2023年人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语综合测试试卷及答案

第一章综合测试

考试时间120分钟,满分150分.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.(2022•全国甲卷)集合卷={2,4,6,8,10},N={x\~1<JC<6},则MAN=(A)

A.{2,4}B.{2,4,6}

C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}

［解析］因为M={2,4,6,8,10},N={X|-14<6},所以MAN={2,4},故选

A.

2.命题“kx>0,2x+l>0”的否定是(A)

A.3x>0>x2—2x+lW0

B.Vx>0,f—2x+lW0

C.3x^0,A2—2x+lW0

D.V尤WO,f-Zr+lWO

［解析］含有量词的命题的否定，一改量词将“V”改为“三”，二否结论

将">''改为“W"，条件不变，故选A.

3.设集合U={123,4,5},3={1果,5},B={2,3,5},则图中阴影部分表示的

集合的真子集有

A.3

C.7

［解析］因为集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5),6={2,3,5},所以AAB=

{3,5},图中阴影部分表示的集合为：［u(ACB)={l,2,4},所以图中阴影部分表示

的集合的真子集有：23—1=8—1=7.

4.已知集合A={xeR*+无一6=0},8={xWR|or—1=0},若则

实数。的值为(D)

A.；或一gB.一；或/

C.g或一；或0D.—g或;或0

［解析］A={—3,2},'：BQA,二一3^8或2WB或8=0；二一3a—1=0,

或2。-1=0或a=0.，a=—g或3或0.故选D.

5.命题“x22是x>机的必要不充分条件”是假命题，则机的取值范围是

(A)

A.{m\m<2}B.{〃z|mW2}

C.［m\/n>2}D.

［解析］若命题“x，2是x>m的必要不充分条件”是真命题，则加22.因

为命题是的必要不充分条件”是假命题，所以机的取值范围是{相加

<2}.故选A.

6.集合{y£N|)，=-?+6,xdN}的真子集的个数是(C)

A.9B.8

C.7D.6

［解析］%=0时，y=6；尤=1时，y=5；x=2时，y=2；x=3时，y=-3.

所以{ydN|y=—f+6,xGN}={2,5,6}共3个元素，其真子集的个数为23

-1=7个，故选C.

7.已知全集U=R,M={x［x<-1),N={4x(x+2)<0},则图中阴影部分表

示的集合是(A)

A.AfO}

B.{x|—l<x<0}

C.{x[—2<r<-1}

D.{x|x<-l}

［解析］题图中阴影部分为

因为M={x\x<-i］,

所以［uM={x|x2—l},

又N={x|x(x+2)<0}={x［—2<x<0},

所以Nn(［uM)={x|—lWx<0}.故选A.

8.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，

60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的

学生数占该校学生总数的比例是(C)

A.62%B.56%

C.46%D.42%

［解析］设只喜欢足球的百分比为羽只喜欢游泳的百分比为y,两个项目都

喜欢的百分比为z,

由题意，可得x+z=60,x+y+z=96,y+z=82,解得z=46.

.•.该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.故

选C.

二'多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，

部分选对的得2分)

9.已知集合A={x*-2x=0},则有(ACD)

A.0cAB.12GA

C.{0,2}£AD.A£{y|y<3}

［解析］VA={0,2),二。口,一2a4,{0,2}CA,AQ{y\y<3}.故选ACD.

10.设非空集合P,Q满足PAQ=Q,且PWQ,则下列选项中错误的是(CD)

A.VxGQ,有xGP

B.BxEP,使得*Q

C.3x^Q,使得尤庄P

D.V/Q,有/P

［解析］因为pnQ=。，且PW。，所以。是P的真子集，所以VxWQ,有

x&P,Bx^P,使得C,D错误.

11.下列命题中，假命题是(BCD)

A.若x,月.尤+y>2,则x,y至少有一个大于1

B.VxeR,x"

C.a+b=O的充要条件是£=-1

D.f+2W0

［解析］可设尤Wl,yWl,则x+yW2,与x+y>2矛盾，故A为真命题；

当尤=1时，不成立，故B为假命题；

£=—1中，a,b#0,而a+/?=0中，可以取到a=/?=0,故C为假命题；

f+2>0恒成立，故D为假命题.

12.已知集合4=但一1<九V3},集合8={x|xVm+l},则AC5=0的一个

充分不必要条件是(BD)

A.根〈―2B.m<—2

C.［n<2D.—4V〃zV—3

［解析］设ACB=0的一个充分不必要条件是p,p对应的集合为C,当ACB

=0时，机+1W-1,解得i2,所以C{"力2}.因此满足条件的选项

为BD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知集合七=(0,123,4,5},集合8={1,3,5,7,9},则Venn图中阴影部分

表示的集合中元素的个数为

［解析］由Venn图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为［“AAB).

