中考数学知识点与经典题型练习 直角三角形中由动点引起的分类讨论问题(解析版)

专题25直角三角形中由动点引起的分类讨论问题

【模型展示】

解直角三角形的动点问题，一般分三步走

第一步寻找分类标准，

第二步列方程，

第三步解方程并验根.

特点一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程.

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直

角三角影，这样列比例方程比较简便.

结论直角三角形的性质并能灵活应用

【题型演练】

一、单选题

1.如图,M,A,N是直线/上的三点，AM=3,AN=5,P是直线/外一点，且ZPAN=60°,AP=X,

若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在AAPQ形状的变化过程中，依

次出现的特殊三角形是()

"■—1P—■-J

MAN

A.直角三角形-等边三角形-直角三角形-等腰三角形

B.直角三角形-等腰三角形-直角三角形-等边三角形

C.等腰三角形-直角三角形-直角三角形-等腰三角形

D.等腰三角形-直角三角形--等边三角形-直角三角形

【答案】D

［分析】根据NPAN=60。,AP=},按照Q在线段AM和线段ANI二进行分类讨论即可.

【详解】解：∙∙∙NPAN=6()O,Ap=1,

.,.NPAM=180o-60°=120°,

①当。在线段AM上，只能形成等腰三角形，当AQ=AP=I时，AAPQ为等腰三角形；

②当。在线段AN上时，乙4QP逐渐减小，

当NA0P=9O。时，AAPQ为直角三角形，此时NAPQ=30。,AQ=gAP=g；

当NAQP=60°时，AAPQ为等边三角形，此时AQ=AP=1；

当NAQP=3()。时，•/ZPAN=ωo,NAPQ=90。，.∙.AAPQ为直角三角形，此时

PQ=2AP=2,AQ=7^^4^Γ=√5；

.∙.^APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形-直角三角形-等边

三角形-直角三角形；

故选D.

【点睛】本题考查特殊三角形的判定.熟练掌握等腰三角形、直角三角形和等边三角形的判

定方法是解题的关键.

二、填空题

2.如图，∕⅛ΔABC中，NAC8=90。，NABC=60。，BC=2cm,。为BC的中点，若动点E

以ICmZS的速度从A点出发，沿着4→3→A的方向运动，设E点的运动时间为f秒

(0<r≤6),连接OE,当Mr>E是直角三角形时，r的值为.

【答案】2或3.5或4.5或6

【分析】先求出AB的长，再分①∕BOE=90。时，DE是AABC的中位线，然后求出AE的

长度，再分点E在A8上和在ZM上两种情况列出方程求解即可：②NBEO=90。时，含30

度角的直角三角形的性质，勾股定理求出8E,然后分点E在A8匕和在84上两种情况列出

方程求解即可.

【详解】解：VZACfi=90o,NA8C=60°,BC=2cm,

ΛZA=30o,AB=IBC=A(cm),

①N8OE=90。时，

,.∙/5=60°,

：.ZDEB=30°,

EB=IDB=BC=I

：.AE=AB-BE=2(cm),

点E在AB上时，f=2÷l=2(秒)，

点E在A4上时，点E运动的路程为4χ2-2=6(cm),

Λr=6÷l=6（秒）；

②/加2=90。时，BE=-BD=-BC-=0.5(cm),

24

点E在48上时，t=(4-0.5)÷1=3.5(秒)，

点E在BA上时，点E运动的路程为4+0.5=4.5(cm),

r=4.5÷l=4.5(秒)，

V0<r≤6

综上所述，f的值为2或3.5或4.5或6,

故答案为：2或3.5或4.5或6.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.

3.如图，在R∕ΔABC中，∕C=90?,AC=12,BC=IO,。是BC的中点，E是AC上一动

点，将△€■£>E沿OE折叠到△(?£)£,连接AC',当AEC'是直角三角形时，CE的长为

【答案】5或5

【分析】分两种情况进行分类讨论：①当/A£C'=90?时，求CE的长；②当NAC'E=90。时,

求CE的长.

【详解】解：①如图1,当∕AEC=90?时，/CED=NCED=45。,

NC=90。,

.∙.ZCDE=4CED=45°,

QBC=IO,。是BC的中点，

/.CD=CE=5.

图1

②如图2,当NAC'£=90。时，由折叠性质知NOCE=NC=90。,

.∙.ΛDC'E+ZACE=180°,

∙∙∙RC',A三点共线.

,CZ)=DB=5√4C=12,

在∕⅛ΔAC。中，AO=√52+122=13-

设CE=C'E=x,

.∖AE=l2-x9

.1在用ΔAC'E中，X2+(13-5)2=(12-x)2,

综上所述，CE的长为：5或7.

【点睛】此题考查翻折变换，勾股定理，熟练运用勾股定理以及学会用分类讨论的思想思考

问题是解题的关键.

