高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用

高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用重庆理工大学毕业设计高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用目录摘要........................................................................IAbstract...................................................................II第一章绪论.............................................................11.1数字图像处理.........................................................11.2选题背景及目的.......................................................21.2.1图像去噪的重要意义.......................................................21.2.2图像去噪的技术背景及研究现状.............................................3第二章图像去噪技术研究现状.............................................52.1常用的图像平滑技术...................................................52.1.1简单的线性平均法.........................................................52.1.2空域低通滤波技术.........................................................62.1.3统计排序滤波.............................................................62.1.4小波变换去噪.............................................................72.1.5基于非线性偏微分方程的去噪...............................................72.1.6基于全变差的图像去噪模型.................................................7第三章TV去噪模型..........................................................9**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用3.1变分原理.............................................................93.2全变差去噪模型......................................................103.3雅可比迭代..........................................................113.4高斯赛德尔迭代......................................................12第四章用高斯赛德尔迭代处理L1/TV去噪模型..................................144.1理论基础............................................................144.2收敛性分析..........................................................174.3去噪算法............................................................22第五章数值试验............................................................265.1算法1程序..........................................................265.2算法2程序..........................................................295.3结果比较............................................................32致谢.......................................................................32参考文献...................................................................33重庆理工大学毕业设计高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用摘要图像是人们认识客观世界最重要的手段之一。在数字图像处理中，由于受到成像方法和条件的限制以及外界干扰，图像信号不可避免地受到噪声信号污染。图像中的边缘、细节特征等重要信息常湮没于噪声信号中，给图像的后记处理如边缘检测、图像分割、图像匹配等带来很大影响，所以有必要对图像在预处理阶段去噪。图像去噪是图像预处理中一项应用非常广泛的技术，其原理是利用噪声信号和图像信号在频域上的分布的不同进行的。L1/TV是一种噪模型的成功在于利用了自然图像内在的正则性，易于从噪声图像的解中反映真实图像的几何正则性，比如边界的平滑性。将高斯赛德尔迭代用在L1/TV去噪模型中可以加速程序的运行。关键词:图像去噪,L1/TV去噪模型,高斯赛德尔迭代I**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用AbstractWecometoknowtheworldbyimagesusually.Indigitalimageprocessing,duetotheimagingmethodsandoutsideinterference,theimagesignalisinevitablycontaminatedbynoisesignals.Edgesintheimage,minutiaeandotherimportantinformationoftenburiedinthenoisesignalintheafterwordtotheimageprocessingsuchasedgedetection,imagesegmentation,imagematching,etc.haveagreatimpact,itisnecessaryforimagedenoisinginthepreprocessingstage.Imagedenoisingofimagepreprocessinginaverywiderangeoftechnicalapplications,theprincipleistheuseofnoisesignalsandimagesignalsinthefrequencydomainforthedistributionofdifferent.L1/TVisanoisemodel'ssuccessliesintheinherentadvantageofthenaturalimageofregular,easysolutionfromthenoiseintheimagereflectthetrueimageofthegeometricregularity,suchasthesmoothnessoftheboundary.IterationisusedintheGauss-SeidelL1/TVdenoisingmodelcanacceleratetheprogramtorun.Resistance,suchasthesmoothnessoftheboundary.Keywords:Imagedenoising,L1/TVdenoisingmodel,Gauss-SeideliterationII重庆理工大学毕业设计高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用第一章绪论图像信息作为传递信息的重要媒体和手段，在日常的学习和生活中，图像都是必不可少的组成部分，他为人类构建了一个形象的思维模式，有助于我们学习，思考问题。俗话说“百闻不如一见”，“一目了然”都反映了图像在传递信息中的独到之处。1.1数字图像处理数字图像又称为数位图像，是二维图像用有限数字数值像素的表示。数字图像是由模拟图像数字化得到的、以像素为基本元素的、可以用数字计算机或数字电路存储和处理的图像。数字图像可以表示为一个矩阵F,(u)i,jM，Nu,u(i,j),1,i,M,1,j,N,0,u,255其中，i,ji,j数字图像处理最早出现于20世纪50年代，当时的电子计算机已经发展到一定水平，人们开始利用计算机来处理图形和图像信息。数字图像处理作为一门学科大约形成于20世纪60年代初期。早期的图像处理的目的是改善图像的质量，它以人为对象，以改善人的视觉效果为目的。图像处理中，输入的是质量低的图像，输出的是改善质量后的图像，常用的图像处理方法有图像增强、复原、编码、压缩等。首次获得实际成功应用的是美国喷气推进实验室(JPL)。他们对航天探测器徘徊者7号在1964年发回的几千张月球照片使用了图像处理技术，如几何校正、灰度变换、去除噪声等方法进行处理，并考虑了太阳位置和月球环境的影响，由计算机成功地绘制出月球表面地图，获得了巨大的成功。随后又对探测飞船发回的近十万张照片进行更为复杂的图像处理，以致获得了月球的地形图、彩色图及全景镶嵌图，获得了非凡的成果，为人类登月创举奠定了坚实的基础，也推动了数字图像处理这门科学的诞生。在以后的宇航空间技术，如对火星，土星等星球的探测研究中，数字图像处理技术都发挥了巨大的作用。数字图像处理取得的另一个巨大成果是在医学上获得的成果。1**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用1.2选题背景及目的1.2.1图像去噪的重要意义现实中数字图像在数字化传输过程中常受到成像设备与外部环境噪声干扰等影响，称为含噪图像或噪声图像。减少数字图像中噪声的过程称为图像去噪。图像去噪从整个图像分析的流程上来讲属于图像的预处理阶段，从数字图像处理的技术角度来说属于图像恢复和图像的交叉范畴，它的的存在有着非常重要的意义，主要表现在:(1)由于不同的成像机理，得到的初始图像中都含有大量不同性质的噪声，这些噪声的存在影响着人们的对图像的观察，干扰人们对象信息的理解。噪声严重的时候，图像几乎产生变形，更使得图像失去了存储信息的本质意义。显然，对图像进行去噪处理是正确识别图像信息的必要保证。(2)除了能提高人类视觉识别信息的准确性，对图像进行去噪的意义还在于它是对图像作进一步处理的可靠保证。如果对一副含有噪声的图像进行特征提取，配准或者图像融合等处理，其结果肯定不能令人满意，所以图像去噪是必需的。另外，噪声影响图像处理中图像输入，采集，处理的各个环节以及输出结果的全过程。特别是图像采集阶段的噪声是个关键的问题，若输入有较大噪声的信号，那么必然影响图像处理的全过程，以至影响输出结果。因此去噪是图像处理中极重要的步骤，一个良好的图像处理系统不论是模拟处理还是数字处理，都把第一级的噪声减少作为重要工作。例如，气象卫星接收的前级放大要求用液氮冷却方法器。噪声是图像干扰的重要原因。一副图像在实际应用中可能存在各种各样的噪声，这些噪声可能在传输中产生，也可能在量化等处理中产生。根据噪声和信号的关系可将其分为三种形式:(1)加性噪声，此类噪声与输入图像信号无关，含噪图像可表示为:f(x,y)g(x,y)n(x,y),，,信道噪声及光导摄像管的摄像机扫描图像时产生的噪声就是这类噪声。(2)乘性噪声，此类噪声与图象信号有关，含噪图象可表示为:f(x,y)g(x,y)n(x,y)g(x,y),，,飞点扫描器扫描图像时的噪声，电视图像中的相干噪声，胶片中的颗粒噪声就属于此类噪声。(3)量化噪声，此类噪声与输入图像信号无关，是量化过程存在量化误差，再反映到接收端而产生。2**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用其中表示给定原始图像，表示图像信号，表示噪声g(x,y)n(x,y)f(x,y)图像去噪指的是利用各种滤波模型，通过多点平滑等方法从已知的含有噪声的图像中去掉噪声成分。一般而言，人们希望知道的是真实图像，而观测到的往往都是受了不可预知的噪声污染了的图像。这些噪声的存在使得多观测到图像模糊不清，该注意的细节被忽略，该识别的目标变得不可识别，严重影响了图像的应用效果。为了抑制图像中的噪声，可以用是很多常规的方法，例如均值滤波、中值滤波、顺序统计滤波、维纳滤波、低通滤波，以及由这些滤波方法衍生而来的许多其他滤波器，包括模糊滤波器、基于边缘特征的滤波器、自适应均值滤波器等，上述各种滤波方法都在一定程度上滤除图像中存在的噪声。但是，这些常规的方法在滤除噪声的同时，往往会损失目标图像中的高频信息，引起边缘和纹理的模糊。所以，在去除噪声的过程中，存在噪声抑制与边缘保留(不损失空间分辨率)之间的矛盾，有必要寻找更好的去噪方法，在抑制噪声的同时，还能保持边缘和纹理信息，以便更好地恢复噪声污染引起的图像质量退化。1.2.2图像去噪的技术背景及研究现状图像去噪的方法从处理域的角度可以划分空域去噪和频域去噪两种处理方法，前者是在图像本身存在的二维空间里对其进行处理，根据不同的性质又可以分为线性处理方法和非线性处理方法;而后者则是用一组正交函数系来逼近元图像信号函数，获得相应的系数，将对原信号的分析转化到了对应的系数空间域，即频域中进行。空间域的线性滤波算法理论发展较为成熟，数字分析简单，对滤除与信号不相关的随机噪声效果显著，但是它本身存在着明显的缺陷，如需要随机噪声的先验统计知识，对图像边缘细节保护能力较差等，特别是后者使得线性滤波无法很好的适应于图像的噪声滤除处理。与线性滤波相对应的非线性滤波大都考虑到了人的视觉标准和最佳滤波准则，提高了图像分辨率和边缘保护能力，特别是一些改进后的非线性滤波方法一般都具有一定的自适应性，这就使得非线性滤波的功能更为强大，可以广泛地应用到医学、遥感等领域的图像处理中。