新教材苏教版高中数学选择性必修第二册 练习 01 空间向量的线性运算

专题Ol空间向量的线性运算

目录

☆【题型一】空间向量的概念......................................................................ɪ

☆【题型二】空间向量的线性运算..................................................................2

☆【题型三】向量共线的判定及应用：线线平行......................................................5

☆【题型四】向量共线的判定及应用：三点共线......................................................6

☆【题型五】向量共线的判定及应用：线面平行......................................................7

☆【题型一】空间向量的概念

【例题】如图所示，以长方体一小BiCQI的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,

(1)试写出与静相等的所有向量;

(2)试写出笳I的相反向量；

(3)若Z8=ZO=2,AAl=∖,求向量充I的模.

【答案】(1)不后，皮及酝；

(2)亦，部，E，D^D.

⑶园∣=3.

【详解】(1)与向量力相等的所有向量(除它自身之外)有W后，虎及百高，共3个.

(2)向量∕∣的相反向量为笳,瓦¾,血，方力.

⑶/I∣=√4C2+CC?=∖,^S2+BC2+CC?=3.

【变式训练】

1.在平行六面体Z8CZ)-481GZ)I中，与向量力相等的向量共有()

A.I个B.2个

C.3个D.4个

【答案】C

【详解】与力相等的向量有4的二选，BIC厂,共3个.

2.在三棱锥。一/8C中，次+孙一昆等于()

A.国B.港

C.θtD.祀

【答案】C

【详解】况+还一逃=初一在=彷+爱=求，故选C.

☆【题型二】空间向量的线性运算

【例题】

1.如图，在三棱柱力8。-44。中，/是84的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量:

(1)CB+BA,；(2)AC+CB-\—AA,；(3)AA-AC—CB.

121i

【答案】(1)CAx.(2)而.(3)^BAχ.

【详解】(1)CB+BA^CAi.

——1—

(2)因为"是的中点，所以BM=3BB-

又数=函，所以两=,您，

所以就+赤+,有=善+两=万7.

2'

(3)AA^-AC—CB—CA1—CB-BA^.

【变式训练】

1.如图，在空间四边形/8Cr)中，E是线段ZB的中点，CF=2FD,连接E尸，CE,AF,BF.化简下列

各式，并在图中标出化简得到的向量：

⑴^AC+CBΛ-^BD^（2）AF-BF-AC-⑶^AB+BC+^CD.

【答案】（1）而.

（2）CB.

（3）^EF.

【详解】（1）如图：AC+CB+JD=AB+BD=Jb-

（2）如图：AF-BF-AC=AF+FB-AC=AB-ACCB-

I■，，—“/，，—•»，，―■••一・•■

（3）如图：一AB+BC+-CD=EB+BC+CF=EC+CF=EF.

2.如图所示，在长方体/8CC-小8∣GO∣中，。为力C的中点.

⑴化简：A]t)---ΛT)-；

(2)用港,力，筋1表示历则/I=.

【答案】(1)月/(2)^力+力]

【详解】(1)?Tb一初一沙=Tfb助+力)=筛一;就=笳一jð=q.

⑵及∙∣=求+G∙∣=/港+力)+Zt=料+罢＞+笳1.

【例题】

2.如图，在正方体N8CZ‰48ιGZ)∣中，点E是上底面4BGDι的中心，若屈=m元+“疝+

【详解】因为点E是上底面45∣CQ∣的中心,

所以√fi⅛=1+∕7δ1)=+刀＞)=+gr).

又因为笳|+m=企,

所以m=n=~.

2

【变式训练】

1.如图，在正方体力BCD-//£2中，点F是侧面COAG的中心，^AF=mAB+AD+nZ4,,求九

【详解】因为点尸是正方形CQAG的中心,

—►1——►___一

所以DF=-DCI,且。C=力耳，

2

故AF=AD+DF=AD+ɪDCI-AD+ɪABT=4D+,(4B+AAxj=ɪAB+AD+ɪAAx.

故4加二〃=一1.

