数列中裂项求和的几种常见模型

数列中裂项求和的几种常见模型模型一：数列是以d为公差的等差数列，且，那么例1二次函数＝3x2－2x，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；〔2006年湖北省数学高考理科试题〕解：〔Ⅰ〕因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝〔3n2－2n〕－＝6n－5.〔n=1也符合〕所以，an＝6n－5〔〕〔Ⅱ〕分析：恒成立问题。求m那么m为参数，n为变量由〔Ⅰ〕得知＝＝，故Tn＝＝＝〔1－〕.因此，要使〔1－〕<〔〕成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10..例2在xoy平面上有一系列点，…，，…，〔n∈N*〕，点Pn在函数的图象上，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切.假设.〔I〕求数列的通项公式；〔II〕设圆Pn的面积为解：〔I〕圆Pn与Pn+1彼此外切，令rn为圆Pn的半径，两边平方并化简得由题意得，圆Pn的半径为首项，以2为公差的等差数列，所以〔II〕，所以，提高：形如1/n.m,(n,m为两因子，可同可不同)形式，证不等关系是，将n或m适当放缩成等差数列相邻两项模型二：分母有理化，如：例3，点()在曲线y=f(x)上(n∈N+)，且(I)证明数列{}为等差数列；(Ⅱ)设,记，求解(I)点()在曲线y=f(x)上(n∈N+),并且an>0

，，∴数列{}为首项为=1，公差为4等差数列(Ⅱ)∵数列{}为等差数列，并且首项为=1，公差为4，∴=1+4〔n—1〕，∴，∵an>0，∴，bn＝=,

∴Sn＝b1＋b2+…＋bn==提高： 模型三：eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1)例5设数列的前项的和，n=1,2,3,….〔Ⅰ〕求首项与通项；〔Ⅱ〕设，n=1,2,3,…，证明：〔2006年全国数学高考理科试题〕.解:(Ⅰ)由Sn=eq\f(4,3)an－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3),n=1,2,3，…,①得a1=S1=eq\f(4,3)a1－eq\f(1,3)×4+eq\f(2,3)所以a1=2.再由①有Sn－1=eq\f(4,3)an－1－eq\f(1,3)×2n+eq\f(2,3),n=2,3，4,…将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=eq\f(4,3)(an－an－1)－eq\f(1,3)×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n－2n)－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2)=eq\f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1)Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1))所以,=eq\f(3,2)eq\f(1,2i－1)－eq\f(1,2i+1－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21－1)－eq\f(1,2i+1－1))<eq\f(3,2)模型四：，且，那么例6设