高中数学新教师培训

强调数学内容结构，突出数学思想本质

重视数学学习过程，发展数学核心素养

——高一必修教材解读

高中数学新教师培训初中、高中内容的差异初中高中表达相对直观更加抽象概念相对具体更加一般几何、代数相对分离更加融合统计、概率侧重描述侧重推断高中内容更加抽象、严谨，如函数一、以“顺序性”“连续性”“整体性”“关联性”为原则，构建符合数学逻辑和学生认知规律的教科书体系整体与结构预备知识

完善教材中数学知识的衔接性、系统性和过程性，为高中数学课程做好知识技能、学习方式、学习心理等方面的准备。预备知识集合与常用逻辑1.预备知识为何包括这两部分内容？一元二次函数方程和不等式2.预备知识预备了什么？3.初中向高中过渡关键单元（课时）在哪？4.如何把握住这个关键单元（课时），如何设计？思考问题：1.做好知识技能的准备；学习方法的过渡；2.做好学习心理的准备.集合与常用逻辑用语

以初中学过的内容为载体，引导学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达学过的相应数学内容，实现从具体的初中数学知识向较为抽象的高中数学知识的过渡。标准：删去了四种命题及其关系，简单的逻辑联结词；增加了数学判定、性质、定义与充分条件、必要条件、充要条件的关系。标准解读：尽量选择一般逻辑学中对数学最有用的、又能说的清楚的内容。例如，充分条件与判定定理的关系，必要条件与性质定理的关系，充要条件与数学定义的关系。增加判定、性质、定义与充分、必要、充要条件的关系数学≠逻辑学：数学依赖逻辑，逻辑依赖数学，亦或彼此依赖？用数学的例子，慎用生活中的例子，特别是文学中的例子。有志者，事竟成一元二次函数与方程、不等式

通过梳理等式的性质，以“运算中的不变性就是性质”为指导，类比等式的性质研究不等式的性质；

通过回顾一次函数与一次方程、不等式的内容，类比研究一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式及其图象解法；

通过“回顾、梳理—提炼—迁移”，发展一般性的思想方法。基本不等式定位：学习了不等式及其性质后，研究一个特殊的、重要的不等式。基本不等式建立了算术平均数与几何平均数之间的联系，在解决最值问题中能发挥重要作用。它和不等式的性质、一元二次不等式一起提供高中数学学习必备的不等式工具。把握最值问题的难度，教材中的题目已经有了一些基本变形，后续函数、解析几何、导数等的学习中再结合具体问题提高要求。第一层紧扣教材，第二层在幂函数学完之后，探究y＝x＋1/x的图象与性质，再把它们联合起来，第三层到复习阶段再提高难度。函数一般到特殊：一般函数

基本初等函数；连续函数离散函数（数列）整体与局部：单调性（导数）刻画局部变化规律（任意，集合）运动变化现象函数的概念、表示函数的图象、性质函数的应用运算先导

三角函数的结构课标：强调整体性。“三角函数”纳入“函数”；“三角恒等变换”纳入“三角函数”。教材：“事实（周期性现象）—角与弧度—数学对象（三角函数的定义）—图象与性质（周期性、单调性、奇偶性、最值等）—三角恒等变换—联系与拓展（y=Asin(ωx+φ)）—应用”

。突出三角函数作为刻画周期运动的数学模型借助单位圆定义三角函数、研究三角函数的性质三角恒等变换的和差角公式体现了圆的旋转对称性（推导公式时承上启下）；y=Asin(ωx+φ)处理方式变化（刻画一般圆周运动），要用到三角变换。没有给三角函数线：有向线段，大小与方向（概念、技术等因素）几何与代数平面向量（必修）空间向量（选择性必修）路径：概念、运算（线性运算、数量积）、基本定理、坐标表示、应用（几何、三角、物理）复数：数系的扩充立体几何初步→空间向量与立体几何平面向量及其应用第六章