4.己知：如图，正方形ABCf）中，AB=2,AC,BO相交于点0,E,F分别为边BC,CD

上的动点（点E,F不与线段BC,CO的端点重合）.HBE^CF,连接OE,OF,EF.在

点、E,F运动的过程中，有下列四个说法：

①AOEF是等腰直角三角形；

②△（?£：/面积的最小值是g；

③至少存在一个ECF,使得EcR的周长是2+不；

④四边形OEC尸的面积是1.

其中正确结论的序号有.

【答案】①②④

【分析】证明VCoE@/。0尸，可得OE=OF,?CoEcIDOF,可得到①；再由当OELBC

时，OE最小，此时OE=Of=:BC=1,可得aOEF面积的最小值是可得到②正确；

22

2

设CE=X,则BE=CF=2-X,根据勾股定理可得EF=√2(x-l)+2,从而得到√2<EF<2，

lJ

得③错误；再根据VCOE@^£)。尸，J得场边形OEeF=SACOE+SAOCF=SAOQC=工S正方形A8CD，UJ

得④正确；即可求解.

【详解】解：；四边形ABC。是正方形，

BC=CD,?OCB?ODC45?,OCOD,NDOC=90°,

,.∙BE=CF,

，CE=DF,

.∙.VCOE(gVOOF,

：.OE=OF&COE?DOF,

：.?EOF?COE?COF?DOF?COF?DOC90?,

.∙.ZXOE尸是等腰直角•：角形，故①正确；

当OEJ_BC时，OE最小，此时OE=OF=OBC=1,

2

•••△<?所面积的最小值是:。足。尸=(，故②正确；

22

,/BE=CF,

.∙.CE+CF=BE+CE=BC=2,

设CE=X,则BE=CF=2—x,

/•EF=JX2+(2-Xy="(if+2,

.ECF∣¾J⅛⅛⅛EF+CE+CF=EF+2,

,.∙(Xx<2,

•∙V2≤EF<2，

，EF+2<4

••.不存在个,比尸，使得4EC尸的周长是2+石，故③错误；

VVCOE(SVDOF,

==

,∙S四边形OECFSACOE+SAOeF=SADW∙+SAOBK=SAODCZ¾S)T⅞AβC0=—×2×2=1,故④正确;

故答案为：①②④

【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股

定理以及等腰直角三角形的性质.注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键.

5.如图，在R/AA8C中，/4=90。，A8=4g,AC=4,点。是AB的中点，点E是边BC上

一动点，沿。E所在直线把△8£>E翻折到△夕。E的位置，B'D交边BC于点、F,若△CB下为

直角三角形，则CB，的长为

【答案】2√7或4##4或2不

【分析】当△8户为直角三角形时，需要分类讨论，点C,B'F分别为直角顶点时，画

出图形求解即可.

【详解】解：在RtAABC中，ZA=90o,AB=4√3,AC=4,点。是AB的中点，

:.BC=8,N8=30。，AD=BD=26

由折叠可知，BO=B,D=2√3.

AD=BD=B'D=2百

①由点运动可知点C不可能是直角顶点；

②如图，当点尸为直角顶点，即NeFBf=90。，

：.DF=；BD=6,BF=CDF=3,

:.β,F=√3>CF=5,

22

-.CB'=λ∕(√3)+5=2√7;

③如图，当点力是直角顶点时，即NceN=90。，连接CO,

CD=CD

AD=B'D

Rt∆ACD≡RtΔB,CZXHL),

.∙,CB,=CA=4,

故答案为：2近或4.

【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

6.如图，已知NB=45。，AB=2cm,点P为NABC的边Be上一动点，则当BP?=cm

时，ABAP为直角三角形.

【答案】2或8

【分析】由于直角顶点不能确定，故应分NAPB=90。与NBAP=90。两种情况进行分类讨论.

【详解】解：①当NAPB=90。时，

VZB=450,AB=2cm,

：.BPt=APt,

,12

..BI↑+APl=AB-=4,

：.BP-=2■

②当∕BAP=900时，

:/8=45°,AB=2cm,

：.AB=AP2=I,

：.BZζ2=AB2+AΛ2=8.

故本题答案为：2或8.

【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解.

7.如图，长方形ABC。中，NDAB=NB=NC=ZD=琳，AD=BC=4,AB=CD=3.E为

边BC上的一个动点，将ΔABE沿AE折叠，使点8落在8'处.

A题：当NEβzC=9O。时，EC的长为.

8题：当，EB'C为直角三角形时EC的长为.

【答案】∣∙;或者1

22

【分析】A题：设BE=X,则£B'=x,根据矩形折叠性质易得8、DKE三点共线，由勾

股定理求出AC的长度，在4BEC中利用勾股定理可解得X的值，即可得到EC的长度；

8题：找出直角三角形，再根据勾股定理分情况求解即可.