1971年，图基(Turky)提处理中值滤波的思想，并首先应用于世界序列的分析中，后来这种方法被引入到图像处理中，用来滤除图像的噪声收到了良好的效果。随之而来的各种中值滤波的改进方案。其中有一种被称为自适应加权中值滤波的改进算法引起了人们的关注，这种方法最突出的特点是具有自适应的性能并且对图像的边缘保护能力较传统算法具有明显提高。3**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用基于频域的数字滤波方法最早可以追溯到傅立叶变换的使用。1822年法国数学家Fourier在研究热传导理论时提出并证明了将周期函数展开为正玄级数的原理，奠定了傅立叶变换的理论基础。1946年Gabor在傅立叶变换的基础上提出了一种加窗傅立叶变换(也称为短时傅立叶变换)，通过特定的平移窗函数来分解信号的频谱，提取出的它的局部信息，提高时间分辨能力。这种思想为后来的小波多尺度分析信号思想的引入起到了启发作用。小波分析的概念是由法国从事石油勘测信号处理的地球物理学家Morlet在1984年提出来的。1986年著名数学家Mcyer和Mallat合作建立了构造小波函数的统一方法——多尺度分析，从此小波分析已经深入到了非线性逼近、统计信号处理等领域，其特殊的时频分辨能力使它已经基本取代了传统的频域分析方法。4**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用第二章图像去噪技术研究现状2.1常用的图像平滑技术常用的图像平滑技术可以在空间域或者频率域进行处理。一般可以分为线性滤波和非线性滤波。2.1.1简单的线性平均法简单的线性平均算法是一种直接在空间域上进行平滑处理的技术。假设图像是许多灰度恒定的小块组成，相邻像素间存在很高的空间相关性，而噪声则是统计独立的。故可用像素领域内的各像素的灰度平均值代替该像素原来的灰度值，实现图像的平滑。就是对含有噪声的原始图像的每个像素点取一个邻域S，计算S中所有像素灰度的平均值，u(x,y)再把此灰度值赋予该区域的中点，作为该点的新灰度，典型公式为:(x,y)g(x,y)1g(x,y),u(x,y)(2.1),M(x,y),SN，NSS式中为;x,y0,1,2,,N1,,？;为邻域中的像素点数，邻域可取四点Mu(x,y)邻域、八点邻域。简单线性平均法的处理效果与所用的邻域半径有关。半径越大，则图像的模糊成都也越大。另外简单线性平均法算法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使用图像产生模糊，特别在边缘和图像细节处，邻域越大，模糊越厉害。为了减少这种效应，对上述算法稍加改进，可以导出一种超限像素平滑法(阈值法):11,u(x,y),|u(x,y)u(x,y)|T,,,,,g(x,y),MM(2.2),(x,y),S(x,y),S,u(x,y),其他,式中T为选定的一个非负阈值。对于一个给定的半径，利用阈值法可以减少由于邻域平均所产生的模糊效应。这种算法对抑制椒盐噪声比较有效，对保护仅有微小灰度差的细节及纹理也有效。为解决邻域平均法造成图像的模糊问题，可采用阈值法、K点邻域平均法、梯度倒数加权平滑法、最大均匀性平滑法、小斜面模型平滑法等。他们讨论的重点都在于如何选择邻域的大小、形状和方向，如何选择参加平均的点数以及邻域各点的权重系数等。5**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用2.1.2空域低通滤波技术从信号频谱角度来看，信号的缓慢变化部分在频率域属于低频部分，而信号的迅速变化部分在频率域属于高频部分。对图像信号来说，它的边缘频率分量和噪声都处于频率域较高部分。因此可以从空间域的卷积来实现，为此只要适当地设计空间域系统的单位脉冲响应矩阵就可以达到滤除噪声的效果，即采用下式:kl(2.3)g(x,y),u(x,r,y,s)H(r,s),,,,,,rkklg(x,y)为滤波输出的数字图像，u(x,y)是待滤波的噪声图像，H(r,s)是设定的模板(滤波器)的响应，模板的尺寸一般取奇数(如等)，这样是为了可以把待处理像素置3，3,5，5于模板中央，避免有像素的位差。由于模板尺寸小，因此具有计算量小、使用灵活、适于3，3并行运算等优点。常见的低通滤波器(模板)有:111111121，，，，，，11,,,,,,1,111,,121,,242HHH12316,,,,,,910,,,,,,111111121，，，，，，2.1.3统计排序滤波统计排序滤波是一种非线性的空间滤波技术，它的响应基于图像滤波器包围的图像区域中像素的排序，然后由统计排序结果决定的值代替中心像素的值。统计滤波器最常见，应用最广泛的就是中值滤波器，中值滤波也是当前应用最广泛的空间域非线性滤波技术，它由于在实际运算过程中并不需要图像的统计特性，所以比较方便。中值滤波首先是被应用在一维信号处理技术中，后来被二维图像信号处理技术所引用。对于一定类型的随机噪声，它提供了一种优秀的去噪能力，比小尺寸的线性平均滤波器的模糊程度明显要低，它对处理脉冲噪声(椒盐噪声)最为有效。这是因为中值滤波的输出像素是由邻域像素点的中间值决定的，因而中值滤波对极限像素(与周围像素灰度值差别较大的像素)远不如线性平均法敏感，从而可以消除孤立的噪声点，产生较少的模糊。但是对一些细节多，特别是点、线、尖顶细节多的图像不宜采用中值滤波的方法。6**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用2.1.4小波变换去噪近年来，小波变化理论得到了非常迅速的发展，而且由于其具备良好的时频局部化能力和多分辨率分析能力，因而在图像处理各邻域有非常广泛的应用。在去噪邻域中，小波理论深受许多学者的重视，他们应用小波变化进行去噪，并获得了非常好的效果。小波分析在信号去噪方面所变现出的优势及其潜力一直是研究的热点，而且也取得了一定的成果。目前，小波去噪方法大概可分为三大类:第一类方法是Mallat提出的小波变换极大值去噪方法;第二类方法是基于小波变换的相关去噪方法;第三类是Donoho提出的阈值方法。2.1.5基于非线性偏微分方程的去噪偏微分方程去噪理论首先是从高斯滤波引入的，理论研究和数值运算均表明，大部分线性滤波算子的极限都是一个微分算子。并且它是一个热传导方程的解。它可以视为一个各向同性均匀的热扩散过程，一个自然的想法就是考虑利用图像结构的先验信息，减少在边缘处的扩散以在去噪的同时更好地保持边缘。一个简单的思路是将梯度算子作为边缘检测算子，来控制扩散的速度。2.1.6基于全变差的图像去噪模型最具有代表性的变分模型是由Rudin等提出的全变差(TV)去噪模型，此模型的优点是在有效地去除噪声的同时可以很好地保持原图像的边缘特征，但是该模型的缺点是会产生阶梯效应，近几年高阶模型已被证明是抑制阶梯效应的有效方法之一。在实践中，在噪声中估计一个真实的信号，最常用的方法是基于最小二乘法的。理由来自一个统计，统计参数表明最小二乘法估计是整个系统的所有照片中最好的。这个过程是范数依赖。然而，它被推测出来。它认为适当的标准图像是总变差(TV)的标准，而不是L2范数。TV规范本质是L1规范衍生品，因此，L1估计程序更适合主题的图像估计(恢复)。当准确估计不连续的解决方案是必需的时候，有界总变差的空间函数扮演一个重要的角色。