平面向量及其应用（18）6.1平面向量的概念（1）阅读与思考

向量及向量符号的由来6.2平面向量的运算（6）6.3平面向量基本定理及坐标表示（4）6.4平面向量的应用（5）阅读与思考

海伦和秦九韶小结（2）数学探究

用向量法研究三角形的性质（3）向量是近代数学中重要和基本的概念之一。向量具有物理背景和几何背景。向量是沟通几何、代数、三角函数之间的桥梁。向量在数学和物理学科中具有广泛的应用。桥梁：代数、几何、三角函数代数——运算：加、减、数乘、数量积……，类比数的运算因为运算，向量的力量无限，没有运算，向量就是一个路标几何——有向线段表示，形三角函数——边角之间的定量关系推广：空间向量，立体几何应用——物理：力、位移、速度，功——几何——余弦定理、正弦定理用向量联系几何与代数——向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。平面向量：平面几何中的向量方法；余弦定理、正弦定理、解三角形。复数：复数的几何意义、三角表示；复数代数形式加减运算，乘除运算三角形式的几何意义。立体几何初步：几何体结构，点线面的位置关系。空间向量与立体几何：证明判定定理；直线、平面间的位置关系；解决距离、夹角问题。解析几何：倾斜角引入，斜率公式推导，点到直线距离公式。结构体系概念：背景，数学化运算：价值，结构化平面向量基本定理：平面的表示，坐标化的基础运算的坐标表示：坐标法、向量法应用运算的物理背景及其定义的合理性用有序数对刻画向量，向量运算的数量化向量投影的意义高维空间到低维空间的变换：二维到一维，三维到二维投影仍然是一个向量数量积的意义处理几何问题：点到直线的距离公式三角形“回路”三角形——最重要的几何图形，是初中阶段最重要的图形，高中将三角形进行定量研究，将几何中的定性与定量相结合，解三角形余弦定理：两边夹角，三角形唯一确定；三边→三角；全等正弦定理：边与对角的正弦成比例，边与对角互相转化，角与对边互相转化；两边及其夹角的正弦之积是定值，二维的量，与面积有关复数：概念、运算、三角表示整体性与联系性有序数对立体几何立体几何初步（必修）

基本立体图形基本图形的位置关系空间向量与立体几何（选择性必修）用空间向量解决立体几何问题：位置关系、距离、夹角概率与统计都是从数量角度研究随机现象的规律性，它们都是处理总体和样本的问题，但两者以相反的方式进行。概率是从总体到样本的推理（演绎推理），而统计是从样本到总体的推理（归纳推理）概率有理，统计有据；

概率统计有理有据概率与统计：两者之间的关系概率推断统计总体样本概率与统计的整体安排必修选择性必修主题四概率与统计主题三概率与统计1.概率

（1）随机事件与概率（2）随机事件的独立性2.统计（1）获取数据的基本途径及相关概念（2）抽样（3）统计图表（4）用样本估计总体2.概率（1）随机事件的条件概率（2）离散型随机变量及其分布列（3）正态分布3.统计（1）成对数据的统计相关性（2）一元线性回归模型（3）2×2列联表概率与统计的整体安排概率与统计整体安排的特点概率、统计谁前孰后？高中统计属于推断统计，在形式上这么安排可以体现概率的理论基础作用。但由于概率知识不够，没有要求（也不可能）给统计的推断结果用概率进行刻画，推断的合理性主要是基于直观或经验，因此在内容上高中概率作为统计的理论基础体现得并不充分，在必修中（定性的描述）更是如此。概率与统计整体安排的特点关系与运算分布与数字特征计算与性质样本空间随机事件概率随机变量概率空间建立的过程：X样本空间可测空间概率空间导出空间按概率空间建立的过程安排概率内容必修概率与统计整体安排的特点按处理数据的维数安排统计内容数据的表示—数据的特征刻画—直观推断数据的表示—数据的特征刻画—直观推断或基于概率推断一维数据成对数据必修

选择性

必修概率的变化来自于数学化和理论上的需要；统计的变化主要反映了大数据时代的需要。概率与统计内容和要求的主要变化增加减少变化概率有限样本空间、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式*等几何概型频率稳定于概率作为确定概率的方法，不作为概率的定义统计分层随机抽样的均值和方差、百分位数、样本相关系数系统抽样变量的相关关系、事件的独立性在必修和选择性必修中位置互换概率（必修）随机现象随机试验样本点样本空间随机事件事件的关系与运算随机事件的概率事件的相互独立性古典概率模型概率的基本性质利用性质计算概率利用频率估计概率应用概率解决实际问题概率（选修）——随机变量及其分布条件概率加法公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式随机变量离散型随机变量连续型随机变量正态分布

分布列均值与方差二项分布超几何分布概率与统计统计必修——统计——单个变量随机抽样——简单、分层随机抽样、数据获取途径用样本估计总体——总体取值规律估计（频率分布直方图），总体位置参数、集中趋势、离散程度的估计选择性必修——两个变量——成对数据的统计分析数值型变量——散点图直观描述相关关系——样本相关系数定量刻画线性相关关系——一元线性回归模型刻画线性相关分类变量——2