2

2.在平行六面体ZBCLMbCO中，若祀，=X菰+潜+了&,则x+y+z=_.

【答案】6.

【详解】在平行六面体/8C0-/8C。中，At,=Ab+Bt+Ct',

而祀，=X懑+上配+二长，,

23

x=L

2=1,X=1,

所以2得∙y=2,

3-1,z=3.

所以x+y+z=6.

☆【题型三】向量共线的判定及应用：线线平行

【例题】如图，在正方体48。-44GR中，点”，N分别在线段48,上，且

BlN=IBIDI,尸为棱AG的中点.求证：MNHBP.

【详解】证明MN=MB+BB∖+BvN.

因为B,N=-B.D.,

31'3

所以MN=BA+BB∖+=BABlAl)+BBl+^BlAl+AlDl)

2----1-----2——1-----

=-ββ+-A.D=-BB+-β,C.

3l'33l1l3l

又因为P为中点，

所以即=函+*=函+g前西+；竭)=^MN,

从而丽与丽为共线向量.

因为直线MN与BP不重合，斫以MN//BP.

【变式训练】

1.如图，四边形月BCD和N8E/都是平行四边形，且不共面，M,N分别是NC,BF的中点，求证：CE//

MN.

C

【详解】（方法1）・・・M,N分别是4C,8尸的中点，且四边形48CQ和/8环都是平行四边形,

.♦.砒=磁+#+朋=均+#+%.①

22

又：疚=就+法'+或+防=一均+游一存一%,②

22

①+②得2砒=H,

屋;与底共线.

又；直线CE与MN不重合，

J.CE//MN.

（方法2）∖∙M,N分别是4C,8尸的中点，且四边形48C。和48E尸都是平行四边形，

而/=粉一翔=；（港+彷-国=；（港+#）-3港+力尸；（N―力）=/旗一瑟）=厚.

,加与俄共线.

又；直线CE与MN不重合，

J.CE//MN.

2.若空间非零向量。«2不共线，则使2kC]—«2与e1+2（攵+1）«2共线的左的值为.

【答案】-ɪ

2

【详解】由题意知,存在实数义使得2翘1-02=3的+2伏+I）e2],

f,_1

口=2k，,k=r

即,解得.2

以A+1=—1,；=_1

☆【题型四】向量共线的判定及应用：三点共线

【例题】设e∣,e2是空间两个不共线的非零向量，已知力=2e∣+h2,於=e∣+3e2.虎=2e∣—C2，且48。

三点共线，求实数人的值.

【详解】就=e∣+3e2.虎=2e∣—C2，

故尻）=灰'+Cδ=（e∣+3e2）+（—2eι+e2）=-e∣+4e?.

因为4B,D三点共线，所以港=2协，

即2eι+%C2=%（-Ci+4«2）.

因为⑨，C2是不共线的向量,

«=4九

【变式训练】

1.如图，正方体Z8CD—48∣Gz)I中，。为小C上一点，且汨5=2疣，3。与/C交于点A/.

3

求证：Ci,O,M三点共线.

,%、

【详解】证明设港=",λb=b,Aλ∖-C,

则ATb=浓+仍=3/+3臣1=3(牯+历)^I)

=J港+⅛)+⅛⅛+(≡¾+Zt)=I#+⅛>+lZt=Ia+ɪbfɪe,

223663663

M^∖=MC~∖~cζ↑=-A^~bA^ι=~^A^~\~At))~\~AA∣=~a+~⅛+c,

.∙.阮I=3肪，又直线MCx与直线MO有公共点M,

ΛCι,O,M三点共线.

2.设“，分是空间中两个不共线的向量，已知成=9。+加6,就=-2a-b,Dt=a-1b,且/,B,。三点

共线，则实数W=.

【答案】-3

【详解】因为尻I=—Ia—b,DC=a-2b.

所以近)=忒双J—DtJ——Ia—b—(a—2b)——3α+b,

因为Z,B,。三点共线，

所以存在实数九使得力=2就),

即9a~∖-mh=λ(—3〃+力).

所以［9=f

m=λ,

解得m=λ