在历史上，L1评估方法将回溯到伽利略(1632)和拉普拉斯(1793)。相比于封闭形式的线性解决方案的最小二乘法是好理解和容易计算的特性，L1估计法是非线性和计算复杂的。最近，L1估计这个话题的统计数据重新受到统计界的关注。借鉴以往的与冲击相关的图像增强经验，我们提出去噪图像通过最小化总变差范数估计的解决方案。我们得出一7**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用个约束优化算法，就是一个随时间变化的非线性偏微分方程，其中的限制是噪声统计。传统的方式是在试图减少或者移除噪声成份之前先做进一步的图像处理操作。这是本文采取的方法。然而，同样的TV/L1理念可以用来设计与其他噪声敏感处理任务相结合去噪的混合算法。8**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用第三章TV去噪模型3.1变分原理,D变分预备定理:设D为某平面区域，它的边界为，函数，以及对任意f(x,y),c(D)函数，且，都有,(x,y)|,0,(x,y),c(D),D(3.1)f(x,y),(x,y)dxdy,0,,D则在区域D上，。f(x,y)0,探求泛函:,,uu,(3.2)V[u(x,y)]F(x,y,u,,)dxdy,,,,ryD的极值。其中满足一定的边界条件，且二阶可微。根据一个自变量函数的泛函的泛u(x,y)函性质，函数V的一阶变分(3.3),V(u,,),I(u，,),I(u)用泰勒级数展开，可得,,,,,FFF,,,，，V(u,)()dxdy(3.4),,,,,,,,,,uxpyqD,u,u,(x,y)且在边界,D上为零，而p,,q,其中:,,,x,y函数V去得其极值的一个必要条件是，它的一阶变分为零，即,F,,F,,F,,V(u,),(，，)dxdy,0(3.5),,,,,,u,x,p,y,qD上式可写为,,,,,FFF,,,,V(u,,),(()())dxdy,,,,,,,uxpyqD,,F,,F,w,F,,F,,((()，())，(，))dxdy,0+,,,,x,p,y,q,x,p,y,qD由格林公式，上式可简化为9**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用,F,,F,F,F(3.6),V(u,,),w(,())dxdy，w(dx,dy),0,,,,u,r,q,p,qD,,,(x,y),D因为在边界上为零，方程中第二个积分为零。但是在区域D不为零，,(x,y)且是任意的，由变分预备定理，在使极值实现的曲面上，有u,u(x,y),F,,F,,F(3.7),(),(),0,u,x,q,y,q,,uu即函数使泛函V[(,)],(,,,,)取极值的必要条件是满足偏微分uxyFxyudxdyu(x,y),,,,xyD,F,,F,,F方程这就是具有两个独立自变量的Eular-Largrange方程。,(),(),0,u,r,p,y,q3.2全变差去噪模型全变差(TV，TotalVariation)去噪模型的成功在于利用了自然图像内在的正则性，易于从噪声图像的解中反映真实图像的几何正则性，比如边界的平滑性。1992年，Rudin，Osher，Fatemi等人得全变差引入图像处理领域用以解决图像去噪问题。他们提出如下带限制条件的极小化方程:minE(u),|,u|dxdy(3.8)u,,,u其中满足如下的两种约束:u(x,y)dxdy,u(x,y)dxdy0,,,,,,122(u(x,y),u(x,y))dxdy,,0,,,,2假如所加噪声的均值为零，方差为,。通过引入拉格朗日乘子可以转化为一个与其相应,的不带限制条件的极小化问题,2minE(u),,udxdy，u(x,y),u(x,y)dxdy(3.9)u0,,,,2,,,,0其中是拉格朗日乘子，与原来的极小化问题相应的Eular-Lagrange方程的发展方程的初边界问题为:10**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用,u,udivuu,(),(,),t0,u,,(3.10)uxyuxy(,:0),(,),0,,u|0,，,,,，H,n,为参数，当较大时，对应极小值较小，即比较光滑;当较小时，对应极u,udxdy,,,,,,小值较大，即比较粗糙，但是能起到保护突出边缘信息的作用，减少误差。u,udxdy,,,Strong，Blomgrem和Chan等人将ROF模型中的系数取为空间变量x的函数，提出具有尺度和空间适应性的多变差格式,2(3.11)minE(u),((x,y),u，u,u)dxdy,u0,,2,其中称为边缘检测函数，它赖于细节信息和噪声水平。一般地，选为光滑单调减,(x),(x)函数，在图像边缘处为0，区域内部取1，通常1,(x),g(,G*u),,k,01，k,G*u(3.12)与上式的Eular-Lagrange方程相应的发展方程为,uu,div,((x,y)()),,(u,u)(3.13)t0,uu(x,y:0),u(x,y)初始条件为。0该模型允许根据图像的梯度模大小实现有选择的扩散磨光，这样模型在边缘处实行弱光滑以保护重要信息。3.3雅可比迭代设线性方程组Ax,ba,a,,a？的系数矩阵A可逆且主对角元素均不为零,令1122nn，，D,diaga,a,...,a1122nn并将A分解成，，A,A,D，D从而(1)可写成11**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用，，Dx,D,Ax，b令x,Bx，f11,,11其中.B,,,IDA,fDb11为迭代矩阵的迭代法(公式)以B11，，，，k，kx,Bx，f11称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为n1，1(k)(k)x,b,ax,,,iiijj,1jaii,,ji,i,1,2,...n,k,0,1,2,...,0(0)(0)(0)T其中为初始向量.x,(x,x,,x)？12n由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电(k)(k1)，算时需要两组存储单元,以存放及xx。3.4高斯赛德尔迭代k(k1)，由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用x的全部分量来计算的x(k1)，(k1)(k1)，，所有分量,显然在计算第i个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用，xx,,x？1i1,i从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第(k1)，(k1)，xk1，次近似x的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德(Gauss-Seidel)j迭代法.把矩阵A分解成A,D,L,U,,L,UDdiag(a),,a,,a？