人教A版（2019）选择性必修第一册 椭圆同步练习（含解析）

人教A版(2019)选择性必修第一册3.1椭圆同步练习

一、单选题

1.已知耳,马分别为椭圆m+?=1的左，右焦点，A为上顶点，则/耳心的面积为

169

()

A.6B.15C.6√7D.3√7

2.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭

圆的面积除以圆周率乃等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原

点，焦点5、尸2在y轴上，椭圆C的面积为2√Lr,且离心率为则C的标准方程

为()

ʌY2y2

A.—+—=1

43

-L+∑i=ι的离心率为且，则椭圆C的长轴长为()

3.已知椭圆C：

m+4m3

A.2√3B.4C.4√3D.8

4∙椭圆十的焦点为％G点尸为椭圆上的动点若4明为钝角，点尸的横坐

标的取值范围为()

22

5.椭圆会+三=1上一点M到焦点G的距离为2,N是MG的中点，则IoNl等于

()

A.2B.4C.8D.ɪ

2

22

6.已知椭圆C:「+马=l(a>b>0)的左、右焦点分别是《，F2,直线y=履与椭圆C

ab

交于A,B两点，|/阎=3忸用，且NKAg=60。，则椭圆C的离心率是()

A7r√7c93

A.—D.C.—D.—

164164

7.已知耳,鸟是椭圆±+±=1的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则鸟

43

的内切圆的半径的最大值是()

A.1B.ɪC.-D.3•

233

22

8.已知椭圆二+4=1(α>%>0)的离心率为;，则

矿Zrz

A.a2-2b2B.3a2^4b2C.a-2bD.3a=4b

9.如图，椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是4,4,%与，焦点分别为耳鸟，延长

片鸟与&与交于P点，若N8∕A2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()

22

10.已知月，心是椭圆C:∖→5=1的两个焦点，点M在C上，则∣M∕讣IM用的最

大值为()

A.13B.12C.9D.6

22

11.设6，鸟是椭圆£+£=1(〃>6>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点尸，使

(OP+OF2)-PF2=O(O为坐标原点)，S.2∖PFl∖=3∖PF2∖,则椭圆的离心率为()

A.IB.巫C.叵D.i

35257

92

12.已知椭圆C:与+与=l(α>b>O)的左，右两个焦点分别为斗与，若椭圆C上存

a~b

在一点A,满足/64鸟=60。，则椭圆C的离心率的取值范围是()

[fɪ]

A.B.C.P1D.°7

o2

13.已知椭圆M:£+£=l(α”>0),过M的右焦点尸(3,0)作直线交椭圆于A,B

两点，若AB中点坐标为(2,1),则椭圆M的方程为()

222

AX-y2

A.—+—=1B.—+j2=1c1D.三+汇=1

964∙⅛4=189

)2

14.已知椭圆［+当=Ig>⅛>0)的右焦点和上顶点分别为点F(c,O)(b>c)和点A,

ab

直线L6x-5y-28=0交椭圆于P,Q两点，若『恰好为^APQ的重心，则椭圆的离心率

为()

15.已知点P是椭圆三+二=I(XyHO)上的动点，入、K为椭圆的左、右焦点，。为

1612

坐标原点，若〃是NGP6的角平分线上的一点，且6Λ∕∙VP=0,则|。例I的取值范

围是()

A.(0,2)B.((),√3)C.(0,4)D.(2,2√3)

二、填空题

16.已知椭圆C：《+片=1的右焦点为/，直线/经过椭圆的右焦点F,交椭圆C于

43

p,Q两点(点P在第二象限).若点。关于X轴的对称点为Q',且满足PQLFQ',

则直线/的方程是.

22

17.设椭圆*∙+%∙=M">6>0)的左、右焦点分别为6,乙，A是椭圆上一点，

AFΛFtF2,若原点。到直线M的距离为用，则该椭圆的离心率为一.

18.已知椭圆;+V=],过点作直线/交椭圆C于A,8两点，且点P是AB

的中点，则直线/的方程是.

三、解答题

19.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为(-4。)和(4,0),且椭圆经过点(5,0)；

(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；

(3)经过点A(√5,-2)和点B(-2√J,1).

20.已知椭圆C：=+2=l(α>8>0)的四个顶点组成的四边形的面积为2&，且经

a~bl

过点(1,1).过椭圆右焦点尸作直线/与椭圆C交于A、B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若。4_LO8,求直线/的方程.

