湖南省长沙市楚才高级中学2022年高二数学理模拟试卷含解析

湖南省长沙市楚才高级中学2022年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆和定点若过点作圆的切线有两条，则的取值范围是

参考答案：D略2.已知a，b都是实数，那么“”是“”的（

）A.充要条件

B．必要不充分条件

C.充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：D由可得a>b，但a,b的具体值不知道，当a=1，b=-2时成立，但无法得到故充分性不成立，再由，例如a=-2，b=-1，但得不到，故必要性也不成立，所以综合得：既不充分也不必要

3.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．an=n2﹣（n﹣1） B．an=n2﹣1 C．an= D．参考答案：C【考点】数列的概念及简单表示法．

【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】仔细观察数列1，3，6，10，15…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+n=，便可求出数列的通项公式．【解答】解：设此数列为{an}，则由题意可得a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…∴第n项为1+2+3+4+…+n=，∴数列1，3，6，10，15…的通项公式为an=，故选C．【点评】本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．4.已知命题P：函数y=sinx在x=a处取到最大值；命题q：直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切；则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的图象和性质，可得命题p：a=1+4k，k∈Z；根据直线与圆的位置关系，可得命题q：a=1，或a=9，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：当x=+2kπ，k∈Z，即x=1+4k，k∈Z时，函数取到最大值；故命题p：a=1+4k，k∈Z；若直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切，则=2，解得：a=1，或a=9，即命题q：a=1，或a=9，故p是q的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，函数的最值及其几何意义，直线与圆的位置关系，难度中档．5.直线x－y=0的倾斜角为（

）．A．－1

B．1

C．

D．参考答案：C，，，∴．故选．6.某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.函数的递增区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.“若存在一条与函数y＝的图象有两个不同交点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线，使y＝在x＝处的切线与此直线平行”，则称这样的函数y＝为“hold函数”；下列函数：①y＝；②y＝(x>0)；③y＝；④y＝lnx；其中为“hold函数”的是（

）A．①②④

B．②③

C．③④

D．①③④

参考答案：B略9.某校从6名教师（含有甲、乙、丙）中选派3名教师同时去3个边远地区支教（每地1人），其中甲和丙不同去，甲和乙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有（

）A．120种

B．90种

C．42种

D．36种参考答案：C分两步，第一步，先选三名老师，又分两类第一类，甲去，则乙一定去，丙一定不去，有C31=3种不同选法第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C43=4种不同选法∴不同的选法有3+4=7种第二步，三名老师去3个边远地区支教，有A33=6，根据分步计数原理得不同的选派方案共有，7×6=42．故选：C．

10.如图，为测得对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东方向是15°方向走30m到位置D，测得∠BDC=30°，则塔高是(

)A．15m B．5m C．10m D．15m参考答案：D【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=30，∠BCD=105°，∠BDC=30°，∠CBD=45°由正弦定理可得BC==15∴x=15∴x=15故塔高AB为15m故选：D．【点评】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.读下面的流程图，若输入的值为－5时，输出的结果是_________.

参考答案：212.点是直线上的动点，点分别是圆和圆上的两个动点，则的最小值为

参考答案：13.设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为9x+y﹣1=0，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

．参考答案：7x+y=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由切线方程可得g（1）=﹣8，可得f（1）=g（1）+1，求出g′（1）=﹣9，求出f（x）的导数，可得f′（1）=g′（1）+2，由点斜式方程即可得到所求方程．【解答】解：曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为9x+y﹣1=0，可得g（1）=﹣8，g′（1）=﹣9，则f（1）=g（1）+1=﹣8+1=﹣7．由f′（x）=g′（x）+2x，可得f′（1）=g′（1）+2=﹣9+2=﹣7，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=﹣7（x﹣1），即为7x+y=0，故答案为：7x+y=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．14.把53名同学分成若干小组，使每组至少一人，且任意两组的人数不等，则最多分成

个小组.参考答案：9∵，又，∴，即将8个人从第二组开始每组分1人，从而得到第一组1人，第二组3人，第三组4人，……，第九组10人，由此可得至多可以分为9个组．

15.若，则二项式展开式中含的项的系数是________.参考答案：240略16.将参数方程（t为参数），转化成普通方程为_______．参考答案：【分析】将参数方程变形为，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为，两等式平方得，上述两个等式相减得，因此，所求普通方程为，故答案为：.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.17.动圆M过点（3，2）且与直线y=1相切，则动圆圆心M的轨迹方程为．参考答案：x2﹣6x﹣2y+12=0【考点】轨迹方程．【分析】设出圆的坐标，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】解：设动圆圆心M（x，y），动圆M过点（3，2）且与直线y=1相切，可得：，化简可得x2﹣6x﹣2y+12=0．则动圆圆心M的轨迹方程为：x2﹣6x﹣2y+12=0．故答案为：x2﹣6x﹣2y+12=0．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.参考答案：略19.（1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求证：+≥4．（2）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值．参考答案：【考点】不等式的证明；曲线与方程．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】（1）通分后对分母使用基本不等式；（2）将4x2+y2+xy=1移项后得4x2+y2=1﹣xy≥4xy，从而得出∴xy≤．将所求式子两边平方可求出最大值．【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴xy≤（）2=∴+==≥4．（2）∵4x2+y2+xy=1，∴4x2+y2=1﹣xy≥4xy，∴xy≤．∴（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+3xy≤，∴﹣≤2x+y≤．∴2x+y的最大值是．【点评】本题考查了基本不等式的应用，是基础题．20.在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．(1)求随机变量=5的概率；(2)求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：(1)、可能的取值为、、，，且当或时，又有放回摸两球的所有情况有种，

(2)的所有取值为．时，只有这一种情况．时，有或或或四种情况，时，有或两种情况．，，，则随机变量的分布列为：

因此，数学.略21.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.1）证明B1C1⊥CE;2）求二面角B1-CE-C1的正弦值.参考答案：1）如图,以点为原点建立空间直角坐标系,依题意得,,,,,.证明:易得,,于是,所以.

2）.设平面的法向量为,则即,消去,得,不妨令,可得一个法向量为.由1问知,,又,可得平面,故为平面的一个法向量.于是,从而,所以二面角的正弦值为.22.（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．参考答案：（1）；（2）b=．（1）由正弦定理得：===2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：，化简得：