其中,分别为A的主对角元除外的下三角和上三角部分,于1122nn是,方程组(1)便可以写成，，D,Lx,Ux，b即x,Bx，f22其中12**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用,1,1，，，，B,D,LU,f,D,Lb22以为迭代矩阵构成的迭代法(公式)B21，，，，k，kx,Bx，f22称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用量表示的形式为i,1n1(k，1)(k，1)(k),,x,b,ax,ax,,iiijjijjj,，11j,ia,ii,i,1,2,？n,k,0,1,2,...,由此看出,高斯—塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元(k1)，(k)(k1)，(k)(计算出后不再使用,所以用冲掉,以便存放近似解.xxxxiiii13**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用第四章用高斯赛德尔迭代处理L1/TV去噪模型4.1理论基础mm一个图像可以看作在空间下的一个向量，表示一个图像的列按照顺序连接起来，RR21我们用和分别表示内积和在欧几里德空间H下范数，当然用来表示范数。,,,,,ll||,||||,||1在欧几里德空间H下的特展函数，即，有一个非空的域(函数所表示的集H,{，,},,合是有限的集合)，的邻近云算子用prox表示，它是一个H到自身的映射，对于一个给,,x,H定的向量来说，可以得到:12prox,argmin{,(u)，||u,x||:u,H},2函数的次微分定义为:,,,(x):,{y:y,H,,(z),,(x)，,y,z,x,对于所有的z,H}函数的次微分和的邻近元算子是密切相关的，特别对于在下，我们可以得x,,,y,H,,到y,,,(x)当且仅当x,prox(x，y)(4.1),对于这个关系的讨论，请看文献[10]。我们考虑的的变分问题就是:m(4.2)min{,||u,x||，(,,B)(u):u,R}1mm,RR其中x是一个给定的向量在下，是一个正数，是一个在下的凸函数，B是一个,2m，mn，m的矩阵。在L1/TV模型中，B是一个的一阶微分矩阵，是在非同向全变差下,12的范数或者是同向性全变差下的范数，因此，函数是在图像去噪的模型中正则项ll,,B全变差的通用形式。由于这个原因，我们称上面的变分模型为L1/TV模型，我们的主要目标是提供一个解决L1/TV模型的可选标号。L1/TV模型允许我们通过使用高斯赛德尔组件来加快结果邻近算法。mm,令，为一个正数，如果是变分问题(2)的的一个解，那么对于任意x,Ru,R2，存在一个向量有b,R,,,,014**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用T(4.3)u,x，prox(u,x,,Bb)1||,||1,(4.4)b,(I,prox)(Bu，b)1,,,,当(4.5):,,,mm相反地，如果存在满足等式(3)和(4)那么u就是变分问题(2),,0,,,0,b,R,u,R的一个解。固定点等式(3)和(4)产生迭代算法对于一个变分问题的解。特别地，对于给定的向量0m0n和，N是所有自然数的集合，我们得到:k,N:,{0},Nu,R,b,R0k，1kTk,,，,,uxprox(uxBb),1||,||1,,,k，1k，1k(4.6)b,(I,prox)(Bu，b)1,,,,，文献【10】提供对于算法(6)的实现需要一个有效、方便的方法计算出prox,prox11,,||||1,,1proxprox计算的一个显式的公式，可以被确定为著名的收缩算子在阈值下。尽管11||,||||,||11,,,1在函数下计算出是很难的，然而，在图像处理环境喜爱，函数是或者是范prox,,l||,||11,,数的变体，因此就可以很容易的计算了。prox1,,mkknR这个迭代算法产生一个序列在下和一个序列，我们把这D:,(u:k,N)B:,(b:k,R)mmkkR，R两个序列合并成一个序列在中。更详细地说，参数在U，B:,((u,b):k,N),,,算法中是如何迭代更新的，将会在第4部分提供，这里面的邻近算法将会在MSXZ中引用到。一个MSXZ的仔细检查显示了特定组件的高斯赛德尔迭代应用算法和原始的原始的算法是一样的，换句话说，特定组件的高斯赛德尔爹地应用算法并不会改变这个算法。这使得我们重新调整描述L1/TV模型的解为了能用高斯赛德尔迭代策略加速算法。最后，对一个正n，m数和一个矩阵，我们定义,TB,I,,BB,我们得出L1/TV模型解的一个可选标号如下:15**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用m让x在中，是一个正数，如果u是变分问题(2)的一个解那么对于任意的正数，,R,,,,0n存在两个向量d,b在中有:RT(4.7)u,x，prox(Bu,x,,B(b,d))1,||,||,(4.8)d,prox(Bu，b)1,,(4.9)b,Bu，b,dnnm当是在(5)中定义的正数，相反地，如果存在满足等,,,0,,,0,d,R,b,R,u,R式(7)(8)(9)，那么u就是变分问题(2)的一个解。m基于不动点等式(7)，(8)，(9)对于三个向量(u,d,b),我们产生一个序列U在和两Rn0m0n0n个序列D，B在中，从任意的初始化向量中，迭代如下所示:Ru,R,d,R,b,Rk，1kTkk,u,x，proxBu,x,,Bb,d(()),1||,||1,,,k，1k，1k()d,proxBu，b(4.10),1,,,k，1k，1kk，1,b,Bu，b,d,接下来的部分，我们将会分析Picard迭代的收敛性。kprox根据邻近运算子在特定组件的表现，我们可以看出在等式(6)中，的第iu1||,||1,k，1kB个数仅仅贡献给的第i个数。相反地，在等式(10)中由于向量被矩阵左乘，那uu,k，1么第i个数和它的邻近数都对的第i个数有影响。从矩阵的角度来看，在等式(6)中的ukkBuBB变成了等式(10)中的，也就是说，矩阵I变成了。因此，这个特殊的结构可u,,,TBB以通过调正的参数变化。举个例子，当B是一阶差分矩阵，我们知道的特征值在,,,B[0,8)之间。因此，如果我们选择使，那么的特征值就会在区间[-1,1)中。,,,,,1/4,因此，我们可以设计一个特定组件的高斯赛德尔迭代模式能加快这个模式的收敛。我们将会验证这一点在第5部分。k，1k，1k，1最后，我们标记在等式(10)中的被看作唯一的解在如下的最小问题中:u,d,b16**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用,,k，1kTkk2m,,,，,，,,uargmin{||ux||||uBuB(bd)||:uR},1,2,,,k，1k，1k2n,d,argmin{(d)，||d,(Bu，b)||:d,R},(4.11)2,,k，1k，1kk，12n,b,argmin{||b,(Bu，b,d)||:b,R},2,当前两个最小化问题可以直接地从等式(4.10)的前两个等式中运用定义的邻近运算子获得，这一点对于证明迭代(4.10)的收敛性是非常有帮助的。4.2收敛性分析这一部分主要是分析迭代模式(4.10)的收敛性分析，对于证明它的特性我们还要依赖于等式(4.11).首先介绍会频繁在这一章用到的几个概念。