【详解】解：A题：设8E=x,则E3'=x,

由折叠的性质可得NAB，E=NB=90，

VZEB1C=90,

/.8、ZXE三点共线，

根据勾股定理得，AC=y∣AB2+BC2=5.

B⅛=AC-BC=2,

：.EC2=EB'2+B1C2,

Λ(4-X)2=X2+22,

3

解得：X、，

.・.EC=4--=-

22t

B题:当NEB'C=9(),EC=,;

5恰好落在AD上，BE=Z，则EC=BC-BE=X,

故答案为：∙∣■:∙∣■或1.

22

【点睛】此题考查了矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是熟悉折叠的性质和勾股定理.

8.如图，4ABC'AADE都是等腰直角三角形，∕B4C=∕D4E=9(Γ,AB=4,F是DE

的中点，若点E是直线8C上的动点，连接8F,则BF的最小值是.

【分析】由AA8C∖AAOE都是等腰直角三角形，可得出：ZkBCSI∖ADE,根据相似三角

形的性质得到NADE=/A8E,推出点4,D,B,E四点共圆，得到NOBE=9(Γ,根据直角

三角形的性质得到BF=gθE,当。E最小时，BF的值最小，OE最小，根据相似三角形的

性质即可得到结论.

【详解】解：如图，

V∆ABC›AAOE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90o,AB=4

.ABAD

..——==1,AC=AB=4

ACAE

：.ΛABC^∕∖ADE,

：.ZADE=ZABE,

点A,D,B,E四点共圆，

,.∙NoAE=90°,

ZZ)BE=90o,

：尸是。E的中点,

BF=-DE,

2

二当。E最小时，8斤的值最小，

：若点E是直线8C上的动点，

二当AEi.8C时，AE最小，此时，OE最小,

VZBΛC=90o,AB=A,AC=4,

fiC=4√2,

X偿嗡=2日

∙/ΛABC^^∕∖ADE,

ACBC

.∙.----=-----,

AEDE

■44夜

^2√2-^DE

DE=A,

.∙.BF=2,

.∙.8F的最小值是2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，四点共圆，直角三角形

的性质，确定出当DE最小时、BF的值最小是解题的关键.

9.如图，等边一ΛBC的边长是2,点。是线段BC上一动点，连接AD,点E是A。的中点，

将线段DE绕点。顺时针旋转6()。得到线段DF,连接FC,当一CD厂是直角三角形时，则线

段8。的长度为.

D

【答案】1或34

【分析】KDF是百角角形分三种情况讨论：①当NZ*C=90°时，当点F在AC上时,

根据等边三角形的性质得NFDC=180o-ZDFC-ZC=30°,根据旋转的性质得。F=；AD,

根据等腰三角形三线合一，^BD=⅛C=∖.②NDCr=90°延长。尸到G使DG=D4,连

接AG、CG,过G作G”,8C交BC延长线于根据相全等三角形的判定得AABDT

ACG,即CG=2C，，设CH=X,则CG=BD=2x,由旋转性质得出DF=gOG,再由

2

DCDF

相似三角形的判定得出DCFsADHG,再由相似的性质得出e=χ=71,即50=彳4;

DHDCJ23

③当NCr)F=90°时，ZADF+ZCDF+ZADB=210°>180o,Na)P=90°不成立.

【详解】解：①当Nf>HC=90。时，

当点F在AC上时，

ABC是等边三角形且边长为2,

.∙.AB=AC=BC=I,NC=60°,

.∙.ZFDC=180。-NDFC-NC=30°,

DE旋转60°得到线段DF,

.-.ZEDF=GOo,

.∙.ZADC=NEDF+ZFDC=90°,

.∙.ZDAC=180o-ZADC-ZC=30°,

.∙.DF=-AD,

2

E是AQ的中点，

.∙.DE=-AD,

2

.∙.DE=DF,

即AD/BC时，ZDFC=90°,

.-.BD=-BC=X-,

2

②/ZXT=90°,如图，

延长DF到G使。G=ZM,

连接AG、CG,

过G作GHj_BC交3C延长线于”，

AD=DG,ZADG=60o,

.∙.AOG是等边三角形，

o

.∙.ZZDt4G=60,AD=AG9

一A5C是等边三角形，

ΛAB=ACiZBAC=ZB=ZACB=60°

.∖ZBAC=ZDAG,

:.ZBAC-ZDAC=ZDAG-ZDAC1

即ZBAD=ZCAG,

在AABQ和耳ACG中，

AB=AC

<ΛBAD=ΛCAGi

AD=AG

:._ABD^λACGCSAS)f

..BD=CG,NB=ZACG=60。,

"GCH=180o-ZACB-ZACG=60°,

GH工BC,

.•.4=90。,

.∙.NCGH=30。，

:.CG=ICH.

