河南省南阳市2023-2024学年高二上学期期终质量评估数学试题【含答案解析】

2023年秋期高中二年级期终质量评估数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】B【解析】【分析】直接利用排列数和组合数的公式计算.【详解】由得，解得故选：B.2.点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案.【详解】由得，即，直线：，所以直线过定点，所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，且最大值为.故选：B.3.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，结合全概率公式列式求解作答.【详解】令=“玩手机时间超过1小时的学生”，=“玩手机时间不超过1小时的学生”，=“任意调查一人，此人近视”，，且互斥，，依题意有，解得从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.故选：C4.已知焦点在轴上双曲线实轴长为4，渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的标准方程.【详解】依题意，由于双曲线的焦点在轴上，且渐近线方程为，所以，所以，所以双曲线的方程为.故选：D5.南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（）A.20种 B.50种 C.60种 D.100种【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用分步计数原理即可求出结果.【详解】因为博物院每周一闭馆，所以高一年级可以从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择2日去参观，共5种选择，再从剩下的四天里安排高二、高三年级，有种安排方法，根据分步计数原理，知不同的方案有种，故选：C.6.若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】A【解析】【分析】利用椭圆，双曲线定义求出，进而可求出，，利用余弦定理求出，进而可得，最后利用面积公式计算即可.【详解】不妨设为左焦点，为右焦点，为两曲线在第一象限的交点，则由已知得，则，，，则，所以.故选：A.7.已知过点且法向量为的平面的方程为.若平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合新定义求出直线的方向向量及平面的法向量，即可求解.【详解】解：直线是平面与的交线，设直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，令，得，则直线的方向向量为，因为平面的方程为，所以为平面的法向量，设直线与平面所成角为，则，得直线与平面所成角的正弦值为，故选：A8.在正方体中，点在底面所在的平面上运动.下列说法不正确的是（）A.若点满足，则动点的轨迹为一条直线B.若，动点满足，则动点的轨迹是圆C.若点到点与点的距离比为，则动点的轨迹是椭圆D.若点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线【答案】C【解析】【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理、性质定理可判断A；利用勾股定理求出，由可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆可判断B；在平面内，设正方形对角线的交点为，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据可得动点的轨迹可判断C；点到直线的距离即点到点的距离，根据抛物线定义可判断D.【详解】对于A，连接，因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，平面，所以平面，当点在直线上时，此时平面，可得，则动点的轨迹为直线，故A正确；对于B，连接，若，，所以，又因为，所以动点的轨迹在平面是在平面内，以为圆心，为半径的圆，故B正确；对于C，在平面内，设正方向对角线交点为，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设，则，设，因为，所以，化简得，则动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故C错误；对于D，因为平面，平面，所以，所以点到直线的距离即点到点的距离，若点到直线的距离与到点的距离相等，根据抛物线定义，则动点的轨迹为在平面的抛物线，故D正确.故选：C.【点睛】思路点睛：考查平面上点的轨迹，根据动点满足的关系式，在平面上建立平面直角坐标系，用解析法求轨迹是常用方法．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知空间直角坐标系中，点，，，则下列各点在平面内的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先计算，根据点共面列方程，从而确定正确答案.【详解】，不共线，设为平面内一点，则，，由于无解，所以不在平面内.，由，解得，所以在平面内.，由，解得，所以在平面内.，由于，所以在平面内.故选：BCD10.下列说法不正确的是（）A.过点且在，轴上的截距相等的直线方程为B.过点与圆相切的直线有两条C.若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有7项D.设随机变量服从正态分布，若，则【答案】ABC【解析】【分析】对于A项，错在于少了在，轴上的截距都为0的情况；对于B项，因点在圆上，过点做切线只有一条；对于C项，错在于由条件求得后，二项式的展开式有项；对于D项，利用正态分布的对称性易得结论正确.【详解】对于A项，过点且在，轴上的截距相等的直线方程包括截距为0时的直线和截距不为0时的直线，故A项不正确，符合题意；对于B项，因点在圆上，故过点与圆相切的直线只有一条，故B项不正确，符合题意；对于C项，因二项式的展开式中所有项的系数和为，解得：，则展开式有项，故C项不正确，符合题意；对于D项，因，，则，故.故D项正确,不符题意.故选：ABC.11.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（）A.B.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等C.记第行的第个数为，则D.第20行中第12个数与第13个数之比为【答案】AB【解析】【分析】对于A：利用性质计算即可；对于B：利用的展开式的二项式系数计算；对于C：代入，利用二项式定理计算即可；对于D：利用的展开式的二项式系数计算【详解】对于A：，A错误；对于B：第2023行中的数为的展开式的二项式系数，则从左往右第1011个数为，第1012个数为，，B错误；对于C：第行的第个数为，则，C正确；对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数，则从左往右第12个数为，第13个数为，则，D正确.故选：AB.12.已知抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，过的直线交于、两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（）A.B.的最小值为2C.的面积为定值D.若在轴上，则为直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】利用焦点坐标求出抛物线方程，利用抛物线性质解决焦点弦相关问题.【详解】由椭圆的方程可知，椭圆的右焦点坐标为，则抛物线焦点为，所以，抛物线的标准方程为，准线方程为，抛物线的焦点弦中，通径最短，通径长为，则，A选项正确；显然直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为，，联立，得，，得，，所以，，则，因为与垂直，所以直线的斜率为，其方程为，联立，解得，即，所以点M到直线AB的距离，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，即选项B正确；的面积当且仅当时，等号成立，所以的面积最小值为4，即选项C错误；若在轴上，则，此时为通径，有，，，，满足，则为直角三角形，D选项正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为______.（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据即可得答案.