2列联表直观判断是否有关联——独立性检验对关联性进行统计推断概率必修——概率随机事件与概率——事件的关系与运算古典概型——概率的性质事件的相互独立性频率与概率选择性必修——随机变量及其分布条件概率与全概率公式——计算复杂事件的概率离散型随机变量——分布、数字特征（期望、方差）——二项分布与超几何分布连续型随机变量——正态分布必修先统计后概率，选择性必修先概率后统计数学建模活动设置在与现实联系紧密的函数、概率与统计等主题中，数学探究活动设置在数学知识的交汇点上。数学文化不仅融入正文内容之中，而且以“文献阅读与数学写作”栏目为载体对数学文化提出具体的学习要求。

函数的形成与发展；对数概念的形成与发展；几何学的发展；

解析几何的形成与发展；微积分的创立与发展。必修第一册数学建模（现实）

建立函数模型解决实际问题必修第二册数学探究（数学）

用向量法研究三角形的性质选择性必修数学探究

杨辉三角的性质与应用选择性必修数学建模

建立统计模型进行预测二、突出相关学习内容的数学本质，渗透相应的数学思想方法本质与思想教材重视“讲数学”，通过展示数学概念、结论的形成过程，促使学生领悟数学的本质；通过对学生进行在数学形式下的思考和推理的训练，提高他们的数学思维能力，形成用数学的思想和方法来思考和处理问题的习惯，培育理性精神。教材重视以数学核心概念及其反映的基本思想为纽带，加强内容的纵横联系，通过类比、归纳、推广、特殊化，使不同内容相互沟通，从而加深对数学的整体性认识，帮助学生建立结构功能优良、迁移能力强的数学认知结构，体会数学的思维方式，提高对数学的整体认识。案例：突出函数所刻画的运动变化现象的本质，渗透研究函数的思想方法突出函数所刻画的运动变化现象的本质特征数学研究的数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，无论数量关系中还是空间形式中都充满了运动变化的问题，函数就是对客观事物从运动变化的角度进行数量化研究的重要数学语言和工具。高中阶段对于函数的认识已经从初中的“变量之间的单值对应”提升到“数集之间的对应关系”，但其刻画运动变化现象的本质特征没有改变，变化与对应也是研究函数的基本思想方法。三角函数的研究——突出三角函数作为描述周期变化的数学模型刻画循环往复、周而复始的规律——周期性最简单——单位圆上的匀速圆周运动用一个模型贯穿全章始终，串联起不同的概念和内容。刻画圆周运动——任意角及性质刻画单位圆周运动——三角函数概念

单位圆的对称性——三角函数诱导公式、差角余弦公式三角函数的单位圆定义——三角函数图象与性质筒车、摩天轮——函数y=Asin(ωx+φ)针对具体知识，利用模型的变化，设计更加贴切的情景。三角函数的诱导公式利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系。我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质。由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性。

——诱导公式的引导语二（π+α）三（−α）四（π−α）五（π/2−α）三角函数的图象和性质三角函数的应用案例：把握统计概率教学的重点和主线，发展数据分析素养统计与概率的关系统计与概率都是研究随机现象的规律性，处理总体和样本的问题，但方式相反。结果表现：立论基础不同、推理方法不同、判断原则不同。总体样本推断统计概率归纳演绎概率与统计的学科特点概率是在总体被假定已知的情况下，研究从总体中抽取的样本的有关问题，往往表现为在一定概率模型或分布中随机事件概率的计算、随机变量的取值特征等，这是关于随机现象规律演绎性的研究。统计是在样本可以获得的情况下，研究如何从样本得出关于总体的一些结论，表现为根据样本数据推断总体的分布、各种数字特征等，这是关于随机现象规律归纳性的研究。演绎推理是从一般到特殊的推理，只要前提正确，推理有效，那么结论一定是正确的；归纳推理是从特殊到一般的推理，即使前提正确，结论也未必正确。因此，概率的结论具有确定性（指概率，而非随机事件），而统计推断的结论具有随机性。概率问题