设CH=X,则CG=Bo=2x,

E是Af)中点，

.'.DE=-AD

29

由旋转性质可知DF=DE,

,AD=DG,

:.DF=-DG

2f

.ZDCF=90°=AH,ZCDF=ZHDG,

:.DCFSADHG,

.DCDF

'"DH~~DG~2J

:.DC=-DH,

2

JDC=CH=X,

BD+DC=2,

:.2x+x=2，

2

x=-

31

4

/.BD=-;

3

③当NC。尸=90。时，

QZADF=60。，ZADB>ZACB=60°,

.∙.ZADF+ZCDF÷ZADB=210o>180o,

.∙.Nα*=∕r不成立，

4

综上，比>=1或§；

4

故答案为：1或g∙

【点睛】本题考查等边三角形中动点的旋转问题.通过旋转构造另外的等边三角形以及全等

手拉手模型，本题考查的知识较为综合，难度较大，通过分类讨论确定动点的位置，熟记旋

转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质

是解题的关键.

10.已知任意直角三角形的两直角边a,b和斜边C之间存在关系式:如图，在AABC

中，NBAC=90。,AB=AC,点。在BC上,80=3,CD=4,以AD为一边作4ADE,使Nf)AE=90。，

AD=AE.若点M是CE上一个动点，则线段CM长的最小值为.

【分析】连接CE,过点C作CM，OE于点H,首先证明BAD^.C4£,可推导CE=%>=3,

ZACE=N8,再证明/ECD=90。，在肋ACOE中，由勾股定理计算£>£=，由+5=5,

12

然后借助三角形面积求出CH=M,根据“垂线段最短”可知，当CMLOE,即M、"重合

时，线段CM的长取最小值，即可获得答案.

【详解】解：连接CE,过点C作CW_LDE于点从如下图,

VZBAC=ZZME=90o,β∣JZBAD+ZDAC=ZZ¾C+ZCAE,

,

..ZBAD=ZCAEf

*：AB=ACfAD=AEf

.∙.ABAD经LCAE(SAS),

∙∙∙CE=BD=3,ZACE=ZB,

,.∙ZBAC=90o,

：.ZB+ZACB=1-ABAC=90o,

ΛZACEZACB=ZB+ZACB=90o,即NEeD=90。，

工在RtACDE中,DE=√CE2+CD2=√32+42=5，

YCH-LDE1

：.SYCDE=；CDeE=；DEcH，δP∣×4×3=∣×5×CW,

12

解得C"=],

：点M是DE上一个动点，则当CMJ_DE,即M、”重合时，线段CM的长取最小值，

12

此时CM=C"=《.

12

故答案为：y.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作图辅助线构建

全等三角形是解题关键.

三、解答题

11.已知：如图，在Rt∆ABC中，∕C=90?,AS=5cm,AC=4cm,动点尸从点8出发沿

射线8C以ICmzS的速度移动，设运动的时间为r秒.

⑴求BC边的长；

(2)当NBP为直角三角形时，求f的值;

(3)当ZVWP为等腰三角形时，求r的值.

【答案】⑴3cm

⑵3或日

(3)5或6或乡25

【分析】(1)利用勾股定理即可求出结论；

(2)由题意可得：BC=tcm,ZB≠90o,然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用

勾股定理等知识即可解答；

(3)当AABP为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形,

根据三线合一、勾股定理等知识即可解答.

(1)

解：；在用ABC中，∕C=90?,AB=5cm,AC=4cm,

∙'∙BC=JAfiLAC?=3crn.

(2)

解：BC=tern,ZB≠90o

当NAPB=90。时，点P与点C而合，

.,.BP=BC.

即t=3；

当NPA8=90。时，如下图所示：

.∙.CP=BP-BC=(t-3)cm.

∙/AC2+CP2=AP-=BP2-AB2,

.∙.42+(r-3)2=r-52,

解得：t--y.

综上：当△的为直角三角形时，r=3或号;

(3)

解：当Afi=AP时，如下图所示：

A

,：AClBC.

：.BP=2BC,

即，=2x3=6.

当AB=BP时，如下图所示:

当AP=BP时，如下图所示:

则C尸=8C-8P=(3τ)cm,AP=BP=t,

在RfAPC中，AC2+CP2=AP2,

即42+(3-/)2=?,

解得：t=^25-.

6

25

综上：当AABP为轴对称图形时，，=5或6或

O

【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是

解决此题的关键.

12.如图，在矩形48CD中，设ΛB=α,AD=b,且α>6.

(1)若α,b为方程d-依+k+4=0的两根，S.BD=2√10,求A的值.

