2024年中考数学（沪科版）二轮复习高频考点突破课件 三角形中的边角关系、命题与证明

三角形中的边角关系、命题与证明⁠考点一三角形的三边关系典例1一个等腰三角形的周长为18cm.（1）

已知腰长是底边长的2倍，求三边长.（2）

已知其中一边长为4cm，求另两边长.思路导引

（1）

设底边长为acm，则腰长为2acm，构造方程求解.（2）

设4cm为腰长或底边长，根据两种情况进行解答即可.

（2）

当4cm为腰长时，设底边长为xcm.∴4＋4＋x＝18，解得x＝10，此时，三边长是4cm，4m，10cm，不符合三角形的三边关系，不能组成三角形.当4cm为底边长时，设腰长为ycm.∴

y＋4＋y＝18，解得y＝7，此时，三边长是7cm，7cm，4cm，符合三角形的三边关系.综上所述，另两边长是7cm，7cm.方法归纳等腰三角形中求三边长的方法

在求解等腰三角形的边长问题时，要注意分类讨论.利用三角形的三边关系求出边长后，还要检验得到的三条线段能否组成三角形.

思路导引

利用“三角形中任何两边的和大于第三边”进行证明.规范解答

在△ABO中，由三角形的三边关系，可知OA＋OB＞AB.同理，可得OA＋OC＞CA，OB＋OC＞BC.∴2（OA＋OB＋OC）＞AB＋BC＋CA.

方法归纳线段不等关系的证明方法

一般地，当题目中出现证明线段的不等关系时，常利用三角形的三边关系进行证明，将要证明的线段转化到某一个三角形中，再根据“三角形中任何两边的和大于第三边”“三角形中任何两边的差小于第三边”列不等式解决.⁠1.

（2022·衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形.若a＝1，b＝3，则c的长可以是（

A

）A.3B.4C.5D.62.

一个三角形3条边的长分别为xcm，（x＋1）cm，（x＋2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是

1＜x≤12

⁠.

3.

（2022·安庆怀宁期末）已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：｜a＋b－c｜－2｜a－b－c｜＋｜a＋b＋c｜.解：∵△ABC的三边长分别是a，b，c，∴

a＋b－c＞0，a－b－c＜0，a＋b＋c＞0.∴

｜a＋b－c｜－2｜a－b－c｜＋｜a＋b＋c｜＝a＋b－c＋2a－2b－2c＋a＋b＋c＝4a－2c.A1＜x≤12

考点二三角形中的三条重要线段典例3

如图①，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.（1）

在△BED中作边BD上的高EF.（2）

若△ABC的面积为60，BD＝5，求EF的长.思路导引

（1）

直接利用三角尺作出三角形的高.（2）

利用三角形的中线平分三角形的面积及面积公式求出即可.规范解答

（1）

如图②，EF即为所求作.（2）

∵

AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，

∵△ABC的面积为60，BD＝5，

∴

EF＝6.方法归纳与中线有关的三角形面积计算

在三角形中计算面积时，常用到三角形的中线和三角形的面积公式，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个部分.⁠4.

如图，在△ABC中，边BC上的高为（

A

）A.

ADB.

BEC.

BFD.

CG5.

（2022·六安霍邱期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝2CD，E是AC的中点，AD，BE交于一点G，连接CG.已知△BGD的面积是8，△AGE的面积是3，则△ABC的面积是（

B

）A.25B.30C.35D.40AB考点三命题与证明典例4

如图，现有以下3个论断：①

BD∥EC；②∠D＝∠C；③∠A＝∠F.（1）

请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题，你能构造哪几个命题？（2）

你构造的命题是真命题还是假命题？请说明理由.思路导引

（1）

分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题.（2）

根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断其真假.规范解答

（1）

①

由BD∥EC，∠D＝∠C，得到∠A＝∠F.②

由BD∥EC，∠A＝∠F，得到∠D＝∠C.

③

由∠A＝∠F，∠D＝∠C，得到BD∥EC.