XA={0,1,2,3,4,5),8={1,3,5,7,9},

二AA8={1,3,5},二［A(AC8)=［0,2,4},

即Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3,故答案为3.

14.已知集合4={1,2,3},5={R—3x+a=0},若AABW。，则a的值为制

或6或9.

［解析］由题意可知8=卜户多.若ACBW0,贝吟=1或1=2或号=3,得a

=3或6或9.

15.已知集合A={x|a?—3x+l=0},若A中只含有一个元素，则a的值为

0或*:若A的真子集个数是3,则a的范围是1a|a<0或.

［解析］集合A中只含一个元素.或彳解得a=O或a

［J=9—4«=0,

=9

一不

的真子集个数是3个，

/.ax2—3x+1=0有两个不等的实根,

aWO,9

解得a<Q或0<。<如

J=9-4«>0,

.'.a的取值范围是1a［a<0或0<a<3

16.在下列所示电路图中，下列说法正确的是⑴⑵⑶(填序号).

(1)如图①所示,开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件;

(2)如图②所示,开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件;

⑶如图③所示,开关A闭合是灯泡B亮的充要条件;

(4)如图④所示,开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件.

［解析］(1)A闭合，8亮；而8亮时，A不一定闭合，故A是8的充分不必

要条件，因此正确；(2)A闭合，B不一定亮;而8亮，A必须闭合，故A是8

的必要不充分条件，因此正确；(3)A闭合，B亮；而8亮，A必闭合，所以A是

8的充要条件，因此正确；(4)A闭合，8不一定亮；而3亮，A不一定闭合，所

以A是5的既不充分也不必要条件，因此错误.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤)

17.(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，

并判断其真假.

(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；

(2)末位是0的实数能被2整除；

(3)5%>1,%2-2>0；

(4)存在实数没有算术平方根；

(5)奇数的平方还是奇数.

[解析](1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，真

命题.

(2)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题.

(3)命题中含有存在量词“三”，是存在量词命题，真命题.

(4)命题”存在实数没有算术平方根”，是存在量词命题，真命题.

(5)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题.

18.(本小题满分12分)已知集合A={x|T4W2},B={x\a^x^a+2}.

(1)若a=l,求AUB；

(2)在①[RA=[RB,②AU8=A,③A08=8,这三个条件中任选一个作为条

件，求实数。的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计

分.

[解析](1)当。=1时，8={x[lWx<3},所以AU3={x|-lWx<3}.

(aN—1

(2)三个条件[RA=[RB,AUB=A,AnB=B都表示所以,,

十2W2

解得一iWaWO,所以实数a的取值范围为{a|—iWaWO}.

19.(本小题满分12分)设集合A={x[—1<%<4},8=卜一5令<||,C={x|l

~2a<x<2a}.

(1)若c=0,求实数a的取值范围;

(2)若CW0且CU(AnB),求实数a的取值范围.

［解析］(1)因为C={x\l-2a<x<2a}=0,

所以1—2。22。，所以aW：,

即实数a的取值范围是{alaW^.

(2)因为C={x|l—2Q<V〈2Q}W。，

所以1—2a<2a,即

因为A={x［—l<x<4},B=jx|—5<x<|j-,

所以ACl8=卜|—1<%<多,

〃1一2心一1,

3

因为CU(ACB),所以JZaW］,解得(<“W点

1

1/，

即实数a的取值范围是同

20.(本小题满分12分)求证：方程x2—2x—3m=0有两个同号且不相等的

实根的充要条件是一g<，"<0.

［证明］⑴充分性：：一；<机<0,

二方程/一2x—3机=0的判别式/=4+12m>0,

且一3加>0,

/.方程x2—2x—3m=0有两个同号且不相等的实根.

(2)必要性：若方程2x—3机=0有两个同号且不相等的实根，

fj=4+12/n>0,1

则有彳,_解得一可<加<0.

［X1X2=—3〃Z>0,D

综合(1)(2)知，方程x2—2x—3〃z=0有两个同号且不相等的实根的充要条件

是—j<m<0.

21.(本小题满分12分X。已知p：—2WxW10,夕：1—mWxWl+机(加>0),

若〃是q的必要不充分条件，求实数机的取值范围；

(2)已知p：A={x|-1WXW5},q：B={x\—m<x<2m—1},若“是q的充分

条件，求实数〃?的取值范围.

［解析］(1)/?：—2WxW10,q：1—/"WxW1+加(加>0).

因为P是q的必要不充分条件，

所以4是p的充分不必要条件，

即{x|l一机WxWl+〃?}{x|-2WxW10},

故有fh1+—m<io—2