令是给定的正数，对于任何两个向,,,,,mn量在R，R中，我们定义:(y,z),(y,z)1122,,,22(4.12)r((y,z),(y,z)):,||y,y||，||z,z||1122212122和(4.13)a((y,z),(y,z)):,,B(y,y),z,z,11222121在这些概念里，我们并不明确显示在真实数中的依附关系。r,a,,,,,很明显，我们有对称的属性:r((y,z),(y,z)),r((y,z),(y,z))11222211和a((y,z),(y,z)),a((y,z),(y,z))11222211mnnR，R，R此外，我们定义了一个函数L(u，d，b)在中作为:(4.14)L(u,d,b):,,||u,x||，,(d)，,,Bu,d,b,1接下来的接个引理将会被用来迭代模式(11)的收敛结构中，第一个引理给出了关于函数r和a的定义。首先介绍一个常量,:,||B||,(4.15)max{||Bx||:||x||,1}当是算子范数||B||mnR，R引理1.如果是在的两个向量，那么(y,z),(y,z)112217**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用,|a((y,z),(y,z))|,r((y,z),(y,z))11221122,引理2:令q是在欧几里德空间H的一个特展函数，令是H空间里的两个点，令是,u,u0,一个正数，那么当且仅当对于所有的u,H都有:u,prox(u),10q,(4.16)q(u),q(u)，,,u,u,u,u,,0,,,2而且，如果我们定义那么(16)就与下面的不等式相同Q:,q，||,,u||02,2(4.17)Q(u),Q(u)，||u,u||,,2mnn现在我们回到最小化问题(4.11)中，对于一个给定的三向量，我(u,d,b),R，R，R000mnn们定义如下:(u,d,b),R，R，R,,,,,T2m,,,，,，,,uargmin{||ux||||uBuB(bd)||:uR},,1000,2,,,2n,,，,，,dargmin{(d)||d(Bub)||:dR},,,02,(4.18),2n,bargmin{||bBubd||:bR},,，,,,,0,,2,mnnkkk很明显，在等式(4.11)中，我们看到当向量被替换成向量(u,d,b),R，R，R(u,d,b)000k，1k，1k，1时，在等式(4.18)中的向量就是在迭代(4.11)中产生的，对(u,d,b)(u,d,b),,,mnn于每一个，定义:u,R,d,R,b,R,,T2，F(u):,||u,x||，,B(b，Bu,d),u,，||u,u||,,100002,2，G(d):,(d)，||d,(Bu，b)||,,02,2H(b):,,,Bu,d,b,，||b,b||,,,02通过扩展在等式(4.18)的第一个和第三个等式的二次项，我们得到:mu,argmin{F(u):u,R},nd,argmin{G(d):d,R},nb,argmin{H(b):b,R},应用引理(2)到函数F,G,H中，可以派生出几个不等式，这几个不等式将会在后面收敛性18**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用结果的证明中用到。首先用不等式(4.16)得到:,(d),,(d)，,,d,d,Bu，b,d,,,,0,在上面的不等式中用Bu替换d，用关系式，它是最优化的直接结果，我b，d,Bu，bb,,,0,们可以得到:(4.19)0,,(d),,(Bu)，,,Bu,d,b,,,,接下来，定义F和H有:TF(u)，H(b),r((u,b),(u,b))，,||u,x||，,,B(b，Bu,d),u,,,,Bu,d,b,001000,,(4.20)mn通过等式(4.17)的最优化，我们有对于任何一组有:u,b(u,b),R，R,,,,,22F(u),F(u)，||u,u||,H(b),H(b)，||b,b||,,,,22将会产生F(u)，H(b),F(u)，H(b)，r((u,b),(u,b)),,,,将上述不等式应用到(4.20)中，将会有:T,,,||u,x||,,||u,x||，,,B(b，Bu,d),u,u,,,,Bu,d,b,b,(4.21),11000,,,,,:,r((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b))当00,,00,,将不等式(4.19)和(4.21)进行简单的相加，用函数L的定义，将会得到,,L(u,d,b),L(u,Bu,b),,,B(u,u),b,b,(Bu,d),(4.22),,,,000这个不等式将会在后面用在收敛性结果的证明中。下面的引理显示了如果三向量(u,d,b)是等式(4.7)(4.8)(4.9)的固定点，那么函数L(,,,,b)会达到它的最小值正在(u,d)。mRn，m引理3:令x是在中的向量，B是一个的矩阵，是一个特展函数，如果(u,d,b),是固定点等式(4.7)，(4.8)，(4.9)的的解，那么对于正数有:,,,,0,,,,mn(u,d),argmin{L(u,d,b):(u,d),R，R}引理4:如果序列U,D,B由迭代模式(10)产生，则满足mnRR(1)U和B是分别是有界的序列在和19**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用k，1kk，1k(2)lim||u,u||,0,lim||b,b||,0k,,k,,故存在一个序列收敛于固定点等式(4.7)，(4.8)，(4.9)的解U，D，B现在，我们将会证明迭代模式(4.10)的收敛性定理。m定理1:如果x是一个在中的向量，B是一个的矩阵，是一个特展函数，Rn，m,,,,,,是正数，就有,1,(4.25):,,2,,||B||则由迭代模式(4.10)产生的序列U收敛于变分问题(2)的解kkkk，1k，1k，1迭代模式(4.10)和(4.11)的等式之间可以让我们确定三元组(u,d,b),(u,d,b)作为(4.18)中的。下面介绍数量:(u,d,b)000kkk，1k，1k，1k，1kk,:,r((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b))k和k，1k，1kkkL:,,B(u,u),b,b,(Bu,d),kmn通过(4.22)我们有任意一组有(u,b),R，Rkk，1，1(4.26),,L(u,d,b),L(u,Bu,b),,Lkk特别地，当我们选择三元组(u,d,b)是固定点等式(4.7)(4.8)(4.9)的解，通过引理k,N(3)将会得到对于所有有k，1k，1(4.27)L(u,d,b),L(u,Bu,b),0kkkk,1Bu,d,b,b,,,,L因此，同时，对于(26)我们可以得到kkk，1k，1kk，1kk,1L,,B(u,u),b,b,,,B(u,u),b,b,kk，1k，1kk通过分解到求和函数和对于上式和定义(4.13)我们得到B(u,u)B(u,u)B(u,u)等式kk，1k，1k,1kkkk,1k，1kL,a((u,b),(u,b)),a((u,b),(u,b)),a((u,b),(u,b))(4.28)k应用引理(1)到(4.28)的对后一项将会有20**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用,kk,1k，1kkk,1k，1k(4.29)a((u,b),(u,b)),,r((u,b),(u,b)),在(4.15)中已经给出，用(4