2023-2024学年重庆市高二年级下册第二次月考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年重庆市校高二下学期第二次月考数学模拟试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的

α

r/(⅞)-∕(⅞+)_

1,若/'(*。)=1,则黑a().

A.2B.1C.-2D.-I

【正确答案】D

【分析】根据极限的定义求解即可.

【详解】因为/'(%)=1,

所以lim∕(⅞)-∕(⅞÷^)=Tim/U+")-"/)=-1

α→0aa→0Q

故选：D

2.(x—2)展开式中的常数项为()

2I

A.B.-C^C.-2"D.-2,C2^

【正确答案】C

【分析】直接由二项展开式求常数项即可.

【详解】展开式中的常数项为.c⅛∙√'∙

故选：C.

2cosY

3.函数/(x)=---------,X£[-肛乃]的图象大致为()

【分析】根据函数的特殊值及单调性进行解题.

2cosx

【详解】解：V=-——,当X=O.01时，y<0,所以排除C,D,

ex

又，2(SinX+cosX)2Λ∕Σsin(x+/,

y=---------------=----------------

ejr/

TT

所以X=—J为极值点，排除B,

4

故选A.

4.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺

序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲'’起，地支由“子'’起，比如第

一年为“甲子，，,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅,以此类推，排列到“癸酉”后，天干回至产甲”重新

开始，即“甲戌”，"乙亥”，之后地支回到“子’’重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我

国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为()

A.戊戌年B.辛丑年C.己亥年D.庚子年

【正确答案】D

【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合100÷10=10,100÷12=8…4,分别求出100年后天

干为庚，地支为子，得到答案.

【详解】由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，

由于100÷10=10,余数为0,故IOO年后天干为庚，

由于100÷12=8…4,余数为4,故100年后地支为子，

综上：100年后的2080年为庚子年.

故选：D.

5.用红、黄、蓝、绿四种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着

相同色的方案有（）种

A.96B.24C.48D.108

【正确答案】D

【分析】利用分步计数原理计算即可.

【详解】因为①③⑤着相同的颜色，可以有C；=4种，

②④⑥按要求可随意着与①③⑤不同色的另外三种颜色，故有C；XC；XeI=27种，

所以共有4x27=108种.

故选：D.

6.随机变量自满足分布列如下：

4012

P2a-baa+b

则随着6的增大（）

A.EC）增大，Qe）越来越大

B.Eq）增大，OC）先增大后减小

C.EC）减小，。化）先减小后增大

D.Ee）增大,先减小后增大

【正确答案】B

【分析】结合分布列的性质求出”的值以及b的范围，然后根据期望与方差的概念表示出期望与方差，结

合函数的性质即可得出结论.

【详解】因为2a—b+α+α+b=l,所以。=工，

4

O<ɪ-/,<1

又因为‘；，解得

O<-+b<l—

I4

所以£(§)=。+2。+26=；+26,随着b的增大，Ee)增大；

22

D(ξ)=(→2h)^-b)+(26-⅛×→(f-2b)2(J+b)=-4b+b+二，

42444416

因为-；</><；,所以Qe)先增大后减小.

故选：B.

7.定义在R匕的函数/(x)的导函数为了'(X),若对任意实数X,有/(χ)>∕'(χ),且/(x)+2023为

奇函数，则不等式/(x)+2023e'<0的解集是()

A.(-oo,θ)B.1-8」)C.(0,+oo)D.(L+∞)

【正确答案】C

【分析】构造函数R(X)=10+2023,根据导函数得单调性，利用单调性求解不等式的解集.

【详解】因为/(x)+2023为奇函数，

所以/(O)+2023=0,即/(O)=—2023,

设尸(X)=幺2+2023，

则k(X)J(X)了白)<0，

e

所以E(X)=/ɪj+2023在R上单调递减,

又尸(O)=4^+2023=O，/(x)+2023e'<0的解集等价于史l+2023<0的解集，即

eex

F(x)<F(0),

所以X>0,即不等式/(x)+2023e'<0的解集为(0,+力).

故选：C.

