八年级数学下册讲义（人教版）：平行四边形（学生版）

第10课平行四边形目标目标导航课程标准1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3.能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．4.理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．知识精讲知识精讲知识点01平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“”，读作“”.注意：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点02平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边；2．角的性质：平行四边形邻角，对角；3．对角线性质：平行四边形的对角线；4．平行四边形是对称图形，对角线的交点为对称中心.注意：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边或两边；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的关系或关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点03平行四边形的判定1.两组对边分别的四边形是平行四边形；2.两组对边分别的四边形是平行四边形；3.一组对边且的四边形是平行四边形；4.两组对角分别的四边形是平行四边形；5.对角线的四边形是平行四边形.注意：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.知识点04三角形的中位线1．连接三角形两边的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线于三角形的第三边，且等于第三边的.注意：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.知识点05平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指，是正值.（2）平行线间的距离任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.能力拓展能力拓展考法01平行四边形的性质【典例1】如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长．【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．【即学即练2】如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____．【即学即练3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．【即学即练4】如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．【即学即练5】已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则▱ABCD的面积是_____．【即学即练6】如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______°．【即学即练7】如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，那么它的另一条对角线的长m的取值范围是______________.【即学即练8】若以A(1,2)，B(－1,0)，C(2,0)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点坐标为________．【即学即练9】如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线．

（1）求证：AE⊥BE；

（2）若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积．

考法02平行四边形的判定【典例2】已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．

求证：四边形PBQD是平行四边形．

【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．【即学即练2】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．【即学即练3】如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．(1)求证：OD=OC．(2)求证：四边形AFBE平行四边形．【即学即练4】以锐角△ABC的边AC、BC、AB向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．考法03构造平行四边形，应用性质【典例3】在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.考法04三角形的中位线【典例4】如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．【即学即练1】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将()．A．先变大，后变小B．保持不变C．先变小，后变大D．无法确定【即学即练2】如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．【即学即练3】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____．【即学即练4】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．【即学即练5】如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是_____．分层提分分层提分题组A基础过关练1．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（）A．15 B．18 C．21 D．242．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150° B．130° C．120° D．100°3．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（）A．28 B．24 C．21 D．144．平行四边形所具有的性质是（）A．对角线相等 B．邻边互相垂直C．每条对角线平分一组对角 D．两组对边分别相等5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（）A．10 B．14 C．20 D．226．平行四边形的边长为5，则它的对角线长可能是()A．4和6 B．2和12 C．4和8 D．4和37．如图，在中，分别是的中点，点在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是（）A． B． C． D．8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．18题组B能力提升练10．已知直角坐标系内有四个点A(-1，2)，B(3，0)，C(1，4)，D(x，y)，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为___________________．11．如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，，，则平行四边形ABCD的面积为______．12．如图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“√”，错误的打“×”．（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．()（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．()（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．()（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．()（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．()（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．()13．如图，线段AB＝4，点P在以AB为直径的圆上，在AB的同侧作等边△ABD、等边△APE和等边△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．14．如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE+DF=___．15．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为_____（用含α的式子表示）．题组C培优拔尖练16．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．求证：（1）；（2）和互相平分．17．如图，在四边形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（1）当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；（2）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；（3）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．19．如图