2024年高中物理新教材（人教版2019）讲义选择性第3章专题强化6波的图像与振动图像的综合问题及波的多解问题

专题强化6波的图像与振动图像的综合问题及波的多解问题[学习目标]1.进一步理解波的图像问题(重点)。2.知道波的图像和振动图像的区别与联系，会区别并分析两类图像(重难点)。3.理解波的多解性，会分析波的综合问题(重难点)。一、波的图像与振动图像的综合问题1．波的图像与振动图像的异同点振动图像波的图像不同点图像物理意义一个质点在不同时刻的振动位移各质点在同一时刻的振动位移研究对象一个质点沿波传播方向上的各质点坐标横坐标时间各质点的平衡位置纵坐标某一质点在不同时刻的振动位移各质点在同一时刻的振动位移一个完整波形信息周期T波长λ相同点图像形状正弦曲线可获取的信息质点的振幅A及位移、速度、加速度的大小和方向2.求解波的图像与振动图像综合问题的三个关键(1)分清振动图像与波的图像，横坐标为x的是波的图像，横坐标为t的是振动图像。(2)看清横、纵坐标的单位．尤其要注意单位前的数量级。(3)找准波的图像对应的时刻，找准振动图像对应的质点。例1(多选)(2022·庆阳第六中学高二期末)一列简谐横波在x轴上传播，t＝0时刻的波形如图甲所示，x＝2m处的质点P的振动图像如图乙所示，由此可以判断()A．该波的传播方向是沿x轴正方向B．4s末质点P的位移为5cmC．在t＝5s时质点P的速度为零D．在0～5s时间内质点P通过的路程是25cm答案CD解析由题图乙可知，t＝0时刻质点P的振动方向沿y轴正方向，由题图甲波的图像，根据同侧法可知，该波的传播方向是沿x轴负方向，A错误；由题图乙可知，4s末质点P处于平衡位置，此时质点P的位移为0，B错误；由题图乙可知，t＝5s时质点P处于波峰位置，此时质点P的速度为零，C正确；由题图乙可知，质点振动的周期与振幅分别为T＝4s，A＝5cm，由于Δt＝5s＝1eq\f(1,4)T，则在0～5s时间内质点P通过的路程x＝4A＋A＝25cm，D正确。例2(多选)如图所示，图(a)为一列简谐横波在t＝0.1s时刻的波形图，Q是平衡位置为x＝4m处的质点，图(b)为质点Q的振动图像，则下列说法正确的是()A．该波的周期是0.1sB．该波的传播速度为40m/sC．该波沿x轴正方向传播D．t＝0.4s时，质点P的速度方向向下答案BD解析由题图(a)得到该波的波长为λ＝8m，由题图(b)得到该波的周期为T＝0.2s，所以波速为v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(8,0.2)m/s＝40m/s，故A错误，B正确；由题图(b)可知t＝0.1s时，Q点处在平衡位置，且向下振动，根据微平移法可知该波沿x轴负方向传播，故C错误；根据振动规律可知t＝0.4s时，质点P的速度方向向下，故D正确。分析波的图像与振动图像的综合问题，主要有以下两个方面：(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。注意：分清波的图像与哪一时刻对应，振动图像与哪一质点对应。例3(2022·北京市第四十四中学高二期中)一列沿x轴传播的简谐横波，t＝0时刻的波形图如图甲所示。图乙表示x＝1.0m处的质点的振动图像，则(1)求简谐横波传播速度的大小；(2)在图丙中画出平衡位置为x＝2.0m处质点的振动图像(从t＝0时刻开始计时，至少画出一个周期)；(3)在图丁中画出简谐横波t＝0.3s时的波形图(至少画出一个波长)。答案(1)5m/s(2)见解析图(3)见解析图解析(1)由题图甲可知波长λ＝2m，由题图乙可知周期T＝0.4s，则v＝eq\f(λ,T)＝5m/s(2)根据题图甲和题图乙判断可知简谐波向x轴正方向传播，则x＝2.0m处质点起振方向为y轴负方向，波长、振幅、周期与x＝1.0m处的质点相同，则振动图像如图所示(3)当t＝0.3s时，波向前传播的距离x＝vt＝5m/s×0.3s＝1.5m根据题图甲和题图乙判断可知简谐波向x轴正方向传播，则波的图像如图所示Δt后波形图的画法1．特殊点法：找出波形图一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点)，画出这些特殊点在Δt时刻的位置，然后用正、余弦曲线连起来画出波形图，如果Δt较长，可先表示为Δt＝nT＋Δt′。