统计问题统计的本质及思想统计学最关心的是：我们的数据能提供哪些信息，也就是说，这些数据能告诉我们一些什么。具体地说，面对一个实际问题，我们关心的是：如何获得数据（抽样）如何从数据中提取（图、表，数字特征）所得结论的可靠性（用样本估计总体）特点：统计推断是用样本估计总体，是通过经验过的事物推断未曾经验的事物，得到的结果是或然的。因此，对统计方法的判断往往不是对错，而是好坏，要根据问题特点学会选择合适的方法是重要的。个体被抽入样本的机会均等，意味着样本具有代表性可能性最大简单随机抽样使得总体中的每一个个体有相等的概率被抽到，使得个体被抽入样本的机会均等，意味着抽取的样本具有代表性的可能性最大。由于随机性的存在，抽取的样本完全有可能出现偏离总体的情形。简单随机抽样的优点，是抽出样本有代表性的可能性最大，因而是一种公平且客观的方法。与非概率抽样比较，随机抽样由于每个样本个体都是随机抽取，能计算出每个个体被抽入样本的概率，因而其最大的优点在于得到总体指标的估计值时，能计算出估计值的抽样误差和可靠程度。放回、不放回、分层三种抽样方式有效性的比较从包含100个学生的总体中，随机抽取10名学生作为样本，估计全体学生的平均身高。分别采用不放回抽样和有放回抽样，哪种抽样方式下估计得更准确些？特例1：采用有放回抽样，有可能同一个体被重复抽到，也有可能10次都抽到同一名学生，此时样本的代表性非常差，估计很难准确。而不放回抽样不会发生这样的情况。特例2：假定样本容量为100，采用不放回抽样，样本和总体完全相同，估计结果完全确定，没有任何误差。而采用有放回抽样，很难遇到样本和总体完全相同的情况。总体规模很大，样本量与总体相比很小时，放回和不放回抽样得到样本的统计特性相差无几，近似具有独立同分布性。不放回比放回调查效率高，实践中更多采用不放回抽样。例

从两名男生、两名女生中任意抽取两人．（1）分别写出有放回简单随机抽样、无放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间．（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到两名男生的概率．设事件A=“抽到两名男生”，对于有放回简单随机抽样，对于无放回简单随机抽样，按性别等比例分层抽样不可能抽到两名男生，所以P（A）=0无放回简单随机抽样，可以有效地降低出现“极端”样本的概率，特别是按比例分层抽样真正避免了极端样本的出现，所以改进抽样方法对提高样本的代表性很重要。数据的数字特征位置参数——百分位数集中趋势参数——平均数、中位数、众数离散程度参数——极差、方差、标准差生成一些新的数据，来反映这组数据的特性（集中趋势、离散程度、位置信息等）。算法理解—概念理解—统计理解了解数字特征的作用和意义。要关注数据的数字特征反映信息时的优劣，即它们不同的适用范围。分层随机抽样均值、方差的计算课标：结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差。为什么研究这样的问题？有普遍现实意义。在大数据时代，常常需要汇总分析来自不同层次的数据。例如，针对某个问题，不同网站提供了各自调查的样本均值和方差，应当如何得到所有数据的样本均值和方差？再如，针对某个问题，连续几天收集数据，得到了每天数据的样本均值和方差，应当如何得到这几天所有数据的样本均值和方差？

关于概率的认识论自然中存在平行的情况（独立）；曾经发生的东西，在足够相似的情况下将会再次发生（同分布）；不仅如此，在同样的情况下将会永远发生。（自然齐一性原理）关于概率的认识论1.学习任何一门学科都需要世界观、方法论，概率统计尤其如此

学习任何一门学科都需要一定的世界观、方法论，都需要关于这门学科的认识论，概率统计尤其如此。与代数、几何的研究对象：数与形不一样，概率统计研究随机现象，处理随机数据，尽管方法是演绎的，但是推断过程是归纳式的。这与代数、几何是完全的演绎科学有很大的不同。所以，认识概率统计的哲学基础既是重要的，更是必须的。关于概率的认识论2.偶然与必然、原因与结果是认识世界的确定性与随机性的最大视角无所不知，无所不能，是不存在的，总有意料之外、情理之外的因素存在。概率分布秩序下的无序:

高尔顿板，单个的无序、整体的规律“相比于因果性，随机性是一个更加基本的概念。”3.寻找原因易，预测结果难事后诸葛亮远比事前诸葛亮更容易：寻找原因易，预测结果难。很多结果的发生是随机性的作用，也就是小概率事件发生了。

防范“黑天鹅”，预见“灰犀牛”。关于概率的认识论4.概率论的诞生滞后于几何、代数的原因从历史发展的角度看，概率论直至16世纪才诞生，一个重要的原因是“上帝不会掷骰子（爱因斯坦）”。在那个时代，一切的发生都被认为是确定的，之所以有时无法预见，是因为人们的认识不足在上帝的视角中，未来就如过去和现在一样，按照预定的方式出现，过去和现在决定未来。另一个原因是，当时代数符号运算体系的匮乏，计数是个难以逾越的障碍，而计数是概率的重要基础。一个是信念问题，一个是技术问题，使得概率论的产生远远滞后于几何和代数这两门传统学科。认识频率与概率关系的几个层次第一层次：通过频率与概率的意义直观认识。频率描述事件发生的频繁程度，而概率是事件发生的可能性大小的度量．一般地，如果事件A的概率较大，那么，在重复试验中，事件A发生得比较频繁，因此事件A的频率一般也较大．反之亦然。第二层次：通过试验认识频率的稳定性。经历具体的随机试验，认识到当重复试验的次数较少时，频率的波动比较大．随着试验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数附近，这个常数就是概率。所以，当试验次数较大时，我们用频率来估计概率。第三层次：认识频率与概率的本质区别。对确定的随机事件，即事件的概率是客观存在的，是确定的。而频率却具有随机性，试验次数不同，其频率可能不同；试验次数相同，不同的试验频率也可能不同。第四层次：通过具体的计算或计算机模拟认识频率的稳定性，它有助于将频率与概率的关系表述得更准确。第五层次：大数定律。设事件A的概率为p,fn（A）是n次试验事件A发生的频率，则对任意ε>0，有