.27)，(4.28)，(4.29)与(4.26)合并，可以得到:,kk，1k，1k,1kkkk,1k，1k(4.30),,,,(a((u,b),(u,b)),a((u,b),(u,b))),,r((u,b),(u,b))k将不等式(4.30)的两边从k到q-1求和，可以得到q,1q,1q,1qqp,1ppkk,1k，1k(4.31),,,,(a((u,b),(u,b)),a((u,b),(u,b))),,r((u,b),(u,b)),,kk,pk,p得到公式q,1q,1ppqqk，1k，1kk,,r((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b)),((u,b),(u,b)),,kk,pk,p和不等式:,q,1qqp,1ppa((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b)),由引理(1)又可以得到,kk,1k，1kk，1k，1kkkk,12k，1k2r((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b))，(||b,b||,||b,b||)2不等式(31)可以简化为:q,1ppqqkkkk，1，1(4.32)r((u,b),(u,b)),(1,,)(r((u,b),(u,b))，r((u,b),(u,b)))，c,pkp,当,,p,1pppp,12c:,a((u,b),(u,b)),||b,b||,p2,,11,,根据(4.25)和(4.15)，我们知道即是正数，因此使得p=0在(4.32)中，我们就可以得到序列U和B的边界是k，1kk，1klim||u,u||,0,lim||b,b||,0k,,k,,'(U，D，B)通过引理(4)，存在一个序列子序列收敛于固定点等式(4.7)，(4.8)，(U，D，B),,,(k:j,N)(4.9)的一个解，用表示子序列的索引。(u,d,b)j,,,,qqp,k,q最后，我们得到，最后，令，带入到(4.32)中lim(u,b),(u,b)(u,b),(u,b)jq,,就可以得到21**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用q,1,,,,kkqqk，1k，1kkjjr((u,b),(u,b)),c,(1,,)(r((u,b),(u,b))，r((u,b),(u,b))),kj(4.33)k,kj,,qqq令，我们知道当时，收敛于模式(2)。k,,q,,ulim(u,b),(u,b)jq,,4.3去噪算法在我们的去噪模型中被看作全变分，为方便论述，我们考虑一个数字图像为一个,,B2q的方阵。把这个图像矩阵作为一个向量在中，在这样的情况下图像矩阵的(i,j)q，qR2q2m与向量空间下的((i-1)q+j)对应。在这一部分中，我们有,对于一个图像，m:,qu,RR2m，m全变差图像有，这里B是一个矩阵，通过一个的矩阵D和矩阵Kroneckerq，q,(Bu),积的概念，有0，，,,I,D，，,11q,,B:,,D:,(4.34),,D,I,,？？q，，,,,11，，2m2mz,R凸函数在中被定义为,:R,RmT,(z):,||z||or,(z|):,||[z,z]||,1，imi(4.35),1im2m，mR定理(4.1)如果x是在下的一个方阵图像，B是在(34)定义的矩阵，是在空,2mR间中(35)定义的函数，是一个正数，那么有,,,,,,(1)q,,2,1,(4.36):(8sin),,,,2q则由迭代模式(4.10)产生的序列U收敛于模式(4.2)问题的解当函数如在(4.34)，,,B(4.35)定义的那样。,现在，我们来检查特定的公式邻近云算子函数(4.35)，注意到对于一个正数，得,x,R出一个简单的形式，对于有1prox(x),max{|x|,}sign(x)(4.37)1|,|,,k对于有x,R22**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用x(4.38)prox(x)prox(||x||),11||,|||,|||x||,,2通过使用邻近运算子的定义和分离性函数，对于||,||||,||12m有z,(z,z,？,z),R,,(z),||z||1221mprox(z),(prox(z),prox(z),？,prox(z))1111212m,,,,||||||,,,,因此，可以被计算通过结合上述方程等式(4.37).prox(z)1,,m2m对于，在向量prox(z)中一对i和(m+i)是二z,(z,z,？,z),R,,(z),||(z,z)||1,122，mimi,,1i,维向量prox((z,z))1im，i||||,,用(4.38)计算出。下面的算法描述了根据定理(4.1)求出上面的L1/TV图像去噪模型解的方法过程.算法1(L1/TV去噪模型算法)1mR1.给定条件:噪声图像x在，,,0,,,0,,,0，,,8(0)(0)(0)2.初始条件:u,x,d,0,b,03.循环k，1kTkku,x，prox(Bu,x,,B(b,d))4.步骤1:1,||,||1,k，1k，1k5.步骤2:d,prox(Bu，b)1,,k，1kk，1k，16.步骤3:b,b，Bu,d7.直到满足收敛条件k8.输出u接下来，我们对算法1提出用高斯赛德尔迭代对其进行加速。最后，我们先来看看算法kkkkb中的步骤1，用向量表示向量的前m个数据，用向量b表示向量的后m个数据。同理，bbULkkkd和d从d中得到以同样的定义方式。为了便于论述，我们应该表示出算法1中的所有的UL向量，因此，算法1中的步骤1的迭代方式如下:23**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用k，1kkkkk,,u,x，prox((1,4)u，(u，u，u，u),xi,ji,j1i,ji,1,ji，1,ji,j,1i,j，1i,j|,|,kkkk,((b),(b)，(b),(b)),Ui,jUi，1,jLi,jLi,j，1(4.39)kkkk，((d)，(d),(d)，(d)))Ui,jUi，1,jLi,jLi,j，1ku同样的表达式可以推导出边界像素值，在(4.39)中，像素和它四个邻近像素值ij,k，1kkkkuu,u,u和u都贡献给了更新后的像素值(即为雅可比迭代)。注意到当这个顺i,j,1,，1,,,1,，1ijijijijk，1k，1u序在预先指定的第k次迭代的像素更新到第k+1次迭代的时，之前有的像素，一些ui,jkkkku,u,u和u像素已经被更新了。因此，接下来的高斯赛德尔迭代更新的像素可以,1,，1,,,1,，1ijijijijk，1u被用来更新像素(即为高斯赛德尔迭代)。用这样的方式，我们可以说这个结果的模式i,jk，1k，1u可以加速结果算法的收敛。举个例子，如果组件被从上到下的更新，那么，像素可ui,j以按照下面的方式计算:k，1kk，1kk，1k,,u,x，prox((1,4)u，(u，u，u，u),xijij1iji,1,ji，1,ji,j,1i,j，1ij|,|,kkkk,,((b),(b)，(b),(b))UijUi，1,jLijLi,j，1(4.40)kkkk，,((d)，(d),(d)，(d)))UijUi，1,jLijLi,j，1通过修改算法1中的步骤1，我们有了下面的用高斯赛德尔策略加速的算法2。