8.设椭圆C：=+与=1(a>Δ>0)的右焦点为凡椭圆C上的两点/、8关于原点对称，且满足

Ω2b-

成.丽=0，IESl≤∣E4∣≤3∣F用，则椭圆C的离心率的取值范围是()

D.[√3-l,l)

A剽B与粤Eg

【正确答案】B

【分析】设椭圆的左焦点尸’，由椭圆的对称性结合⑸.丽=0,得到四边形/必E'为矩形，设“尸|=〃,

2c2

∖AF∖=m,在直角AZBE中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到生+△,再根据

nm

IEgl≤∣E4∣≤3∣E8∣,得到生的范围，从而利用对勾函数的值域得到鸟的范围，进而由

na

即可得解.

【详解】如图所示:

设椭圆的左焦点E',由椭圆的对称性可知，四边形/必产为平行四边形,

又成•丽=0,则E4_LF8,所以平行四边形NEg?为矩形，故M4=∣"'∣=2C,

设M尸[=〃，∣4FI=加,则忸尸|=〃,

222

在直角AABF中，m+n=2afm+n=4c，

所以=(w+Z?)2-+“J=4a2-4C2=4b2,则mn=Ih2，

222

所以二m+/?Ic

r

nmmnT

m

n

又由∣F5∣≤∣E4∣<3∣ES∣,得％=f∈[l,3],

n

因为对勾函数y=t+；在[1,3]上单调递增，所以今=f+；e2,y

21

Cπ,ae2，|，故展3ɪ

所以e1'则正

F5a8,2

所以

所以椭圆_离心率的取值范围是一√2,三√i一o

24

故选：B.

关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形AFBF'为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定

理，结合条件得到关于α,b,c的齐次不等式，从而得解.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=O)=；,E(X),O(X)分别为随机变量X的均值与方差，

则下列结论正确的是()

A.尸(X=I)=E(X)B,E(3X+2)=4

C.Q(3X+2)=4D.O(X)=I

【正确答案】AB

【分析】根据随机变量X服从两点分布推出P(X=I)=：,根据公式先计算出E(X)、D(X),由此分别

计算四个选项得出结果.

12

【详解】随机变量X服从两点分布，其中尸(X=O)=∙∙.p(x=i)=],

122

E(X)=OX—+lx-=—,

333

7I7??

P(X)=(0--)2×-+(l--)2×-=-,

33339

在A中，P(X=I)=E(X),故A正确；

2

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3x§+2=4,故B正确；

在C中，D(3X+2)=90(X)=9x∙∣=2,故C错误；

在D中，Z)(X)=I,故D错误.

故选：AB.

10.某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，其产量比为2：3.从两个车间中各随机抽取了10个样品

进行测量，其数据(单位：mm)如下：

甲车间：9.49.69.89.810.010.110.110.210.210.3

乙车间：9.29.49.69.810.010.210.310.310.310.4

规定数据在(9.5,10.5)之内的产品为合格品.若将频率作为概率，则以下结论正确的是()

A.甲车间样本数据的第40百分位数为9.9

B.从样本数据看，甲车间的极差小于乙车间的极差

C.从两个车间生产的产品任取一件，取到合格品的概率为0.72

D.从两个车间生产的产品任取一件，若取到不合格品，则该产品出自甲车间的概率为0.25

【正确答案】ABD

【分析】根据百分位数计算规则判断A,计算出极差即可判断B,根据全概率公式计算C,根据条件概率

公式计算D.

【详解】对于A：甲车间样本数据从小到大排列为：9.4、9.6、9.8、9.8、10.0、10.1、10.1、10.2、

10.2、10.3,

又10x40%=4,所以第40百分位数为第四、五两数的平均数，

即为"8+10=99,故A正确；

2

对于B：甲车间的极差为10.3—9.4=0.9,乙车间的极差为10.4—9.2=1.2,

所以甲车间的极差小于乙车间的极差，故B正确；

984

对于C：从样本数据可知甲车间合格品的概率《=历，乙车间合格品的概率巴=历=,，

且甲、乙两车间产量比为2:3,

293421

若从两个车间生产的产品任取一件，取到合格品的概率P=-x—+—X一=一=0.84,故C错误;

5105525

对于D：由C可知取到不合格品的概率A=I—尸=l-0∙84=0.16,

zxr1.n

所以若取到不合格品，则该产品出自甲车间的概率5(‹，故D正确.

IA=­

40.16

故选：ABD.