(2)在(1)的条件下，尸为CQ上一点(异于C、0两点)，?在什么位置时，∆APB为直角

三角形？

(3)P为CO上一动点(异于C、E)两点)，当α,人满足什么条件时，使AAPB为直角三角形的

尸点有且只有一个？请直接写出“,。满足的数量关系.

【答案】(l)k=8

(2)产在(3+6)或(3-石)位置时，AAPB为直角三角形

(3)a=2b

【分析】(1)根据矩形性质求出RrAZ)B斜边与两直角边的关系，根据两直角边又是一元二

次方程的解，由此即可求解；

(2)在矩形中，ZW>8为直角三角形，则可找出∕⅛CBP〜∕⅛DPA,根据对应边的比相等，

即可求解；

(3)求唯一值，可以根据一元二次方程的判别式A=O来判断，主要是找出矩形的两直角边

与点P的数量关系，由此即可求解.

(1)

解：∙.∙8O=2j而且是矩形ABC。的对角线，在RtA中，AB=a,AD=b,

∙,∙BD=√o2+b2=2√10，即a2+b2=(a+b)2-2ab=40，

Va,。为方程χ2-^+z+4=0的两根，根据韦达定理得，

：.a+b=-(-k)=k,ab=k+4,

Λ⅛2-2(*+4)=40,解-元二次不等式得，

k`=-6,⅛2=8.

当女=-6时，原方程得f+6χ-2=0,则χJ±j62+8不符合题意,故舍去；

2

当k=8时，原方程得V—8X+12=0,则%=8±正8)2卫=型,

22

∙'∙0=6,b=2,符合题意，

故答案是：k=8.

(2)

解：根据(1)得，。=6,⅛=2,如图所示，

设。P=%,贝IJCP=6—%，

若AVZ为直角三角形，在矩形4?C。中，RtCBP~RtDPA,

「R[)P9Y

‘而二'即i≡T5'解分式方程得,…0…5

.∙.P在(3+0)或(3-逐)位置时，∆APB为直角三角形.

(3)

解：根据题意

设。P=m,则CP=α-x,

若“Pa为直角三角形，在矩形ABC。中，RtCBP~RtDPA,

01,即bin2

7，m~2-aιn+h~=0»

CPDAa-tnb

∙∙∙P点有且只有一个,

Λ(-a)2-4⅛2=0,B∣Ja2=4b∖

.*.a=2b,

故答案是：a=2b.

【点睛】本题主要考查的矩形的性质，相似三角形的运用，理解和掌握矩形的性质，相似三

角形的性质是解题的关键.

13.如图，AASC是边长是12Cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,B两点出发，分别

沿A3,8C方向匀速移动，其中点P运动的速度是ICmzS,点。运动的速度是2cm∕s,当点。

到达点C时，P、。两点都停止运动，设运动时间为r(s),解答下列问题:

(1)当点。到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由.

(2)在点P与点。的运动过程中，VBPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出J若不能,

请说明理由.

(3)则当，为何值时，VBPQ是直角三角形?

【答案】(I)PQ与AB垂直，见解析

(2)能，4

(3”=2.4秒或/=6秒

【分析】(1)根据题意求出”的长度，则可知点P为AB的中点，根据等边三角形的性质

即可得出答案：

(2)若VBPQ是等边三角形，则BP=PQ=8Q,列出相应方程求解即可；

(3)分两种情况进行讨论：当NBQP=90?时；当NBPQ=90。时.

(1)

当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，

理由如下：

,/AB=AC=BC=ITcm,

当点Q到达点C时，可得AP=6cm,

点P为AB的中点，

.∙.PQVAB.,

(2)

假设在点P与点Q的运动过程中，XBPQ能成为等边三角形，

IBP=PQ=BQ,

.∙.12-r=2r,解得f=4,

.∙.当f=4时，VBPQ是等边三角形；

(3)

根据题意得AP=/,BQ=2t,

.∙.BP=n-t,

当N8QP=90?时，

∙.∙∕P8Q=60?,

∙.∙∕3PQ=30°,

ΛBQ=-BP,即2f=∙!∙(i2-f),解得r=24秒；

22

当∕3PQ=90。时，同理可得12-f=Lχ2r,解得r=6秒，

2

.∙.当/=2.4秒或f=6秒，VBPQ是直角三角形.

【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了含3"的直角三角形，等边三角形的性质，几何

动点问题，读懂题意，根据题意列出相应的方程是解本题的关键.

14.已知AABC是等边三角形，AD_LBC于点。，点E是直线AO上的动点，将BE绕点8

顺时针方向旋转60。得到B片连接EF、CF、AF.

(1)如图1,当点E在线段A。上时，猜想NAFC和/∕¾C的数量关系；(直接写出结果)

(2)如图2,当点E在线段AO的延长线上时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明你的

结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论；

(3)点E在直线上运动，当AACF是等腰直角三角形时，请直接写出/E2C的度数.

