2021新高考数学一轮复习学案3-6-1正弦定理余弦定理

第六节正弦定理和余弦定理课标要求考情分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1.本节是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等．2．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合.知识点一正弦定理和余弦定理知识点二在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况知识点三三角形常用面积公式1．S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．2．S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.注意以下结论：1．三角形中的必备结论(1)a>b⇔A>B(大边对大角)．(2)A＋B＋C＝π(三角形内角和定理)．(3)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).(4)射影定理：bcosC＋ccosB＝a，bcosA＋acosB＝c，acosC＋ccosA＝b.2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(×)(3)在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC).(√)(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(√)2．小题热身(1)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b,2asinB＝b，则角A等于(C)A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,12)(2)已知锐角△ABC的面积为3eq\r(3)，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(B)A．75°B．60°C．45°D．30°(3)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(C)A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定(4)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，则△ABC的面积等于2eq\r(3).(5)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).解析：(1)由2asinB＝b可得：2sinAsinB＝sinB，故sinA＝eq\f(1,2)，A＝eq\f(π,6).(2)由三角形的面积公式，得eq\f(1,2)BC·CA·sinC＝3eq\r(3)，即eq\f(1,2)×4×3sinC＝3eq\r(3)，解得sinC＝eq\f(\r(3),2)，又因为三角形为锐角三角形，所以C＝60°.(3)由三角形正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(40,sinB)＝eq\f(20,sin60°)，解得sinB＝eq\r(3)，B无解，所以三角形无解．故本题正确答案为C.(4)设△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c.由题意及余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(c2＋16－12,2×4×c)＝eq\f(1,2)，解得c＝2.所以S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×2×sin60°＝2eq\r(3).(5)由已知不等式结合正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，所以b2＋c2－a2≥bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(1,2).因为y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上为减函数．故A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).第1课时正弦定理、余弦定理考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC(1)求A；(2)若eq\r(2)a＋b＝2c，求sinC.【解】(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsin故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).因为0°<A<180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得eq\r(2)sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即eq\f(\r(6),2)＋eq\f(\r(3),2)cosC＋eq\f(1,2)sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－eq\f(\r(2),2).由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝eq\f(\r(2),2)，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).方法技巧求解此类问题的突破口：一是正确分析已知等式中的边角关系，合理地设计“边往角化”还是“角往边化”，活用正弦定理、余弦定理；二是求角的值时应注意三角形对角的取值范围的限制；三是熟记两角和、差的三角公式.1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(D)A．－eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),3)解析：由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(15,sin60°)＝eq\f(10,sinB)，所以sinB＝eq\f(10sin60°,15)＝eq\f(\r(3),3)，因为a>b，所以B为锐角，所以cosB＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3).故选D.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq\r(3)b，A－B＝eq\f(π,2)，则角C＝(B)A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)解析：因为△ABC中，A－B＝eq\f(π,2)，所以A＝B＋eq\f(π,2)，所以sinA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,2)))＝cosB，因为a＝eq\r(3)b，所以由正弦定理得sinA＝eq\r(3)sinB，所以cosB＝eq\r(3)sinB，所以tanB＝eq\f(\r(3),3)，因为B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,6)，所以C＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,2)))－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，故选B.考点二判断三角形形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】(1)由eq\f(c,b)<cosA，得eq\f(sinC,sinB)<cosA，又B∈(0，π)，所以sinB>0，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．(2)由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．【答案】(1)A(2)B方法技巧1判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正余弦定理是转化的桥梁.2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，则△ABC的形状为(C)A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理，得sinB＝2sinCcosA，sinC＝2sinBcosA，即sin(A＋C)＝2sinCcosA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，所以sin(A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，所以三角形为等边三角形．故选C.2．在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(B)A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：因为cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，所以2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(a＋c,c)－1，所以cosB＝eq\f(a,c)，所以eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a,c)，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC为直角三角形．故选B.考点三与三角形面积有关的问题命题方向1三角形面积的求解【例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(\r(10),4)，B＝2A，b＝eq\r(15).(1)求a；(2)已知M在边BC上，且eq\f(CM,MB)＝eq\f(1,2)，求△CMA的面积．【解】(1)由0<A<π，cosA＝eq\f(\r(10),4)，知sinA＝eq\f(\r(6),4)，∴sinB＝sin2A＝2sinAcosA＝2×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(10),4)＝eq\f(\r(15),4)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)可知，a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\r(6).(2)cosB＝cos2A＝2cos2A－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),4)))2－1＝eq\f(1,4)，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(6),4)×eq\f(1,4)＋eq\f(\r(10),4)×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(3\r(6),8)，△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)ab·sinC＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(15)×eq\f(3\r(6),8)＝eq\f(9\r(15),8)，又eq\f(CM,MB)＝eq\f(1,2)，∴S△CMA＝eq\f(1,3)S△ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(15),8)＝eq\f(3\r(15),8).命题方向2三角形面积的最值或范围问题【例4】(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asineq\f(A＋C,2)＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．【解】(1)由题设及正弦定理得sinAsineq\f(A＋C,2)＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sineq\f(A＋C,2)＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sineq\f(A＋C,2)＝coseq\f(B,2)，故coseq\f(B,2)＝2sineq\f(B,2)coseq\f(B,2).因为coseq\f(B,2)≠0，故sineq\f(B,2)＝eq\f(1,2)，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a.由正弦定理得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(sin120°－C,sinC)＝eq\f(\r(3),2tanC)＋eq\f(1,2).由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故eq\f(1,2)<a<2，从而eq\f(\r(3),8)<S△ABC<eq\f(\r(3),2).因此，△ABC面积的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),8)，\f(\r(3),2))).方法技巧1与三角形面积有关问题的解题策略：①利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；②把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.2三角形面积的最值或范围问题一般有两种思路：①转化为边的关系，借助均值定理；②转化为角的关系，利用角的范围，借助三角函数的单调性.1．(方向1)(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积为6eq\r(3).解析：解法1：因为a＝2c，b＝6，B＝eq\f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccoseq\f(π,3)，得c＝2eq\r(3)，所以a＝4eq\r(3)，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2eq\r(3)×sineq\f(π,3)＝6eq\r(3).解法2：因为a＝2c，b＝6，B＝eq\f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccoseq\f(π,3)，得c＝2eq\r(3)，所以a＝4eq\r(3)，所以a2＝b2＋c2，所以A＝eq\f(π,2)，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×6＝6eq\r(3).2．(方向1)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cosC＝ccosA，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3eq\r(2)，则a＋b＝eq\r(33).解析：由(3b－a)cosC＝ccosA，得3sinBcosC－sinAcosC＝sinCcosA，由3sinBc