11.设(2x+1)6=%+%(χ+1)+。2(工+1)2+…+%(x+1)6,下列结论正确的是()

A,a2+a3=100B.a。—6Z∣+生—。3+—。5+。6=3‘

C.+2%+3%+…+6以=12D.当x=9时，(2x+l)6除以20的余数是-1

【正确答案】BC

【分析】利用换元法将题设条件转化为(一1+2/)6=4+《/+生/+…对于A,利用展开通项公

式求解判断即可；对于B,利用赋值法即可判断；对于C,对，求导后，再利用赋值法即可判断；对于D,

将X=9代入后利用二项式定理展开式子，从而得以判断.

【详解】对于A,因为(2x+l),=4+/(%+1)+。2(工+1)2+…+%(x+l)6，

6626

令f=x+1,则(2X+1)6=[-l+2(x+l)]=(-1+2/)=a0+ait+a2tH----Fa6Z,

因为(―1+2fY的展开通项公式为I+】=C(T)6"(2/『=2*C*—IpMJ,

33

所以的=22xC；(—1)4=60,α3=2×C^(-l)=-160,故生+。3=-10°，故A错误;

对于B,令f=—1,得α0—α∣+%-/+%—%+4=(―1-2)6=3“，故B正确；

对于C,因为(27—1)=(—1+2/)=α0+α/+四厂+,,,+°6’6，

两边对f求导得，12⑵—I)，=q+2^+3%/+…+64儿

令f=l得，＜21+2a2H----1"64=12,故C正确；

对于D,当x=9时，(2x+1)6=196=(20-1)6=206-C；205+••--eɪ×20+1,

展开式右边共7项，前6项都是20的整数倍，因此它除以20的余数是1,故D错误.

故选：BC.

Y

12.对于函数/(x)=-,下列说法正确的是()

Inx

A./(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增

B.当0<芭<工2<1时,2∙In%2>%∙InM

C.若函数y=∕(k∣)-左有两个零点，则左<o

D.设g(x)=χ2+α,若对VXl∈R,3χ2∈(l,+∞),使得g(xj=∕(x2)成立，则α≥e

【正确答案】BD

【分析】利用函数的定义域判断A选项的正确性；利用/(元)的单调性来判断B选项的正确性；结合

V=/(W)的图象来判断C选项的正确性；通过求/(X)和g(x)在给定区间上的取值范围来判断D选项

的正确性.

【详解】对于A选项，/(x)=上的定义域为(0,1)U(I,+8),所以A选项错误.

Inx

、Inx-I-、/、

对于B选项，/(X)=记彳,当0<x<l时，/(x)<0,/(x)递减.

⅛≠0<xl<x2<1,所以

Inx1Inx2

由于Inx1<0,Inx2<0,(lnx1)∙(Inx2)>0,

所以由丁“一两边乘以(InXj∙(lnw)得Xι-lnx2>x2-Inx1,所以B选项正确.

IU√VIɪɪX)

对于C选项，令y=∕(∣x∣)-A=0,/(国)=左，

由于/(X)=号F，所以在区间(°，1)，(13)，/(力<°，/(力递减；

在区间(e,+∞),/(x)>0,∕(x)递增.

当0<x<l时，/(x)=^-<0；当x>l时，/(x)=^->0;/(e)=e.

lɪɪXlrɪX

函数歹=/(即是定义域为(-8,-1)5—1，°)5°，1)51，+8)的偶函数.

由此画出y=∕(∣χ∣)的图象如下图所示，

由图可知，直线N=e与y=∕(W)的图象有两个交点，即当k=e时，

函数y=∕(W)-左有两个零点，所以C选项错误.

对于D选项，由上述分析可知，x2∈(l,+∞),则g(X2)e[e,+8),

x∣∈R,g(x∣)>0,要使"对VXl∈R,3X2∈(l,+∞),使得g(xj=∕(x2)成立"，

则需αNe,所以D选项正确.

利用导数研究函数的单调性，首先要求函数的定义域，单调性必须在定义域这个大前提下进行求解.求解恒

成立、存在性问题，可转化为求最值或取值范围来进行求解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且在定义域内有且只有三个零点，则/(x)可能是.(本

题答案不唯一)

x÷2,x≤-1,

【正确答案】/(x)=√-3x(或/(x)=<-x,-l<x<l,等，本题答案不唯一，符号题意即可)

x-2,x≥1

【分析】本题答案不唯一，符合题意即可，

x+2,x≤-l,

/(X)=X3-3X,满足/(x)为奇函数，且/(x)在R上有且只有三个零点；或者/(X)=<-x,-l<x<l,满

x-2,x≥l

足/(X)为奇函数，且/(X)在R上有且只有三个零点.