接下来，我们比较算法1和两个密切相关的算法的L1/TV模型，在高斯赛德尔迭代加速00m2m算法中，这个算法以一对初始的，迭代产生的两个序列U和B通过迭代模(u,b),R，R式得出:k，1ktk,,，,,uxprox(uxBb),1||,||1,,(4.41),k，1k，1kb,(I,prox)(Bu，b)1,,,,k，1kuu迭代模式(4.41)显示了在第k+1次迭代产生只影响了第k次的迭代的，因此，i,jij,这个迭代模式用雅可比迭代与用高斯赛德尔迭代是一样的。换句话说，这个组件将高斯赛德尔迭代用到(4.41)中不会产生出加速收敛。,100mm2m第二个算法的初始的高斯值，算法迭产生两个序列通过迭代(u,u,b),R，R，RU,B模式:24**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用k,,k，1kb,(I,prox)(Bu，b),1,,,,k，1kTk，1,u,x，prox(u,x,Bb)(4.42),1||,||1,,k，1,,kk,1u2uu,,,,,u,u最后，通过令在等式(4.42)的右边，改变这两个等式的顺序，应用高斯赛德尔k，1,,kk,1u,2u,uu,u迭代解决固定点等式，它的第三个迭代等式基于等式。算法2(L1/TV去噪算法)1m1给定条件:噪声图像x在，，R,,0,,,0,,,0,,8(0)(0)(0)2.初始条件:u,x,d,0,b,03.循环k4.步骤1:通过(4.40)更新uk，1k，1k步骤2:5.d,prox(Bu，b)1,,k，1kk，1k，16.步骤3:b,b，Bu,d7.一直到满足收敛条件k8.输出u25**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用第五章数值试验在这一章中，我们将演示计算性能的算法2在L1/Tv去噪模型中的影响。我们将会主要比较前面一章中提到的算法MSXZ和CP的数值结果。所有的实验都是在Windows7和MATLAB中运行，所有的算法测试实验的终止条件都是满足k，1k2k2,3||u,u||/||u||,10,去噪图像的质量是根据信号噪音功率比PSNR来评估。u2255mPSNR,10log(dB)10,2||u,u||其中，u是原始图像。5.1算法1程序对算法1和算法2进行MATLAB编程，算法1的程序如下:function[y]=prox(x,q)y=max(abs(x)-1/q,0)*sign(x);endfunction[y]=prox2(x,q)sum=0;fori=1:length(x)sum=sum+abs(x(i));endy=(prox(sum,q)/sum)*x;endticx0=imread('l1.jpg');x0=rgb2gray(x0);26**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用imshow(x0);title('原始图像');x0=imresize(x0,[50,50],'bilinear');x0=imnoise(x0,'gaussian',0,0.01);imshow(x0);title('噪声图像');[q,q]=size(x0);%B是一个2m*m的矩阵，m=q*qI=eye(q);I(1,1)=0;A=linspace(-1,-1,q-1);A2=diag(A,-1);D=I+A2;I2=eye(q);B1=Kron(I2,D);B2=Kron(D,I2);B=[B1;B2];m=q*q;%u是个m*1的向量，d,b是个2m×1的向量x=zeros(m,1);fori=1:qforj=1:qx((i-1)*q+j)=x0(i,j);endendr=1/10;a=4;b=2;l=5;u=x;d=zeros(2*m,1);b=zeros(2*m,1);while1b1=b(1:m);b2=b(m+1:2*m);d1=d(1:m);d2=d(m+1:2*m);u0=u;fori=2:(q-1)forj=2:(q-1)u((i-1)*q+j)=x((i-1)*q+j)+prox((1-4*r)*u0((i-1)*q+j)27**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用+r*(u0((i-2)*q+j)+u0((i)*q+j)+u0((i-1)*q+j-1)+u0((i-1)*q+j+1))-x((i-1)*q+j)-r*(b1((i-1)*q+j)-b1((i)*q+j)+b2((i-1)*q+j)-b2((i-1)*q+j+1))+r*(d1((i-1)*q+j)+d1((i)*q+j)-d2((i-1)*q+j)+d2((i-1)*q+j+1)),l);endendd=prox2(B*u+b,l);b=b+B*u-d;ifnorm2(u-u0)/norm2(u0)<10^(-3)A=x';B=u';g_mean=mean(A);g_max=max(A);sqr_err=(A-B)*(A-B)'MSE=sqr_err/mPSNR=10*log10(255^2*m/abs(norm2(u-u0)))break;endendx1=zeros(q,q);fori=1:qforj=1:qx1(i,j)=u((i-1)*q+j);endendimshow(x1);title('去噪后的图像');toc28**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用去噪的结果如下:去噪图像的运行时间为573.819000s，图像的信噪比PSNR=6.0827dB5.2算法2程序算法2的程序代码如下:ticx0=imread('l1.jpg');x0=rgb2gray(x0);imshow(x0);title('原始图像');x0=imresize(x0,[50,50],'bilinear');x0=imnoise(x0,'gaussian',0,0.01);imshow(x0);title('噪声图像')[q,q]=size(x0);29**********毕业论文高斯赛德尔迭代在图像去噪中的利用%B是一个2m*m的矩阵，m=q*qI=eye(q);I(1,1)=0;A=linspace(-1,-1,q-1);A2=diag(A,-1);D=I+A2;I2=eye(q);B1=Kron(I2,D);B2=Kron(D,I2);B=[B1;B2];m=q*q;%u是个m*1的向量，d,b是个2m×1的向量x=zeros(m,1);fori=1:qforj=1:qx((i-1)*q+j)=x0(i,j);endendr=1/10;a=4;b=2;l=5;u=x;d=zeros(2*m,1);b=zeros(2*m,1);while1b1=b(1:m);b2=b(m+1:2*m);d1=d(1:m);d2=d(m+1:2*m);u0=u;fori=2:(q-1)forj=2:(q-1)u((i-1)*q+j)=x((i-1)*q+j)+prox((1-4*r)*u((i-1)*q+j)+r*(u((i-2)*q+j)+u0((i)*q+j)+u((i-1)*q+j-1)+u0((i-1)*q+j+1))-x((i-1)*q+j)-r*(b1((i-1)*q+j)-b