新教材同步系列2024春高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质定理课件新人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质定理学习目标素养要求1．理解平面与平面垂直的性质定理直观想象2．会应用面面垂直的性质定理证明空间位置关系的简单命题逻辑推理|自学导引|

平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果______________有一直线垂直于这两个平面的__________，那么这条直线与另一个平面__________．符号语言图形语言一个平面内交线垂直a⊂α

a⊥l

【预习自测】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是

(

)A．平行 B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直 D．相交且垂直【答案】D【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又∵EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1．故选D．如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？【提示】正确．若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．|课堂互动|题型1面面垂直性质定理的应用如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC．又∵BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB．又∵AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB．平面与平面垂直的性质及应用若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：一是两个平面垂直是前提条件；二是直线必须在其中一个平面内；三是直线必须垂直于它们的交线．证明：如图，设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC．∴PC2＋CD2＝PD2，则PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD．∴EO⊥平面ABCD．∵EO⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．题型2线线、线面、面面垂直的综合应用如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，则能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．

∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD．∵BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB．∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB．(2)解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．证明如下：在△PBC中，FE∥PB．在菱形ABCD中，GB∥DE．又∵FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB．由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD．1．空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：2．空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰（边）三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．解：(1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB．当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC．又因为CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE．(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．证明如下：①当点D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以点C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD．②当点D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE．又因为AC＝BC，所以AB⊥CE．又因为DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE．由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD．综上所述，总有AB⊥CD．易错警示对面面垂直性质定理的条件把握不准确致误已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是 (

)A．3 B．2C．1 D．0错解：B易错防范：④中过一个平面内任意一点作交线的垂线，并没有说明这一垂线一定在平面内．

对于④，很容易认为是正确的而错选B．“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过一点作的直线不一定在平面内．正解：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD．对于①，AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故①错误；②显然正确；对于③，AD1⊂平面AA1D1D，但AD1与平面ABCD不垂直，故③错误；对于④，D∈平面AA1D1D，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，过点D作AD的垂线，假设为C1D，易证C1D⊥AD，而C1D⊥平面ABCD显然不成立，故④错误．综上，正确命题的个数为1．故选C．|素养达成|面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归、转化思想，其转化关系如下：1．(题型1)下列命题中错误的是

(

)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．2．(题型1)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 (

)A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【答案】D【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面、相交直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立.3．(题型1)已知直线m，n与平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是

(

)A．m∥n B．n⊥mC．n∥α D．n⊥α【答案】B【解析】根据平面与平面垂直的性质定理可知应增加条件n⊥m，才能使n⊥β．4．(题型2)如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．5．(题型2)如图，在三棱锥P－ABC中，E，F分别为AC，BC边的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°．求证：平面PEF⊥平面PBC．证明：(1)∵E，F分别为AC，BC边的中点，∴EF∥AB．又∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平