【详解】抛物线的焦点到准线的距离为2，即，，当焦点在轴正半轴时，抛物线的标准方程为，当焦点在轴负半轴时，抛物线的标准方程为，当焦点在轴正半轴时，抛物线的标准方程为，当焦点在轴负半轴时，抛物线的标准方程为，故答案为：.14.已知，且，记随机变量为，，中的最小值，则______.【答案】0.09##【解析】【分析】的可能取值为，利用排列组合知识求出相应的概率，求出期望和方差.【详解】，且，相当于6个1之间的5个空中插入两个挡板，故共有种情况，的可能取值为，其中时，只有三个数为，故，则，所以，.故答案为：15.南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城.某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该区域种植月季，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同.在所有的种植方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种月季的概率是______.【答案】【解析】【分析】分别求出用了种，种，种月季时的种植方案数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】对该区域种植月季，有种不同的月季可供选择，当只选择种或种月季种植，不可能相邻区域种植的月季不同；当选择种月季种植时，第一步：先种植①④⑤区域，有种种植方法；第二步：再种植②区域，必和④区域相同，只有种种植方法；第三步：种植③区域，必和①区域相同，只有种种植方法；故选择3种月季种植时，有种种植方法；当选择种月季种植时，第一步：先种植①④⑤区域，用了种月季中的种，有种种植方法；第二步：再把还没有用过的种月季选种植下去，有②③两个区域可供种植，有种种植方法；第三步，种植最后一个区域，只有种种植方法，故选择种月季种植时，有种种植方法；，当选择全部的种月季种植时，有种种植方法；所以该方案恰好只用到四种月季的概率是.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于染色问题，相邻区域要不同的颜色，我们可利用所用颜色的数量进行分类求解，有时候会比较方便快捷.16.已知椭圆：，经过原点的直线交于、两点.是上异于、的一点，直线交轴于点，且.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率______.【答案】##【解析】【分析】利用点差法和椭圆离心率等知识求得正确答案.【详解】依题意，直线、的斜率存在，由于，则直线的斜率与直线的斜率互为相反数，即，设是的中点，连接，则，设，则，，由两式相减并化简得，由于直线、的斜率之积为，即，则，所以，所以椭圆的离心率.故答案为：【点睛】求解椭圆离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得和，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得或的等量关系式，由此来求得离心率.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在下列所给两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②一个方向向量为；问题：已知直线过点，且______.（1）求直线的一般式方程；（2）若直线与圆相交于、两点，求弦的长.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）若选①根据垂直关系得到所求直线的斜率，利用点斜式求解；若选②根据方向向量直接求所求直线的斜率，然后利用点斜式求解直线方程.（2）利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离然后根据公式求弦长.【小问1详解】（1）若选①，因为直线的斜率为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为.依题意，直线的方程为，即；若选②，因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，直线的方程为，即.【小问2详解】（2）由（1）可得：直线方程为.圆的圆心到直线的距离为：.又圆的半径为，所以.18.一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球.（1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分先白后黑和先黑后白两种情况，由概率公式计算.（2）利用条件概率公式求解.【小问1详解】设事件：用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球.因为采取放回抽样方式，所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为，所以.即用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球的概率为.【小问2详解】设事件为第一次摸到黑球，事件为第一次摸到黑球，第二次也摸到黑球，所以，，所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为：.19.已知平行六面体的底面是边长为1的正方形，，.（1）求对角线的长；（2）求直线与所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：求出、，对两边平方化简计算可得答案；方法二：以为原点，，分别为、轴正方向，过点且垂直于平面的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，再求即可；（2）方法一：设直线与所成角为，利用计算可得答案；方法二：以为原点，，分别为、轴正方向，过点且垂直于平面的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出、，设直线与所成角为，利用计算可得答案.【小问1详解】方法一：因为，又底面是正方形，，，，所以，所以；方法二：如图所示，以为原点，，分别为、轴正方向，过点且垂直于平面的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，所以；【小问2详解】方法一：因为，所以，又，设直线与所成角为，所以，即直线与所成角的余弦值为；方法二：与（1）中的方法二，以为原点，，分别为、轴正方向，过点且垂直于平面的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，设直线与所成角为，所以，即直线与所成角的余弦值为.20.已知椭圆的左、右焦点为，，且经过点，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于（异于点）两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若以为直径的圆过点，求证直线过定点，并求该定点坐标.【答案】（1）（2）证明见解析，【解析】【分析】（1）求出，，利用求出，进而可得，则椭圆方程可求；（2）若直线的斜率不为0时，设，与椭圆联立，利用韦达定理以及，可求出，进而可得直线过定点.【小问1详解】设椭圆的半焦距为，则，，，可得，即，则，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】由题意可知：.若直线的斜率不为0时，设，，联立方程，消去得，则，可得，，又因为，，由题意可知：，则，整理得，则，又因为，则，可得，整理得，即直线：过定点；若直线的斜率为0，则，，又因为，，由题意可知：，即且，解得，此时直线：，不合题意；综上所述：直线过定点.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交问题，首先是设出直线方程，然后与圆锥曲线联立，利用韦达定理结合已知条件，列式，列方程求解，计算下去，一般无关的参数会抵消，然后留下需要的参数即可解答题目.21.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到面的距离；（3）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；（2）利用向量法求解点到面的距离；（3）利用向量法求解平面与平面的夹角.【小问1详解】由题意，可以为原点，，，分别为，，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，（1）显然为平面的一个法向量，而.因为，所以.又平面，所以平面；【小问2详解】设为面的一个法向量，又，则，不妨取，则，记点到面的距离为，则.即点到面的距离为；【小问3详解】显然为平面的一个法向量.设为面的一个法向量，则，不妨取，则.设平面与平面的夹角为，则.即平面与平面的夹角的余弦值为.22.某省年开始将全面实施新高考方案．