【详解】本题答案不唯一，符合题意即可，如/(x)=χ3-3x,/(x)为奇函数，且/(x)在R上有且只有

三个零点0，±√3.满足题意.

一题多解

由题知，本题答案不唯一，符合题意即可，易知/(0)=0,故可画出符合题意的草图

x+2,x≤-l,

如图所示，此时/(x)=,τ,-l<x<l,

x-2,x≥1

开放性试题，可以从常用函数或者基本初等函数思考找到解题方向.

14.袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出2个球，记被取出的球的

最大号码数为J，则£《）等于,

【正确答案】4

【分析】由题意J的可能取值为2,3,4,5,分别求出相应的概率，由此能求出E（J）.

【详解】；袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.

现从该袋内随机取出2个球，记被取出的球的最大号码数为九

・・3的可能取值为2,3,4,5,

c21c'1

P(ξ=2)=一■=—，P(ξ=3)=7■=—

C10Cj5

C13C'2

PC=4)=Ff=帝P(^=5)=-f=-

1132

,1.£（⅞）=2x—+3×-+4×-+5×-=4.

v7105105

故4.

15.学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而

且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一节，则不同的功课安排有种情况.

【正确答案】336

【分析】可分类，一类是语文数学都排上午，另一类是语文数学上下午各排一门.

【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：

①，语文和数学都安排在上午，

此时语文和数学的安排方法有2种，在剩下的4门课中任选3门，安排在下午，有田种情况，则此时有

2x/；=48种安排方法；

②，语文和数学分别安排上午和下午，

若语文在上午，有3种安排方法，数学在下午，有2种安排方法，在剩下的4门课中任选3门，安排在其

他时间，有另种情况,

则语文在上午、数学在下午的安排方法有3x2x团=144种，

同理：数学在上午，语文在下午的安排方法也有144种，

则不同的安排方法有48+144+144=336种；

故336种；

本题考查排列与组合的综合应用.对特殊元素的位置优先安排，利用分类加法计数原理求解.

16.定义函数/(x)=[x[x]],其中H表示不超过X的最大整数，例如，[1.3]=1,[-1.5]=-2,[2]=2,

当xe[O,〃),〃eN*时，/(x)的值域为4,记集合4中元素的个数为4,则(1)生=；⑵

k=2QA_ɪ

【正确答案】①.2②.2∣l-ɪI

【分析】当〃=2时，先求得了(X)的解析式，由此求得。2的值•求得[x[x]]在各区间中的元素个数，由此

求得为,利用裂项求和法求得£一1

k=2ak-Γ

【详解】(1)当〃=2时,

0,x∈[0,1)进而得用叫o,ɪ∈[0,1)

根据题意得：LTl,2)'

[x]=∙,

x9x∈[1,2)

O,x∈[θ,l)

所以/(x)=[x[x]]=LJ在各区间中的元素个数分别为：1,1；所以。2=2

r[x1],x∈[l,2)

0,x∈[0,1)0,x∈[0,1)

l,x∈[l,2)x,x∈[1,2)

2,X∈[2,3)2x,x∈[2,3)

(2)解:根据题意得：凶=v3,x∈[3,4)，进而得HH=<3x,x∈[3,4)

4,x∈[4,5)4x,x∈[4,5)

M-1,X∈[∕z-l,w)(w-l)x,x∈[∕7-l,λ7)

所以[x[x]]在各区间中的元素个数为：1,1,2,3,4,…,〃一1,

所以当xe[0,""∈N*时，/(x)的值域为4,集合4中元素的个数为为满足:

2

z、(W-1)Γ1+(M-1)1n-n+2

an=1+1+2+3+4H----F(H-1)=IH------------------=---------，

n(n-∖∖12Jln

所以&-1=〃U),所以--=7~—=2-,所以

n2a,,-lyn-∖)n∖H—1nJ

通项公式的分母是两个等差数列乘积的形式的数列求和，可采用裂项求和法.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛%｝的前〃项和为S,,,且满足2S"+2”=3a,,(〃eN)

(1)｛%｝的通项公式;

(2)若"=〃/+〃，求数列出｝的前〃项和7；,.

