入方程(x－3y+10)(2x+y－8)=0，得(2－5k－3k2)x2+(28k+7)x－49=0.由xA+xB=－=2xM=0,解得k=－.∴直线方程为x+4y－4=0.解法三：∵点B在直线2x－y－8=0上，故可设B(t,8－2t)，由中点公式得A(－t,2t－6).

∵点A在直线x－3y+10=0上，∴(－t)－3(2t－6)+10=0,得t=4.∴B(4,0).故直线方程为x+4y－4=0.

20.如图所示，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，SA⊥平面ABCD，且AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AD=2，AB=AS=．（Ⅰ）求证：SB⊥BC；（Ⅱ）求点A到平面SBC的距离；（Ⅲ）求面SAB与面SCD所成二面角的大小．参考答案：（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，又SB?平面SAB，∴SB⊥BC．（2）解：以A为原点，以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得S（0，0，），A（0，0，0），B（0，，0），C（2，，0），D（0，0，1），，设平面SBC的法向量，则，取y=1，得，，∴点A到平面SBC的距离d==．（Ⅲ）解：=（1，0，），，设平面SAD的法向量，则，令c=1，得，又平面SAB的法向量，∴cos＜＞=，∴面SAB与面SCD所成二面角的大小为45°．略21.（12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；（Ⅱ）求BD与平面ABC所成角的大小；（Ⅲ）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥AB，PA⊥AC，由此能证明PA⊥平面ABC．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD与平面ABC所成角．（Ⅲ）求出平面ABD的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角D﹣AB﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA=AB=1，PB=，∴PA⊥AB，…（1分）∵底面是正三角形，∴AC=AB=1，∵PC=，∴PA⊥AC，…（2分）∵AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，∴PA⊥平面ABC．…（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（，0），P（0，0，1），…∴D（），=（﹣）．…平面ABC的法向量为=（0，0，1），…（6分）记BD与平面ABC所成的角为θ，则sinθ==，…（7分）∴，∴BD与平面ABC所成角为．…（8分）（Ⅲ）设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，﹣）．

…（11分）记二面角D﹣AB﹣C的大小为α，则cosα==，∴二面角D﹣AB﹣C的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的