。频率依概率收敛于概率p，只要n充分大，那么频率估计概率的误差就如所希望的小。

用频率估计概率，试验次数越大，估计得就越准确？高中概率与统计的基本概念与思想频率、样本概率、总体用频率估计概率用样本估计总体集中趋势参数：平均数、中位数、众数离散程度参数：极差、方差、标准差样本空间的基础性有条理、一般性基本事件：形式最为简单的随机事件样本空间：所有基本事件构成的集合，也可以是一个区间，甚至是整个实数集合。样本空间与问题背景有关，而与问题本身无关。问题背景：“掷一枚骰子（6个）”，问题：“点数为偶数”，“点数小于5”三、重视数学对象的获得过程、数学概念的形成过程，发展数学抽象素养获得与抽象数学源于对现实世界的抽象，数学研究对象是从数量和数量关系、图形与图形关系中抽象得到的，数学对象的获得过程蕴含着丰富的数学抽象、直观想象的核心素养。问题情境（现实、数学、其他学科）——概念例如，函数是描述客观世界中变量关系和规律的数学模型，因此对于函数及相关概念（基本初等函数、数列、等差数列、等比数列、导数），都要从反映这些概念本质特征的现实情境、数学情境、其他学科情境等问题情境出发，让学生经历归纳其共同特征、概括其本质属性的过程，使学生学会数学地认识问题，学会“用数学的眼光观察世界”，从而发展数学抽象、直观想象的素养。函数概念的发展历史：变量说

对应说

关系说17世纪，笛卡儿：引入变量概念，并用代数关系式表达变化的量之间的关系。1673年，莱布尼兹：给出了函数的概念，用来表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。1748年，欧拉：一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式。1755年,欧拉：如果某变量，以这样的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数。1821年，柯西：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。1837年，狄里克莱：如果对于给定区间上的每一个x的值，有唯一的y值同它对应，那么y就是x的一个函数，至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于x，或者y依赖于x是否可用数学运算来表达，那都是无关紧要的。1851年，黎曼：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为z的函数。1939年，布尔巴基学派：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同。E中的变元x

和F中的变元y

之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足与x

给定的关系。称这样的运算为函数，它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系，称y是函数在元素x

处的值，函数值由给定的关系所确定。两个等价的函数关系确定同一个函数。进一步符号化：设F是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这

个关系为函数，如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得

（x，y）∈F。（更抽象）初中函数概念分析在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数。变量间的单值对应关系，变量—对应说在具体的变量背景上定义函数，有利于学生直观认识函数的本质特征，但很难摆脱表达形式（表达式、表格、图象）的束缚，因此很难一般地认识函数，很难把握函数的本质特征。根据这种定义很难判定两个具有不同表达式的函数f（x）=1和g（x）=sin2x+cos2x是否相同；这种方式定义的函数，很难建立函数的定义域和值域，因此也很难研究函数的性质。

函数概念教学中的重点加强背景，从典型实例出发引出函数概念，体现函数刻画运动变化的本质特征，体现“函数模型”思想，在学生头脑中形成丰富的函数例证。加强概念形成过程，让学生自己归纳概括函数的本质：单值对应→用抽象符号表示的数集之间的单值对应；这个过程就是抽象素养落实的过程。感性具体理性具体理性一般（史宁中）

教学中可以设问S是t的函数吗？为什么？（用初中概念判断）“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km∕h后，运行1h就前进了350km。”这个说法正确吗？

（1）时间t的变化范围是什么？相应的，路程S的变化范围是什么？

（2）能根据现有条件回答“1h时对应的距离是多少”吗？

你认为应该如何更准确地描述S与t之间的对应关系？

对于数集中的任一时刻t，按照对应关系s=350t，在数集中有唯一确定的路程s和它对应。有解析式，提升点在于明确时间t和路程S的变化范围。问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？离散型函数与问题1相比，解析式相同，但定义域不同，是不同的函数。非连续，进一步体会关注自变量取值范围的重要性。问题3