（2）

①

“由BD∥EC，∠D＝∠C，得到∠A＝∠F”是真命题.理由：∵

BD∥EC，∴∠ABD＝∠C.∵∠D＝∠C，∴∠ABD＝∠D.∴

AC∥DF.∴∠A＝∠F.②

“由BD∥EC，∠A＝∠F，得到∠D＝∠C”是真命题.理由：∵

BD∥EC，∴∠ABD＝∠C.∵∠A＝∠F，∴

AC∥DF.∴∠D＝∠ABD.∴∠D＝∠C.③

“由∠A＝∠F，∠D＝∠C，得到BD∥EC”是真命题.理由：∵∠A＝∠F，∴

AC∥DF.∴∠D＝∠ABD.∵∠D＝∠C，∴∠ABD＝∠C.∴

BD∥EC.方法归纳证明一个命题的步骤

（1）

分清命题的题设和结论，如果问题与图形有关，那么根据条件画出图形，并在图形上标出有关字母与符号.

（2）

结合图形，写出已知、求证.

（3）

分析因果关系，找出证明途径.

（4）

有条理地写出证明过程.⁠6.

如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：△EPF是直角三角形.

7.

如图，有下列四个条件：①

AC∥DE；②

DC∥EF；③

CD平分∠BCA；④

EF平分∠BED.请在四个条件中选择三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，给予证明.解：答案不唯一，如若AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，则EF平分∠BED.证明：∵

CD平分∠BCA，∴∠BCD＝∠ACD.∵

DC∥EF，∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE.∵

AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE.∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED.考点四三角形的内角和定理及其推论典例5

（2022·合肥期中）“8字”的性质及应用：（1）

如图①，AD，BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，求证：∠A＋∠B＝∠C＋∠D.（2）

如图②，以图中给的字母为顶点的“8字”有多少个？

方法归纳三角形的内角和定理及其推论的应用

在三角形中求角的度数时，三角形的内角和定理及其推论是重要的计算依据.单独使用内角和定理时，通常是已知三角形的两个内角求第三个角，或已知三个角之间的关系，通过列方程（组）求角度.三角形的外角的性质沟通了三角形的内角和外角，起到了桥梁纽带的作用.⁠8.

（1）

如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F.求证：∠CFE＝∠CEF.解：（1）

∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°.∵

CD是高，∴

易得∠ACD＋∠CAB＝90°.∴∠B＝∠ACD.∵

AE是角平分线，∴∠CAF＝∠DAF.

∵∠CFE＝∠CAF＋∠ACD，∠CEF＝∠DAF＋∠B.∴∠CFE＝∠CEF.（2）

如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高.若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与边BC的延长线交于点E，∠CFE与∠CEF还相等吗？请说明理由.解：（2）∠CFE＝∠CEF.理由：∵

AF是∠BAG的平分线，∴∠GAF＝∠DAF.又∵∠CAE＝∠GAF，∴∠CAE＝∠DAF.∵

CD是边AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴∠ADF＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝90°.∴∠ADF＝∠ACE.

∵∠CFE＝180°－∠ADF－∠DAF，∠CEF＝180°－∠ACE－∠CAE，∴∠CFE＝∠CEF.（3）

如图③，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M.试判断∠M与∠CFE之间的数量关系，并说明理由.解：（3）∠M＋∠CFE＝90°.理由：∵

点C，A，G在同一条直线上，AE，AN是角平分线，∴

易得∠EAN＝90°.∴∠GAN＋∠CAE＝90°.又∵∠GAN＝∠CAM，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，即∠MAE＝90°.∴∠M＋∠CEF＝90°.

∵

AE是角平分线，∴∠EAB＝∠EAC.∵∠CEF＝∠EAB＋∠B，∠CFE＝∠EAC＋∠ACD，∠ACD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE.∴∠M＋∠CFE＝90°.⁠1.

如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E为AC上的两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC.下列说法中，不一定正确的是（

D

）A.

BC是△ABE的高B.

BE是△ABD的中线C.

BD是△EBC的角平分线D.∠ABE＝∠EBD＝∠DBC2.

已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足（b－2）2＋｜c－3｜＝0，且a为方程｜x－4｜＝2的解，则△ABC的周长为（

D

）A.4B.5C.7或11D.7DD3.

已知△ABC有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，且∠A＝72°，则这个三角形的最大内角度数为

81°或84°

⁠.

4.

（2022·无为期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在边BC上，点E在边AC上，且∠ADE＝∠AED.（1）

当∠BAD＝60°时，∠CDE的度数为

30°

⁠.

（2）

当点D在边BC（