π

【正确答案】⑴an=3-l

Sitt—1/、

【分析】(1)根据。“=1°C作差得到%=3/τ+2,从而得到Q"+1=3(4T+1),即可得

电一S5〃≥2

到｛4+1｝是以3为首项，3为公比的等比数列，即可求出通项公式;

(2)由(1)可知"="x3",利用错位相减法求和即可.

【小问1详解】

因为2S“+2〃=3α,,("wN")①，

当〃=1时2S∣+2=3α∣,则q=2,

当"22时2S,ι+2(〃-l)=3α,ι②，

①一②得2S“+2〃-2S,ι-2(〃-1)=3%-3q,τ,即Ian+2=3alt-3an_t,

则al,=3α,τ+2,所以α,,+1=3+1),

所以｛%+l｝是以3为首项，3为公比的等比数列，所以4+1=3",则%=3"-1.

【小问2详解】

因为4="4+",所以"=/?(3"-1)+〃="x3",

所以7；=lχ3∣+2χ32+3χ3'+…+〃x3”③，

37；,=1×32+2×33+3×34+∙∙∙+∕J×3Π+1Φ,

l23,,+1

®~®n~2Tn=l×3+l×3+l×3+∙∙→l×3'-n×3'

≡^(f-⅛3n+'+l∙

18.福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一

步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技

术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为一，一，；，只有当每个环节制作都合格才认为

453

一次成功制作.

(1)求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率；

(2)若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X,求X概率分布列及期望；

54

【正确答案】(1)----

125

O

(2)分布列见解析，E(X)=—

【分析】(1)先求出制作一件优秀作品的概率，再结合二项分布概率公式，即可求解;

(2)若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X,X的可能取值为0,1,2,3,4,求出对应的概率,

即可得X的分布列，代入期望公式求解期望即可.

【小问1详解】

3422

由题意可知，制作一件优秀作品的概率为士x—X-=一,

4535

所以该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率P==—.

35⑸125

【小问2详解】

该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

由题意知X~8∣4,∣

则P(X=O)=c：(∣∫(1-∣)4=⅛∙P(X=D=C(tj(ι-∣)3=≡

P(X=2)F∣)2(管嗡,尸(I)=C羽IT嚷,

故X的分布列为:

X01234

P812162169616

625625625625625

2c

所以数学期望为E(X)=4χχ=w∙

19.如图，在四棱锥S-ZBCA中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面4SCD,底面为直角梯形且

NABC=90°,AB=AD=-BC,CO=SD,点〃是S4的中点.

2

S

(1)求证：6。人平面SCz)；

（2）若直线SO与底面Z6C。所成的角为60。，求SO与平面用8。所成角的正弦值.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）叵

14

【分析】（1）根据已知条件证明BDLCD,根据线面垂直的判定定理即可得到80人平面SeD；

（2）根据已知条件建立合适的空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对

值求解出SZ）与平面儿必。所成角的正弦值.

【详解】解：（1）证明：取BC的中点E,连接。E,

设∕8=ZQ=α,BC=2a,依题意，四边形ZBEO为正方形，

且有BE=DE=CE=a,BD=CD=√2α，

，BD2+CD2=BC2）则BDLCD.

又平面SCD1底面ABCD,平面SCDD底面ABCD=CO,，8。1平面SCD

A

（2）过点S作CO的垂线，交CD延长线于点H,连接力〃，

∙.∙平面SCZ），底面/68,平面SCon底面Z6C。=C。，SH±CD,S"u平面SC。，SH_1底

面ABCD,

故DH为斜线SD在底面48C。内的射影，NSDH为斜线SD与底面ABCD所成的角，即ZSDH=60°.

