2022-2023学年北京高一年级下册期中考试数学模拟试卷（含解析）

2022-2023学年北京高一下册期中考试数学模拟试卷

(含解析)

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

ZM-

1.己知Ct£12),且S山α=5,则3ɑ=()

3

A.-

4

3

B.——

4

4

C.一

3

4

D.——

3

【正确答案】B

3

【详解】由Sina=—，得cosa=-JI-Sin2Cr=一,所以tani=

55

sino_3

cosσ4

故答案为B.

2.已知向量£=(/,1),g=(l,2).若£,人则实数f的值为()

11

A.-2B.2C.——D.-

22

【正确答案】A

【分析】

由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出f的值.

【详解】解：∙.∙向量万=(f,l),5=(1,2),则方石=£+2=0,

...实数f=一2,

故选：A.

本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题.

3

3.如图，角a以OX为始边,它的终边与单位圆。相交于点P,且点P的横坐标为M,则

π

sin(5+α)的值为()

【正确答案】B

JT

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(,+α)的值.

3

【详解】角ɑ以。X为始边，它的终边与单位圆O相交于点尸，且点P的横坐标为w，所

3π3

以COSa=M则sin(,+α)=CoSa=Μ；故选：B.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

4.向量zb,d在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则(1—5)1=()

A.-4B.4C.2D.-8

【正确答案】A

【分析】将W,b,工平移至同一个起点并构建直角坐标系，写出相关向量的坐标，再应用

向量数量积的坐标表示求(a-b)-c.

【详解】将7，B，1平移至同一个起点位置，如下图O点位置，建立直角坐标系x0y,

则Z=(2,2)[=(2,0)1=(-1,-2)，所以(，一B)N=。2)∙(-1,-2)=-4.

故选：A

5.已知向量Z，b,满足M=1,6=(-2,1),且卜一囚=2,则£/=()

A.-1B.0C.1D.2

【正确答案】C

【分析】求出石的模，利用归一4=2即可求出的值.

【详解】由题意，

∣α∣=l,b-(-2,1),且,d∣=2,

解得：a∙B=T，

故选：C.

6.设函数/(x)=Sin(OX-3+43>0),若/(x)"C任意的实数X都成立，则。的

一个可取值为()

A.4B.5C.7D.8

【正确答案】D

【分析】由/(x)≤∕f∣j对任意的实数X都成立得SinN∙；-外=1,即有

【详解】∙∙∙∕(x)≤∕(]J对任意的实数X都成立，故Sin(Om-3=1,则

TΓTTTT

ω----=-+2mπ,weZ,⅛(υ=2+6m,w∈Z,故当加=1时，一个可能取值为8.

故选：D

uumUUL

7.已知尸为Δ∠4BC所在平面内一点，BC=2CP＞则()

ULlT1ULUT3UUlT

AP=一一AB^-ACAP=-AB+-AC

22

ULUr3Uur1UUlTUiir2ulu*1ʊʊŋr

AP=-AB--ACAP=-AB+-AC

2233

【正确答案】A

【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.

【详解】由题意作出图形,如图,则

BCP

»*.—∙I*,I■・■—.I..■•■

AP=AC+CP=AC+-BC=AC+^(AC-AB)

1—•3—•

=——AB+-AC,

22

故选：A.

8.设α∈R,则是第一象限角”是“5足0!+(：051>1”的

A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【详解】充分性：若α是第一象限角，则

Sina>O,COSa>0,(si/α+cosl)-=1+2sinacosa>1,可得Sina+cosα>I,必要性:

若Sina+cosa>1,。不是第三象限角，(^sina+cosa)*=1+2sinacosa>∖,

SinaCoSa>0,则α是第一象限角，“α是第一象限角”是“sina+cosα>1''的充分必要条

件，故选C.