：给出北京市2016年11月23日的空气质量指数（AQI）变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？B集扩大图象形式表达的函数，为引入抽象符号f：A→B表示对应关系埋下伏笔。

年份2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57归纳上述问题的共同特征上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。理性具体理性一般给出函数定义用新定义描述一次函数、二次函数、反比例函数经历概念教学的基本环节概念的引入——从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；概念属性的概括——提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；纳入概念系统——建立与相关概念的联系。四、从“一般观念”出发研究数学对象，体现研究方法的引导，发展逻辑推理素养研究与推理概念——性质——联系观察——探索——抽象——概括（猜想）——论证——反思例：研究函数性质的一般观念什么是性质：性质就是一类事物共有的特性什么是函数的性质：变化之中保持的“不变性”就是性质；变化过程中出现的规律性就是性质。现实世界中的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值……这些现象反映到数学中，就是函数值随自变量的增加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小……这就是我们要研究的函数性质——“单调性”“最大值”“最小值”。为什么研究性质

通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律。怎么研究函数性质利用图象、解析式研究性质特殊到一般“三步曲”观察图象，描述变化规律结合图、表，用自然语言描述变化规律用数学符号语言描述变化规律

“利用图象研究性质”不是“由图象推导出性质”。

函数的性质是其本身的固有属性，不是由它的图象决定的。要注

意“回到解析式”，结合解析式用符号语言描述变化规律。也可以从函数定义出发研究性质，再利用函数的性质研究函数的图象，使学生对函数的性质有更本质的认识。函数关系是平面上点的集合，在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。因此，与解析几何、向量几何一样，函数也是数形结合的载体，函数的不同表示法（解析法、图象法、表格法）也反映了函数数形结合的特征。从数形结合的角度理解函数，使得我们既可以利用函数的图象直观，利用函数图象研究函数的性质；也可以从函数的性质出发，研究函数的图象。

关于函数单调性的教学两个难点：“函数值随自变量的增大而增大（减小）”转化为定量的不等式语言；为什么要“∀x1，x2∈D”。用“例—规”法教学效果不理想的原因：单调性判断规则本身的抽象性；定量化方法的构造性。学生在此之前没有学过类似的方法，他们的认知准备不充分。教材采用“规—例”法

借助实例先给出单调性判断规则以二次函数f(x)=x2为例进行研究

画出它的图象

如何研究基本立体图形及基本图形位置关系1.明确研究对象几何研究几何图形的形状、大小、位置关系，对于一个几何图形，它的形状、大小、位置关系如何体现？几何图形的结构特征（由组成要素之间的关系来体现）就刻画了它的形状，面积和体积刻画了它的大小，几何图形的位置关系还是要回到它的组成要素的关系。几何图形的性质和判定是对几何图形进行研究的重要内容，它们也体现了几何图形的形状、大小、位置关系。2.对基本图形位置关系的研究整体了解空间点、直线、平面位置关系，重点研究直线、平面间的平行、垂直关系，主要研究它们的判定和性质。首先要明确什么是判定，什么是性质。例如，对于直线与平面垂直这种位置关系，其判定就是它的充分条件，也就是与已知直线、平面有关的直线、平面具备什么样的位置关系时，该直线和平面垂直；其性质就是它的必要条件，也就是在已知直线和平面垂直的情况下，与之有关的直线、平面具有什么样的位置关系。其次要重视“直观感知—操作确认—推理论证”的研究过程，在这一过程中从一般到特殊地思考问题，将高维问题转化为低维问题，同时关注确定平面的条件。“知其然”“知其所以然”

“何由以知其所以然”（傅种孙）3.平面与平面平行的判定与两个平面有关的要素具备什么关系这两个平面平行。类似于研究直线与平面平行的判定，要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题。如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行。如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢？有没有更简便的方法？能不能由一个平面内的部分直线与一个平面平行来判定这两个平面平行。（利用基本事实的推论）如果一个平面内两条相交直线或两条平行直线（它们都可以确定一个平面）都和另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？利用矩形和三角形纸片进行探究。利用长方体进一步验证。得到判定定理定理：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面。为什么可以利用两条相交直线判定两个平面平行，而不能用两条平行直线呢？你能从向量的角度解释吗？4.研究平面与平面垂直的性质，实际上就是要研究与这两个互相垂直的平面有关的直线、平面之间的关系。根据以往的研究经验（平面与平面的关系转化为直线与平面的关系），研究其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系。一般到特殊，一般情况是相交（与交线发生关系），考虑其中的特殊情况，一个平面内的直线与交线平行时，这条直线和另一个平面平行（已研究），一个平面内的直线与交线垂直时，这条直线和另一个平面有什么位置关系？得到猜想：一个平面内的直线与交线垂直时，这条直线和另一个平面垂直。对性质定理进行证明。对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系。如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？例如，已知平面α⊥平面β，