【答案】⑴NAFC+NE4C=90?,证明见解析

(2)成立，理由见解析

(3)15。或75。

【分析】(1)由旋转的性质可得8E=8F,NEBF=60°,由''SAS''可证二ABE空CBF,可得

NBAE=NBCF=3",由直角三角形的性质可得结论；

(2)由旋转的性质可得8E=8F,NEBF=60°,由"SAS''可证CABE丝CBF,可得

NBAE=NBCF=30°,由直角三角形的性质可得结论；

(3)由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得AB=AE,再分这情况讨论，结合等腰三

角形的性质可求解.

(1)

解：/AFC+/BIC=90?,理由如下：

•.•△A8C是等边三角形，

.∙.A8=AC=8C,ZABC^ZBAC^ZACB=60°,

"：AB=AC,ADlBC,

：.ZBAD=30°,

：将8E绕点8顺时针方向旋转60。得到BF,

LBE=BF,NEBP=60°,

.∙.ZEBF=ZABC,

：.ZABE=ZFBC,⅛AB=BC,BE=BF,

：..AB-CBF(SAS)

NBAE=NBCF=3伊,

：.NACF=90。，

ZAFC+ZFAC=90°;

(2)

(1)的结论仍然成立，理由如下：

「△ABC是等边三角形，

.∖ΛB=AC=BCfZABC=ZBAC=ZACB=60°,

9：AB=AC,ADlBC,

：.NBw=30°,

•・・将BE绕点8顺时针方向旋转60。得到BF,

；・BE=BF,∕EBF=60°,

：,/EBF=NABC,

：・NABE=NFBC,KAB=BC,BE=BF,

：・；ABEgCBF(SAS)

ΛZθAE=ZBCF=30°,

/.ZACF=90°,

・・・ZAFC+ZMC=90o;

(3)

如图，当点E在点A下方时，

YAACF是等腰直角三角形,

：.AC=CF,

YAABEtACBF,

JCF=AE,

：.AC=AE=AB,

180?-

：.ZABE=

~2

：.NEBC=NABE-NABC=I5?,

如图，当点E在点A上方时，

B

同理可得：BAD=30,?AB=AC=AE,

：.NABE=I5?,

INEBC=W.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性

质，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

15.如图，在三角形ABC中，AB=3,BC=3√3,AC=6,点。是AC上一个动点，过点。

作。口LBC于点凡过点产作EE〃AC,交AB于点E.

(1)当四边形A。FE为菱形时，则NAED=.

(2)当AQEF为直角三角形时，则CQ=.

【答案】6003或4.8

【分析】(1)根据勾股定理逆定理可得∕ABC=90?,利用菱形的性质即可得出答案；

(2)利用分类讨论结合①当∕OFE=90。时.②当∕F∙OE=RO°时，③当Nr)EF=90°时，分

别分析得出符合题意的答案.

【详解】解：⑴∙/AB=3,BC=38AC=6,

∙/32+(3√3)2=36=6。

•*.AB2+BC2=AC2,

45C=90?,

...4=30。，ZA=60o,

,.∙FE//AC,

：.NBM=4=60?,

•；四边形AoFE为菱形，

.∙.ZAEF=I80o-60o=l20°,

.∙.AAED=-AAEF=WO.

2

故答案为：60?；

(2)①当NOFE=90°时.

VFE//AC,ZO=30o,

NEFB=Ne=30°,

/.ZDfE=180o-90o-30o=60o≠90°,

这种情况不存在；

图2

VDFLBC,4=90。,

NOFe=Ns=90°，

，DF//AB,

'：EF//AC,

四边形AEFD为平行四边形,

.∙.AE=DF=Lm

2

'：/DFC=/FDE=,

DE//BC.

：.ZADf≡ZC≡30o,ZAED=ZB=90°,

在心ZLWE中，NAEr)=90°,ZADE=30°,

.∙.AE=AD=^(6-CD)

U[lCD=(6-CD),

解得：CD=3,

③当∕DEF=90。时，如图3,

图3

VEF//AC,NC=30。，

/./EFB=/C=30。,

∙.∙ZDFC=90o，

/.ZDFE=60o,

,.∙NOEF=90。,

/./FDE=30。,

∙/NB=90。，

JZFEB=60o,

,.∙NDEF=90。,

/.ZAED=30o,

.*.ZADE=90o,ZAED=/FDE=30。,

；・FD//AE,

・・・四边形AEFD为平行四边形，

AE=DF=-CD

2f

在mZVLDE中，

o

ZADE=90fZA£0=30。，

ΛAD=-AE,

2

g|]6_CD=lxiC£),

22

解得：8=4.8.

综上所述，当AbED是直角三角形时，CD的值为3或4.8.

故答案为：3或4.8.

【点睛】本题考查三角形和平行四边形综合应用.熟练掌握直角三角形的判定和含弱的

直角三角形的性质，以及平行四边形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键.