【方法点睛】本题通过任意角的三角函数主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断

充要条件应注意：首先弄清条件P和结论4分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝

试Pn4,4=P.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直

观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；

对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

9.已知函数y=Zsin(<υx+0)的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移/(/>0)

个单位长度，得到函数y=∕(x)的图象.若函数y=∕(x)的图象关于原点对称，则/的最

小值()

【正确答案】B

【分析】结合函数图像求出函数>=Zsin((υx+8)的图像距离原点最近的点的坐标，即可

确定/的值

【详解】解：如图设函数y=4sin(s+g)的部分图像与X轴的交点为Z,8,C,

由图可知/(_?)=α,∕[])=-α,所以/[5)=-/O

所以点(-7,αJ与点(,,-aJ关于点A对称，

设/(%,O),则一生+2=2肛，解得Xz)=工，

626

因为将函数y=4sin(<yχ+e)函数的图像向左平移/(，>0)个单位长度，得到函数

y=/(x)的图像，且图像关于原点对称，

所以平移后的函数V=∕(x)为奇函数，即/(0)=0相当于把丁=/5沦(0》+0)的图像与

X轴最近的交点平移到坐标原点即,由图可知此点为/

所以Z=2冗,

6

故选：B

10.函数/(χ)的图象如图所示，为了得到函数y=2sinx的图象，可以把函数/(χ)的图

象

A.每个点的横坐标缩短到原来的1;（纵坐标不变），再向左平移T一T个单位

23

Tr

B.每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移一个单位

6

TT

C.先向左平移一个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

6

D.先向左平移一TT个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1土（纵坐标不变）

32

【正确答案】C

【详解】根据函数f（x）的图象，设f（x）=AsinCωx+φ）,可得

,12π2ππC

4=2,—•—=------7∙∙co—2.

2ω36

Jrl'FirJl

再根据五点法作图可得2x-+*=O,;.8=-一，/（x）=2si”（2x-一），

633

故可以把函数/（X）的图象先向左平移四个单位，得到y=2sH2x+^-X）=2si〃2x

633

的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2si"x函

数的图象，

故选C.

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.

11.已知）=（1,-2）,b=（-2,x）,若£〃坂，则实数X的值为.

【正确答案】4

【分析】根据向量平行的坐标表示：［〃加=再为一%2M=O即可求解∙

【详解】因为£〃BOXJ2一马Y=0,所以lxx—(—2)x(—2)=0,解之得.x=4

故4.

12.在平行四边形ZBC。中，已知向量窈=(1,2),AD=(2,3).则抚=

【正确答案】(3,5)

【分析】

根据向量加法的平行四边形法则知万=湘+N万，利用向量的坐标运算即可.

【详解】因为在平行四边形ZBCO中，

所以祝=而+而，

又因为方=(1,2),AD=(2,3),

所以就=(1,2)+(2,3)=(3,5),

故(3,5)

本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量的坐标运算，属于容易题.

13.已知向量Z=(1,2),B=(3,1),则向量B夹角的大小为.

式

【正确答案】一

4

【分析】直接利用CoS(2B)=r⅛,即可能求出向量Z与B的夹角大小.

ITH

【详解】；平面向量。=(1,2),力=(3,1),

Tτci*h3+2y∣2

・cosa,b=1—=-j=--f==----.

∣Λ∣∙∣Z?!y/5∙y∕lθ2

又•：Qwklgwπ,=

TrTT

；・向量Q与B的夹角为一，故答案为一.

44

本题考查两向量的夹角的求法,解题时要认真审题,注意平面向量坐标运算法则的合理运用,

是基础题.

77兀、

--<X<-的图象交于“，N(不与坐标原点0重合)

(22J

两点，点N的坐标为'],θj,则(而+AN)-'Ad

2

【正确答案】—

2

【分析】根据向量加法的平行四边形法则以及向量的数量积，即可求解.

【详解】解：如图所示，根据向量加法的平行四边形法则以及向量的数量积，得

22

(而+京).而=2而∙T∂=2∣研吟，

兀2

故——

2

15.已知函数/(x)=2Sin(OX+8)(。>0),曲线y=/(x)与直线y=相交，若存在相

TT

邻两个交点间的距离为则。的所有可能值为___________.

6

【正确答案】2或10

【分析】

令2sin(fyχ+e)=J解得<υx+Q=2左乃+?,左eZ或<υx+e=2左乃H∙-ɪ,æ∈Z,

']ι5'Jt'jf

根据存在相邻两个交点间的距离为一，得到》2-》产——=一或％,-Xl=——=一，即可求

623w62'3w6

解，得到答案.