直线a⊥β，a

α，判断a与α的位置关系。

βαblαβγ五、重视概念背景和知识应用，发展数学建模素养

应用与建模发展学生数学建模素养课标：通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。一个数学概念的引入，总有它的现实或数学理论发展的需要。教材中任何一个新概念的引入，都强调它的现实背景、数学理论发展的背景或数学发展历史上的背景，这样才能使教材显得自然、亲切，让学生感到知识的发展水到渠成而不是强加于人，也利于学生更好地理解其本质。应用数学知识解决实际问题，可以帮助学生更深刻地理解数学知识，利于提高学生的数学学习兴趣，加强应用意识提高数学创造力。教材千方百计地开发数学应用的背景素材，通过解决具有真实背景的问题，引导学生体会数学的作用、数学与生活及其他学科的联系，发展数学建模素养，培养应用意识，提高实践能力。例：重视函数相关概念产生的背景，体现函数是刻画运动变化现象的数学语言和工具函数是描述客观世界中变量关系和规律的数学模型，理解函数概念，必须需要相应的运动变化的背景作为支撑。一般的函数概念：“复兴号”高铁运行、空调维修工人的工资、北京市某一天的空气质量、某市近十年的恩格尔系数四个问题，从“感性具体”到“理性具体”再到“理性一般”，抽象得到函数概念。指数函数刻画了呈现“指数增长”的运动变化现象。现实世界中，细胞分裂、人口增长、放射性物质的衰减等呈现了这种运动变化规律；通过某景区游客人数增长的问题和碳14含量的衰减的问题，引入指数函数的概念。三角函数刻画周期运动。教科书在三角函数的开篇语中列举了大量现实世界中的周期变化现象，如昼夜交替、四季交替、月亮圆缺、朝夕变化、匀速圆周运动的位置变化、简谐振动的位移变化、交变电流的变化等。在三角函数的概念、诱导公式、图象、性质的研究过程中，一以贯之的运用匀速圆周运动这一最简单的周期变化的背景，以加深学生对三角函数刻画周期运动的本质的理解。例：重视应用函数模型解决实际问题，发展学生应用意识通过应用函数解决实际问题，可以帮助学生更好地理解函数如何刻画客观世界事物的变化规律，逐渐掌握建立函数模型解决实际问题的一般过程，体会函数的模型思想。必修函数应用的安排函数的应用（一）：个税问题、汽车行驶中速率的变化问题。分段函数。函数的应用（二）：马尔萨斯人口模型、利用碳14推测良渚遗址年代；投资方案的选择、奖励方案的制订。既包括用已知模型解决实际问题，也包括选择合适的模型解决实际问题。数学建模活动：建立函数模型解决实际问题数学建模活动观察实际情境，发现和提出问题

中国茶文化博大精深。茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。经

验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时

饮用，可以产生最佳口感。那么在25℃室温下，刚泡好的茶水大约

需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？收集数据时间/min012345水温/℃85.0079.1974.7571.1968.1965.10分析数据、画散点图

y＝kax＋25建立和求解模型利用已知数据求k，a检验模型画出y＝60×0.9227x＋25的

图象，检验原始数据。自主开展建模活动选题应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法；估计阅读一本书所需要的时间。活动过程指导（组建合作团队、开展研究活动、撰写研究报告、交流展示）研究报告样例六、加强问题引导，积累数学活动经验，提升学生发现和提出问题的能力

问题与经验问题是数学的心脏，问题引导学习在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，引导学生的思考和探索活动，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，体会数学研究方法、积累数学活动经验，提升发现和提出问题的能力。反映本质、自然连贯、恰时恰点、难易适当在章节开篇，提出引导性问题，整体构建研究思路118“一元二次函数、方程与不等式”章引言正文通过引导语、栏目和边空提出问题，引导学生思维活动，理解数学本质从知识的发生发展过程中提出问题，引导学生的数学思维活动，使学生在问题的引导下有条理地进行观察、猜想、分析、推理、论证等，有序地、符合逻辑地进行知识的概括，提高学生的概括能力提示学生采用类比、推广、特殊化等方法进行数学思考，为学生的探究活动提供恰当的思想方法指导，使探究活动更加有效，从而提高了探究活动的质量和效益通过栏目提出学后反思的任务，培养学生养成良好的思维习惯。例：三角函数的诱导公式的系列问题根据定义，直接得出“公式一”。探究：诱导公式一表明终边相同的角的同一