由于时间的周期性，可以去整留零，只需画出特殊点在Δt′时刻的波形图．特殊点法适用于特殊时间，Δt或Δt′必须为eq\f(1,4)T的整数倍才好确定特殊点的位置来画波形．特殊点法画波形图较为简单易行。2．平移法：算出波在Δt时间内传播的距离Δx＝vΔt，把波形沿波的传播方向平移Δx。如果Δx较大，可化为Δx＝nλ＋Δx′，由于波的空间周期性，可以去整留零，只需平移Δx′即可，平移波形后一定要注意把图像补画完整。二、波的多解问题1．波的传播方向的双向性形成多解只要没有指明机械波沿哪个方向传播，就要讨论两个方向的可能性。2．波的周期性形成多解(1)时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全重合，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。(2)空间周期性：将某一波形沿波的传播方向平移波长的整数倍距离，平移后的波形与原波形完全重合，若题中没有给定传播距离与波长的确切关系，则会引起答案的不确定性。例4(2022·成都树德中学月考)一列横波在x轴上传播，介质中a、b两质点的平衡位置分别位于x轴上xa＝0、xb＝6m处，t＝0时，a质点恰好经过平衡位置向上运动，b质点正好到达最高点，且b质点到x轴的距离为4cm，已知这列波的频率为5Hz。(1)求经过Δt＝0.25s时a质点的位移大小以及这段时间内a质点经过的路程；(2)若a、b在x轴上的距离大于一个波长，小于两个波长，求该波的波速。答案(1)4cm20cm(2)eq\f(120,7)m/s或24m/s解析(1)由题意可知T＝eq\f(1,f)＝0.2s，故经过Δt＝0.25s＝(1＋eq\f(1,4))T，a质点恰好到达最高点所以a质点的位移大小为4cma质点经过的路程为5A＝20cm(2)若波沿x轴正方向传播，则有(n＋eq\f(3,4))λ＝6m(n＝0,1,2，…)由于a、b在x轴上的距离大于一个波长，小于两个波长，故n＝1对应的波长λ＝eq\f(24,7)m得v＝λf＝eq\f(120,7)m/s若波沿x轴负方向传播，则有(n＋eq\f(1,4))λ＝6m(n＝0,1,2，…)同理，由限制条件可得n＝1，v＝λf＝24m/s。例5一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5s，(1)这列波的周期可能是多大？(2)这列波可能的波速表达式是怎样的？(3)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速为多大？(4)若波速v＝68m/s，则波向哪个方向传播？答案见解析解析(1)(2)由题图可知波长λ＝8m，当波向右传播时Δt＝nT1＋eq\f(T1,4)T1＝eq\f(2,4n＋1)s(n＝0,1,2，…)v右＝eq\f(λ,T1)＝4(4n＋1)m/s(n＝0,1,2，…)当波向左传播时Δt＝nT2＋eq\f(3,4)T2T2＝eq\f(2,4n＋3)s(n＝0,1,2，…)v左＝eq\f(λ,T2)＝4(4n＋3)m/s(n＝0,1,2，…)。(3)若波向左传播，且3T<Δt<4T则Δt＝3eq\f(3,4)T，得T＝eq\f(2,15)s，v1＝eq\f(λ,T)＝60m/s(4)Δt内波传播的距离为：x＝vΔt＝68×0.5m＝34m＝4eq\f(1,4)λ故波向右传播。解决波的多解问题的一般思路1．首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论。2．对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。3．应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等。所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。专题强化练1．(2023·枣庄八中东校区高二月考)一列简谐横波沿x轴正方向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图甲所示，此后，若经过eq\f(3,4)周期开始计时，则图乙描述的可能是()A．a处质点的振动图像B．b处质点的振动图像C．