由（1）得，SD=√∑α，，在RtASUO中，SD=&a，SH=-a-

2

B

在“。H中，AADH=45o,4D=a,DH=-a＞由余弦定理得

2

I2f√∑Y√f也

AH=Aa^+—a-2∙α-----Q∙COS45°=—a»

∖I2J22

.∙.AH2+DH2=AD2，从而ZAHD=90°,过点。作DFHSH,：.DF1底面ABCD,：.DB、DC、

。/7两两垂直，

如图，以点。为坐标原点，而为X轴正方向，反为歹轴正方向，而为Z轴正方向建立空间直角坐标

系,

Z

、

a,--a,θ∖,M√2√6)

a,AQ,--------a,—u

/2J24J

n∙DB=y∣2ax-O

,取z=l,得I=[。,*],

设平面MBD的法向量n=(x,¾z)，由＜

-7r77亚加I2J

n∙DM=----ax------ay----az=On

222

又/"0,包a,-星a,.,.sinθ=Icos<H,SD>∣=

2214

.∙.SD与平面MBD所成角的正弦值为叵.

14

方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：

(1)几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；

(2)向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值

的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.

20.某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：

方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；

方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费。元.

某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了台

这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：

维修次数0123

机器台数20104030

以上100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记X表示这两台机器超过质保期后延

保两年内共需维修的次数.

（1）求X的分布列；

（2）以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？

【正确答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）确定X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6,依次计算X每个取值所对应的的概率，从而可列

出分布列；（2）分别求解两种方案的数学期望，根据数学期望的大小比较，确定选择哪一种更划算.

【详解】（1）X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6

P(X=O)=IX1=L,P(X=I)=—x—x2=—,

'755251,10525

P(X=2)=LLJX2χ2=卫，P(X=3)=L2χ2+,χ2χ2=,

'7101055100,71055105

P(X=4)=—X—+—X—×2=--,P(X=5)=-X—X2=—,

'755101050,751025

,1.339

',1010100

X的分布列为

X0123456

1117ɪ1169

P

252510055025100

（2）选择延保方案一，所需费用乂元的分布列为:

X6000750090001050012000

ɪɪ1169

P

455025100

E(X)=IX6000+Jχ7500+Uχ9000+9χ10500+2x12000=8580(元)

'"455025100

选择延保方案二，所需费用Y2元的分布列为:

η77407740+47740+2。

6769

P

10025Too

於*7UQɔ1

E（YΛ=—×7740+—X（7740+a）+（7740+2«>7740+—（元）

'2710025v,100v,50

.•・石⑻―E㈤=840型

当双外-化）=-工

E840>0,BP0<α<2000时，选择方案二

当黑）—（）等

EU=840—=0,即a=2000时，选择方案一，方案二均可

当名⑺—化）=需

E840—<0,即0>2000时,选择方案一

本题考查离散型随机变量的分布列、利用数学期望解决实际问题，关键是明确选择方案的原因在于平均花

费更少，即数学期望更小，属于中档题.

21.已知A/(x0,0),N(O,%)两点分别在X轴和y轴上运动,且IKVI=1,若动点G满足04=237+，

动点G的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)已知不垂直于X轴的直线/与轨迹E交于不同的/、8两点，。fɪ4√,3θ1总满足NZ。。=/^。。，

'>

证明：直线/过定点.

【正确答案】⑴—+y2=l;(2)证明见解析.

4-

【分析】(1)根据平面向量的坐标运算可得XO=］、％=y，结合∣Λ∕N∣=1和两点坐标求距离公式可得

22

x0+ʃɑ=1,将χt)=∙∣∙、%=_y代入计算即可；

(2)设直线/的方程为：y=kχ+m.Z(Xr凹)、B(X2,8)，联立椭圆方程并消去乃根据韦达定理表示

出玉+%2、XZ，利用两点求斜率公式求出心°、KBQ,结合题意可得4我=一须0,列出关于/和川的方

程，化简计算即可.

【小问1详解】

因为而=2两+丽,即(/刃=2(%,0)+(0,NO)=(2⅞，No)，

X

所以X=2/，y=y0,则/=］，%=y，

又IMNl=1,得χ02+y02=l,即(；)2+/=i,

r2

所以动点G的轨迹方程E为：—+/=1；

4•

【小问2详解】

由题意知，

设直线/的方程为：y=kx+m,Z(χ∣,y),B[X2,%),

,

则>1-kxλ+m,y2-kx2+m,

，2I

----Fy~1-)^)ɔ

<4，消去y，得(4左2+l)f+8ytmχ+4加2-4=o,

y=kx-∖-m

222

由△二64⅛∕W-16(4左2+l)(w-l)>0,得加2<4/+1,

-Sktn4m2-4

…=Eg=赤r

k=%