三角函数值相等，那么终边相同的角的三个

三角函数值之间是否也有某种关系呢？——探究“同角三角函数的基本关系”利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系。我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质。由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性。——诱导公式的引导语探究1：如图5.3-1

，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1。

（1）作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α

有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？

（2）如果作P1关于x轴（或y轴）的对称点P3（或P4），那

么又可以得到什么结论？

——公式二（π+α）、三（−α）、四（π−α）探究2：作P１关于直线y＝x的对称点P5，以OP5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ与角α的三角函数值之间有什么关系？——公式五（π/2−α）探究3：作P5关于y轴的对称点，又能得到什么结论？

——公式五（π/2+α）三角恒等变换观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系。如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系？

——三角恒等变换的导语探究：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，

能由此推出α+β，α－β的正弦、余弦吗？——两角差的余弦探究：由公式C(α-β)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式？

——两角和的余弦探究：上面得到了两角和与差的余弦公式。我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化。你能根据C(α+β)，C(α-β)及诱导公式五(或六)，推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α－β)的公式吗？探究：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从C(α±β)，S(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α+β)，tan(α－β)的公式吗？探究：和（差）角公式中，α，β都是任意角。如果令α，β为某些特殊角，就能得到许多有用的公式。你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？探究：你能利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推导出sin2α，

cos2α，tan2α的公式吗?归纳：从和（差）角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联系，请你进行归纳总结。小结以问题形式总结全章内容，深化对内容的整体理解小结是对全章内容的梳理，是对本章核心内容及反映的主要思想方法和研究方法进行归纳概括、去粗取精、由厚到薄的提炼过程。回顾与思考：在回顾部分对本章进行整体概述，阐述本章内容之间、本章内容与其他内容之间的联系，揭示本章内容反映的思想方法、研究方法等。“思考”部分则强调问题引导，加强学生的主动思维，通过学生自己的独立思考回忆、总结全章内容，深化对本章核心内容及其反映的数学思想方法的理解。指数函数的小结如何读教材数学教学是常识的系统化，是有指导的再创造（弗赖登塔尔）教科书给出了对学习内容再发现、再创造的路径不仅要关注定义、定理等黑体色字，例题、习题更要关注——引言（章引言、节引言）正文栏目（思考、探究、归纳）边空问题衔接性语言小结（框图、回顾与思考）用好教师用书，高中教材编写研究七、提高例、习题的质量，为过程性评价、阶段性评价提供资源

习题与评价例题、练习、习题、复习题针对性：抓住各章内容的核心，促进概念的理解和思想方法的生成。有效性：关注通性通法，抓住基本概念，不在技巧上做文章。创新性：题目具有一定新意，但不离开内容本质这个“根”，不在奇、特上做文章。应用性：在函数、概率与统计等与现实联系紧密的主题中，加强具有现实背景的问题，体现真正的应用。探究性：通过栏目、边空、递进式习题等，创设情境和问题，帮助学生理解数学知识的本质，提升数学学科核心素养。层次性：通过“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”体现习题的层次和梯度，体现教材有关习题的各部分、各栏目的要求，形成立体化的“四基”“四能”培养系统。系统性：在复习参考题的选择和编排中，关注单元知识的系统性，帮助学生达到相应单元的学业要求；同时还关注不同数学内容主线之间的联系性以及六个数学学科核心素养之间的协调，帮助学生整体理解、系统掌握学过的数学知识，实现学业质量的相应要求。精确性：保证科学性和准确性，确保所选例题具有典型性、示范性，所选习题达到能力培养效果。对练习、习题、复习题的处理每课时配备练习（3~5个）；每节配备习题（每课时3~5个）；每章配备复习题（每课时1~1.5个）。“复习巩固、综合运用、拓广探索”，不完全是按难度分类，主要是按照习题功能分类，根据学生情况，结合教学功能使用。用好教材的题目不要把教辅作为教学依据关注新题型对于拓展性内容，不要以拓展的内容为基础再拓展（得出的结论不等同于教材的黑体色字）对选学内容的处理阅读与思考、实验与探究、信息技术应用为加深学生对相关知识的认识，扩大学生知识面、运用信息技术等提供资源数学史与数学文化、数学知识的应用、内容的拓展推广、信息技术的应用对于拓展性内容，得出的结论不作为性质使用，不等同于教材的黑体色字“对勾”函数——用研究函数的思路和方法研究一个函数的图象和性质。八、有机融入数学文化，开拓学生数学视野，培养科学精神、人文素养

人文与科学课