c处质点的振动图像D．d处质点的振动图像答案B解析因横波沿x轴正方向传播，由题图乙可知经eq\f(3,4)周期质点振动到平衡位置且沿y轴负方向振动，经eq\f(3,4)周期振动到平衡位置的质点为平衡位置在b、d处的质点，该时刻平衡位置在b处的质点的振动方向沿y轴负方向，平衡位置在d处的质点的振动方向沿y轴正方向，故题图乙可能为平衡位置在b处的质点的振动图像，故选B。2．(多选)(2022·山东师范大学附中检测)如图所示，图甲为沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波动图像，图乙为质点P的振动图像，则下列说法中正确的是()A．该波的波速为2m/sB．该波的传播方向沿x轴负方向C．t＝0到t＝9s时间内，质点P通过的路程为0.9mD．t＝0到t＝2s时间内，质点P的位移为零，路程为0.2m答案CD解析由题图甲可知简谐横波的波长λ＝2m，由题图乙可知，周期为T＝4s，该波的波速为v＝eq\f(λ,T)＝0.5m/s，A错误；由“上下坡法”可知，该波的传播方向沿x轴正方向，B错误；t＝9s＝eq\f(9,4)T，质点P通过的路程为s＝0.1m×9＝0.9m，C正确；t＝0到t＝2s时间内，质点P从平衡位置回到平衡位置，位移为0，路程为0.2m，D正确。3．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，在某一时刻的波形如图所示，经过一段时间，波形变成如图中虚线所示，已知波速大小为1m/s。则这段时间可能是()A．1sB．2sC．3sD．4s答案AC解析如果这列波沿x轴正方向传播，则传播的距离为nλ＋eq\f(1,4)λ(n＝0,1,2，…)，λ＝4m，则这段时间可能为1s、5s、9s、…，故选项A正确；如果这列波沿x轴负方向传播，则传播的距离为nλ＋eq\f(3,4)λ(n＝0,1,2，…)，则这段时间可能为3s、7s、11s、…，故选项C正确。4．(2022·泰州市期末)如图甲为一列简谐横波在t＝0.2s时刻的波形图，P、Q为介质中的两个质点，图乙为质点P的振动图像，则()A．简谐横波沿x轴负方向传播B．简谐横波的波速为0.25m/sC．t＝0.5s时，质点Q的加速度大于质点P的加速度D．t＝0.7s时，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离答案D解析由题图乙知，质点P在0.2s时沿y轴负方向振动，根据题图甲可知，简谐横波沿x轴正方向传播，故A错误；由题图甲可知，波长为2m，由题图乙可知，周期为0.4s，则波速为v＝eq\f(λ,T)＝5m/s，故B错误；t＝0.5s时，即由题图甲再经过eq\f(3,4)T，质点P处于波峰，而质点Q并没有处于最大位移处，所以质点Q的加速度小于质点P的加速度，故C错误；t＝0.7s时，即由题图甲再经过eq\f(5,4)T，质点P处于波谷，而质点Q并没有处于最大位移处，所以质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离，故D正确。5.(多选)一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图中的实线所示，t＝0.02s时刻的波形如图中虚线所示，若该波的周期T大于0.02s，则该波的传播速度可能是()A．7m/s B．3m/sC．1m/s D．5m/s答案BC解析因T>0.02s，若波向右传播，则波传播的距离x1＝0.02m，则波速v1＝eq\f(x1,t)＝eq\f(0.02,0.02)m/s＝1m/s；若波向左传播，则波传播的距离x2＝0.06m，则波速v2＝eq\f(x2,t)＝eq\f(0.06,0.02)m/s＝3m/s，故B、C正确。6．(多选)(2022·宝鸡市金台区期中)如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在x轴上的距离s＝30m，波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时，b恰好经过平衡位置向下振动，经过5s波传播了30m。下列判断正确的是()A．该波的波速一定是6m/sB．该波的周期一定是12sC．该波的波长可能是40mD．