【详解】由题意，函数/(x)=2Sin(OX+颂0>0),曲线y=/(无)与直线y=√i相交，

令2Sin3X+φ)=杷,即sin(ωx+0)=-ɪ，

71、2^7

解得。x+9=2kπ+-,k∈Z^Lωx+φ=2kπ+—,k∈Z,

77

由题意存在相邻两个交点间的距离为一，结合正弦函数的图象与性质,

6

2JL77"'Jl'Γl

可得-------+2kπ=W(X-X),Λ∈Z,令k=。,可得/一11=—二—，解得狡=2.

332I3w6

7TT2TT5τrτc

或--------+2kπ=W(X-X),Λ∈Z,令人二0,可得乙一XI=——=—，解得W=I0∙

332I3w6

故2或10.

本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用

三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞫能力,

属于中档试题.

三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

16.函数/'(x)=2sin(2x-F

（1）求函数/（χ）的单调递增区间和最小正周期；

（2）请用“五点法''画出函数/（元）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格

中填上所需的数值，再画图）；

%

2-

1-

-OX

X

2x--O

6

y

jr2

（3）求函数/（x）在一五，§兀上的最大值和最小值，并指出相应的X的值.

TTTT

【正确答案】（1）单调递增区间是一二+左兀,；+k7i,AeZ;最小正周期无；（2）填表

63_

见解析；作图见解析；（3）最大值为2,最小值为一1,X=与时/（x）取得最小值，X=T

时/（x）取得最大值.

【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数/（x）的单调递增区间和最小正周期;

（2）列表，描点、连线，画出函数/'（X）在长度为一个周期的闭区间上的简图；

（3）求出Xe时函数/（x）的最大值和最小值，以及对应X的值.

【详解】解：⑴函数/（x）=2sin2x—B

TrTCJC

令----h2kn≤2x—≤—F2Λτι，人∈Z；

262

解得----H2Aτι≤2x≤-----F2ATC,《∈Z；

33

TTTT

即---Fkτι≤%≤—Fku,4∈Z；

63

JLjr

所以函数/（x）的单调递增区间是-2+E,；+k7i,左∈Z;

最小正周期T=甘=π;

（2）填写表格如下;

X兀π7π5兀13π4π

123n~6TTT

π3π5π

2x--Oπ2π

62TT

yO2O-2O2

用“五点法”画出函数/（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图为;

所以函数/(x)=2sin(2x-E)在若争上取得最大值为2,最小值为一1,

且X*时/(x)取得最小值，X=:时/(x)取得最大值.

本题考查正弦型函数的性质以及“五点法”作图，本题要掌握基础函数的性质以及整体法的应

用，同时熟悉“五点法”作图，考查分析能力以及作图能力，属中档题.

17.己知函数/(x)=Sin(Jx+∙∣)

(1)求/(x)的单调递减区间及对称轴方程；

(2)设x=m("?∈R)是函数y=∕(x)图像的对称轴，求sin4加的值；

(3)把函数/(x)的图像向左平移8个单位，与/(x)的图像重合，直接写出一个夕的值：

(4)把函数/(x)的图像向左平移夕个单位，所得函数为偶函数，直接写出夕的最小值；

(5)当xe［0,f］时，函数/(x)的取值范围为［一1/，直接写出/的最小值；

(6)己知函数/(x)在［0刁上是一个中心对称图形，直接写出一个符合题意的/的值：

(7)设函数⑴JI」(2J,直接写出函数g(x)在［0,2兀］上的单调递减区间.

sin(x+π)

jr7兀z

【正确答案】(1)单调递减区间为-+4kπ,-+4∕cπ,(⅛∈Z)对称轴方程为

TT、

X=I+2kτt(k∈Z)

.√3

(2)sin4m=------

2

(3)4π

π

(4)3

5∖7π

73-

6∖8π

zl3-

7∖Γπ

zll~

兀、

【分析】函数/(x)=Sin-x+-,由正弦函数的图像和性质，依次解决各小题中的单调

237

区间、对称轴、值域、奇偶性、图像平移等问题.