16.如图，矩形04BC顶点8的坐标为(8,3),定点。的坐标为(12,0),动点P从点。出

发，以每秒2个单位长度的速度沿X轴的正方向匀速运动，动点Q从点。出发，以每秒1

个单位长度的速度沿X轴的负方向匀速运动，P、。两点同时运动，相遇时停止.在运动过

程中，以P。为斜边在X轴上方作等腰直角三角形PQK，设运动时间为f秒，APQR和矩形

OABC重叠部分的面积为S.

(1)当Z=时，△PQR的边QR经过点B

(2)求S关于f的函数关系式，并写出f的取值范围.

【答案］⑴1

39

y-6r(0</<1)?

1

⑵S=V——r92-5r+19(l<r<2)

2

7

-z2-14r+28(2<z<4)

【分析】(1)当点B在QR上时，根据是等腰直角三角形求出AQ的长度，进而求出

DQ的长度，从而得出结果.

(2)由点尸和点0的运动情况可知，*PRQ和矩形OABC的重合部分分为3类情况：按照

三种情况的特点，分别用矩形、梯形、等腰直角三角形的面积关系分类求解即可.

(1)

解：PRQ为等腰直角三角形

.,.NRQA=45。

I四边形Q4BC为矩形

当。R经过点B时，AABQ为等腰直角三角形

1点B的坐标为(8,3),点。的坐标为(12,0)

.*.AQ=AB=3,OQ=OA÷AQ=8÷3=11

.∙.Dβ=OD-O2=12-l1=1

此时，运动时间，=ι÷ι=ι

(2)

解：①当0≤∕≤l时，

如图，设尸R交BC于点G,过点P作Pb_LBC于点，

则07=OP=2f,GH=PH=3

..S=S梯形ABG0=S矩形O4βc-S梯形OPGC

=8χ3-g(2f+2∕+3)χ3

②当1V<2时，

如图，设尸R交BC于点G,RQ交BC、AB于点S、T,

则AT=AQ=4-f,BS=BT=3T4-t)=t-l

∙*∙S=S梯形ABGP-SBST

=--r-5t+∖9.

2

③当2<f<4时，

如图，设RQ与AB交于点T,则AT=AQ=4-f,

PQ=I2—3t,PR=RQ=去(12-3t).

∙*∙S=S&PQR-SAAQT

11

=~(12-3r)92--(4-092

7

=-r29-14r+28

4

【点睛】此题考查J'等腰三角形的性质、函数与图像、矩形的性质；其中根据图像的变化情

况对重合部分的面积进行分类讨论是解决此题的关键.

17.如图，在一ABC中，AB=4,BC=6,尸是BC边上一动点，ZAPN=NB=W,过A

点作射线4W〃BC,交射线PN于点D

备用图

⑴求AC的长；

(2)求证：AP2BP-AD

(3)连接C。，若，ACD为直角三角形，求BP的长.

【答案】(1)4C=2√7

(2)证明见解析

⑶满足条件的P8的长为4或U-5

【分析】(1)如图1中，作AHJ.3C于”，根据含30。的直角三角形的性质求出B，、AH,

再利用勾股定理求出4C即可；

(2)证明-ABP~J9B4即可证明；

(3)分两种情形分别求解即可解决问题.

(1)

如图1中，作AHJ_BC于H,

AM

BHC

图1

在RtAM中，

・・・/B=60。，AB=4,

.,.BH=^AB=2,AH=CBH=2日

JCH=BC-BH=6-2=4

在RLACw中，AC=>JAH2-^CH2=^(2ΛΛJ2+42=2√7，

(2)

图2

t:AM//BC,

：.NDAP=NAPB，

YNAPD=NABP=(^,

・•・_ABP_DPA,

.PA_PB

••一,

DAPA

∙'∙AP2=BP?AD-

(3)

①如图3中，当NM)C=90。时，作44LBC于，，连接C£),

图3

，四边形A"C。是矩形,

在Rl43”中，

VAB=4,/B=60。，NΛHB=90°,

.・・^BAH=30o,

：.BH=^AB=21AH=2y[3

YBC=6,

・,.CH=4,

Y四边形4〃CO是矩形，

JAD=CH=4,

•：AP2=BPlAD，

∙*∙AP2=4BPf

XVAP2=ΛW2+P7∕2=12+(PB-2)2,

/.4PB=12+(PB-2)2,

解得P5=4;

如图4中，当∕ACD=90。时，作LBC于，，CG_LA。于G,连接CD,

图4

∙/ZACD=90o,ZAGC=90o,

/ADC+/DAC=90。，ZDAC+^ACG=90o,

・•・^ADC=^ACG,

:…CGA〜DGC,

.CGGA

*'DG^CG'

CG?=GA?DG,

Λ12=4T>G,

：・DG=3,AD=Jf

,222

.∙PA=BP∙ADfPA=AH+PH∖PH=BH-BP,

/.7BP=12+(2-BP)2

解得PB="一屈或P3=1"后(舍去)，

22

ll-√57

.∙.满足条件的P8的长为4或

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、含30。的宜角三角形的性质和勾股定理，解

决本题的关键是灵活运用所学的知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决

问题.