该波的波长可能为24m答案AC解析该波经过5s，传播了30m，则波速v＝eq\f(s,t)＝6m/s，选项A正确；由题意可知nλ＋eq\f(3,4)λ＝30m(n＝0,1,2,3，…)，可得波长λ＝eq\f(120,4n＋3)m，当n＝0时λ＝40m，当λ＝24m时，n不是正整数，选项C正确，D错误；周期T＝eq\f(λ,v)＝eq\f(20,4n＋3)m/s(n＝0,1,2,3，…)，则该波的周期不可能是12s，选项B错误。7．(多选)图甲为一列简谐横波在t＝2s时的波形图，图乙为这列波上质点P的振动图像，则下列说法正确的是()A．该横波向右传播，波速为0.4m/sB．t＝2s时，质点Q的振动方向为y轴负方向C．在2～4s时间内，质点P沿x轴向右平移2.0mD．在2～4s时间内，质点Q通过的路程为10cm答案AD解析由题图乙知，在t＝2s时，质点P正通过平衡位置沿y轴负方向振动，根据“上下坡法”可知波向右传播，由题图甲可知波长为λ＝1.6m，由题图乙可知周期T＝4s，则波速为v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(1.6,4)m/s＝0.4m/s，A正确；质点Q与质点P相差半个波长，故振动方向相反，则t＝2s时，质点Q沿y轴正方向振动，B错误；质点不会随波迁移，只在平衡位置附近振动，C错误；由题图甲可知振幅A＝5cm，在2～4s时间内，质点Q通过的路程为s＝2A＝10cm，D正确。8．(2021·辽宁卷)一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2s时的波形如图(a)所示，x＝2m处质点的振动图像如图(b)所示，则波速可能是()A.eq\f(1,5)m/s B.eq\f(2,5)m/sC.eq\f(3,5)m/s D.eq\f(4,5)m/s答案A解析根据题图(b)可知，t＝2s时x＝2m处的质点正经过平衡位置向下振动；又因为该波沿x轴负方向传播，结合题图(a)，利用“上下坡”法可知x＝2m为半波长的奇数倍，即有(2n－1)eq\f(λ,2)＝2m(n＝1,2,3…)由题图(b)可知该波的周期为T＝4s；所以该波的波速为v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(1,2n－1)(n＝1,2,3…)当n＝3时，可得波速为v＝eq\f(1,5)m/s,故选A。9.(2023·三明二中月考)如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波，实线为t1＝0时刻的波形图，虚线为t2＝0.2s时的波形图。则()A．N、Q两质点的振动情况总是相同的B．这列波的波速可能为v＝24m/sC．从t1时刻起再经0.5s质点M可能到达Q点D．从t2时刻起再经过Δt＝0.7s质点M可能处于波峰位置答案D解析N、Q两质点平衡位置间的距离为eq\f(λ,2)，两质点振动情况总是相反，故A错误；由题意，波长为λ＝4m，根据波沿x轴正方向传播可得s＝(nλ＋1)m＝(4n＋1)m(n＝0,1,2,3，…)，则波速v＝eq\f(s,t2－t1)＝(20n＋5)m/s(n＝0,1,2,3，…)，则波速不可能为24m/s，故B错误；振动的各质点只是在平衡位置上下振动，不随波的传播而移动，故C错误；从t2时刻起，质点M处于波峰时波向x轴正方向传播的距离为s′＝n′λ＋3.5m＝(n′＋eq\f(7,8))λ(n′＝0,1,2,3，…)，由t2＝(n＋eq\f(1,4))T，解得T＝eq\f(4t2,4n＋1)＝eq\f(0.8,4n＋1)s(n＝0,1,2,3，…)，则有Δt＝eq\f(s′,v)＝eq\f(8n′＋7,40n＋10)s，故当n＝0、n′＝0时Δt＝0.7s，故D正确。10．(2022·梅州市期末)如图所示，实线和虚线分别是沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0和t′＝0.06s时刻的波形。已知在t＝0时刻，x＝0.3m处的质点向y轴正方向运动。(1)判断该波的传播方向；(2)求该波的最小频率；(3)若3T<0.06s<4T，求该波的波速。答案(1)沿x轴正方向传播(2)12.5Hz(3)75m/s解析(1)x＝0.3m处