【小问1详解】

,π1π∈)Aτt/UJT/,77t

由一+2®<—x+—≤^-+2kπ(^kZ,解得一+4Λπ≤X≤—+Akτι(k∈Z),

22333

Tr7τr

所以/(x)的单调递减区间为-+4kπ,-+4kπ，(左∈Z).

由;x+C=^+而，解得x=g+2E(%≡Z),所以/(尤)的对称轴方程为

X=y+2Λπ(⅛∈Z)；

【小问2详解】

=sin(竺+8左兀、.πʌ/ɜ

由(1)知加=W+2kπ(k∈Z),sin4〃?-sin-=-——：

I3732

【小问3详解】

_2π.

T=—=4兀

函数最小正周期为1,所以夕的一个值可以是4无；

2

【小问4详解】

把函数/(χ)的图像向左平移夕个单位，所得函数

SML+4+A1ππ

y=smj(χ+^)+y由函数为偶函数，-φ+-=-+kπ,

(223)

TlTt

φ=-+2kκ,。的最小值为巴；

33

【小问5详解】

当X∈［θ,z］时，-^∙X+y∈y,ɪ+y,函数/(X)的取值范围为［~~L1］,∙^∙÷y≥ɪ»

t≥--,E的最小值为---；

33

【小问6详解】

ɪ兀兀t兀

X∈［0,q时，-x+y∈ʒ-,ɪ+-,已知函数/(X)在［0,4上是一个中心对称图形，

—I—=—时符合条件，此时，=—;

2333

【小问7详解】

xC0SA+

设函数(/()[2J_y(x)(_sinx)

由(1)中结论和SinXW0,

⑴一:-=∕(x)’

g―s\m(x+πj\-Sinx

函数g(x)在［0,2兀］上的单调递减区间为pπh∏(π,2π).

18.已知函数/(x)=Sin*x+3CoSX+3,(XeR).

(1)判断函数/(x)的奇偶性并说明理由；

(2)求/(x)的最小值并指出函数取得最小值时X的值;

(3)直接写出函数/(x)在［0,2可上的零点.

【正确答案】⑴/(x)是偶函数，理由见解析.

(2)X=兀+2航(左eZ)时，/(尤)取得最小值为0.

(3)π

【分析】⑴判断/(r)与/(x)的关系即可.

(2)可转化为关于CoSX的二次函数求最值.

(3)先求出CoSX的值，再结合定义域可得/(x)的零点.

【小问1详解】

解：/(X)的定义域为R,

因为J∖~x)-sɪ112(-∙x)+ɜcos(-x)+3=sin2X+3cosx+3=J∖x),

所以/(x)是偶函数.

【小问2详解】

解：/(x)=sin2x+3COSX+3=1-COS2x+3CoSX+3

=-cos2x+3CoSX+4=-(CoSX-ɪ)2+—,

24

因为一14COSX≤1,所以当COSX=-I即x=7i+2析(左eZ)时，

/'(X)取得最小值为0.

【小问3详解】

函数/(x)在［0,2可上的零点为π.

19.已知函数/(x)的定义域为R,若存在常数T≠0,使得/(x)=V(x+T)对任意的

XeR成立，则称函数/(x)是。函数.

(1)判断函数尸(X)=X,〃(x)=SinH是否是Q函数，不必说明理由；

(2)若函数/(x)是。函数，且/(x)是偶函数，求证：函数/(x)是周期函数；

(3)若函数/(x)=Sin丘是。函数.求实数上的取值范围；

(4)定义域为R的函数g(x)同时满足以下三条性质：

①存在XOeR,使得g(∕)≠0;

②对于任意XeR,有g(x+2)=9g(x).

③/(x)不是单调函数，但是它图像连续不断，

写出满足上述三个性质的一个函数g(x),则g(x)=.(不必说明理由)

【正确答案】(1)E(X)=X不是Q函数，MX)=SinTU是。函数

(2)证明见解析(3){k∖k=tπ,t∈Z}

(4)g(x)=3"sin2πr(答案不唯一)

【分析】(1)根据所给定义判断即可；

(2)根据O函数的定义、偶函数的性质及周期函数的定义证明即可;

(3)依题意可得SinAX=TSinAɪeosAT+TCoSAXSinAT对任意的XeR成立，即可得到

coskT=-Sin左7=0,从而得解;