18.矩形488的边AB在X轴上，点C、力在第一象限，且AO=3,AB=4,点A的坐标

(2)过点A的直线/与矩形ABC。的一条边交于点E,如果直线，把矩形ABCZ)分成两部分图

形的面积比为1:2,求直线I的解析式；

(3)P是线段8上动点，DP=m,连接依，以P8为直角边在P8的逆时针方向作等腰直角

三角形PBQ,且尸8=PQ,NBPQ=90°,如图(2).

①求出点。的坐标(用含，"的式子表示)；②连接。。，当线段。。的长度最短时，求〃，的

值；

【答案】(1)(6,3);

991

(2)y=-x--^y=-x-l；

o4∙λ

(3)Q(m+5,7-m),m=∖.

【分析】(1)求出OB和BC的值即可求出点C的坐标.

(2)分类讨论，当点E在CO上和当点E在BC上时，两种情况，求出点E坐标，利用

SAAOE=gS矩形ABCD即可求出点E的坐标，再由A、E两点确定直线表达式•

(3)添加辅助线，构造“三垂直”全等，表示MP=BN=4.即可表示点。的坐标；再用

配方法确定当。。最小时，m=∖.

(1)

解：由题意知：

08=2+4=6,BC=AD=3,

.∙.C(6,3);

(2)

解：①当点E在。。上时，如图:

yk

[D._

II/Illlll

o\AB

设：E(",3),

则。E="-2,

由题意得：

SMCE=§S矩形ABCD>

即;OE∙AD=gxl2,

”(〃-2)x3=4,

2

14

.*.n=—,

3

.∙,E(y,3),

设直线/的表达式为:y=⅛lx+⅛l

3=-k.+h.

贝I」：[311.

0=2⅛1+b1

I-

.8

",9，

99

.∖y=-x——,

-84

②当点E在BC上时,如图：

1

LD,-----------IC

B

设：E(6,a),

则3E=4,

由题意得：

StlABE=ɜS矩形ABCo，

^-ABBE=-×∖2

231

-×4a=4

2i

..tz—2,

.∙.E(6,2),

设宜线/的表达式为：y=k2x^b2f

则.尸=6七+伪

[0=2k2+b2

k,=；

4=τ

1

.,.y=-x-1↑,

991

综上可知直线/的表达式为：y=gx-a或y=1；

(3)

解：

①如图作PNJ_A8,交AB于点M作QM_LPM垂足为点M,

ΛZ1+Z3=9O,Nl+N2=90,

.∙.Z3=Z2,

在AQMP与4PNB中,

NQMP=/PNB

•Z3=Z2,

PQ=PB

QMP=PNB

:.MQ=PN=3,

,DP=m,

:.MP=BN=4—m、

,∖Q(∕n-t-5,7-m),

②0Q=J(∕n+5)2+(7-Zny=√2W2-4W+74=小2(利-1丫+72>√72=6√2,

当OQ最小时，加=1.

【点睛】本题主要考查了利用几何图形求点的坐标，确定一次函数表达式，三角形全等转化

线段，二次函数求最值，转化思想和添加合适的辅助线是解题的关键.

19.问题的提出：如果点尸是锐角ZVWC内一动点，如何确定一个位置，使点P到ZVSC的

三顶点的距离之和Λ4+PB+PC的值为最小？

(1)问题的转化：如图，把aAPC绕点A逆时针旋转60。得到A4PC,连接PV,这样就把

确定Λ4+P8+PC的最小值的问题转化成确定3尸+火+〃。'的最小值的问题了，请你利用图

1画出上述操作的最终图象的示意图，并证明：PA+PB+PC=BP+PP,+P'C；

图1

(2)问题的解决：当点P到锐角AABC的三顶点的距离之和B4+PB+PC的值为最小时，贝IJ

ZAPB的度数是,ZAPC的度数是:

(3)问题的延伸：如图2是有一个锐角为30。的直角三角形，如果斜边为2,点尸是这个三角

形内一动点，请你利用以上方法，求点尸到这个三角形各顶点的距离之和的最小值.

图2

【答案】(1)画图见解析：证明见解析

(2)120°；120°

⑶√7

【分析】(1)问题的转化：根据旋转的性质证明A4∕>P是等边三角形，则F4=PQ,可得

结论；

(2)问题的解决:运用类比的思想,把AAPC绕点A逆时针旋