’/ɜ、22

21.己知点Mɪ,ɪ-在椭圆C：二+二=1(4>b>0)上，且点M到C的左、

IʒJ)ab

右焦点的距离之和为20.

(1)求C的方程；

(2)设。为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段QM(不含端点O,M)上，求

O4∙0B的取值范围.

22

22.如图，已知椭圆「:二+上=1,矩形ABCQ的顶点A,8在X轴上，C,。在椭圆

42

「上，点。在第一象限.CB的延长线交椭圆「于点E,直线AE与椭圆「、)，轴分别交于

点尺G,直线CG交椭圆「于点H,D4的延长线交切于点M.

(1)设直线4瓦CG的斜率分别为勺、右,求证：3为定值;

(2)求直线用的斜率左的最小值；

(3)证明：动点M在一个定曲线上运动.

参考答案:

1.D

根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.

【详解】

由椭圆方程1+片=1得A(0,3),耳(-√7,θ),用(",0卜忸闾=2√7.

-∙∙⅛=∣∣^^∣∙∣^H∣×2√7×3=3√7.

故选：D.

2.C

根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及离心率为3，即可求得”,6的值，进而由焦点在y轴上

可得C的标准方程.

【详解】

由题意可知，椭圆。的面积为乃必=2岳，且。、b、C均为正数，

cιb=2√32

Cl一乙

即£=:，解得6=6,

a2

a2=b2+c2卜一］

因为椭圆C的焦点在y轴上，所以C的标准方程为工+E=L

34

故选：C.

3.C

根据条件先计算出C的值，再根据离心率求解出加的值，最后根据长轴长为2赤百计算出

长轴长.

【详解】

由题意知，=m+4-m=4,所以c=2,

答案第1页，共17页

又因为丁£==3，所以加=8,

+43

所以椭圆C的长轴长为2√W+4=4√L

故选：C.

4.B

根据椭圆方程，得到丹卜6,0),∕s(√3,θ),设尸(与,%)，根据NKP心为钝角，推出

PFi-PF2<0,再由集合椭圆的方程，即可求出结果.

【详解】

因为K，尸2为椭圆?+丁=1的两焦点，则川-"0),今(疯0),

设。(XO，儿)，则P吊=h√5-Λ0,-%),PF2=(√3-⅞,-y0),

因为N/PG为钝角，

2

所以Pa∙=(-√3-x0)(√3-x0)+√=XO+√-3<O,

又；/+%2=1，；•PFLP尸2=x02-3+l-至=江一2<0，

4°044

.2√62√6

••--------<X<------•

3n°3

故选：B.

本题主要考查求椭圆上点的横坐标的范围，涉及向量数量积的坐标表示，属于常考题型.

5.B

先利用椭圆定义得至“叫|=8,再利用中位线定理得IoNl即可.

【详解】

由椭圆方程｛+上=1,得。=5

259

由椭圆定义得|用制+IMKl=2α=2x5=10

答案第2页，共17页

又∣g∣=2,.∙.∣MΛ∣=10-2=8

QN为的中点，。为的中点，

.∙.线段QV为耳K中位线，有IONI=JgI=gχ8=4.

故选：B

6.B

根据椭圆的对称性可知，∣A闾=IB制,设IA闾=〃?，由IAH=3忸耳|以及椭圆定义可得

∣A∕<∣=y,∖AF2∖=^,在AAGg中再根据余弦定理即可得到4,2=子，从而可求出椭圆

C的离心率.

【详解】

由椭圆的对称性，得IA周=怛用.设IA闾="，则∣"J=3m.由椭圆的定义，知

∖AI↑∖+∖AF2∖=2a,即％+3∕n=2a,解得m=∙∣,故IM=¥，∣A^∣=∣.

在AAfJG中，由余弦定理，得怩玛「=IA耳f+∣A用2-2∣A用IA用cos/4A居，即

2212

.29aa3aa∖Iali1l∣2c1+,"

4c^=H2×——×-×-=,则e2=r=—>故e="-.

442224cr164

故选：B.

7.D

利用椭圆的定义即可求解.

【详解】

设aAR鸟的内切圆的半径为r,

答案第3页，共17页

由F^z^-=1>则α=2,h=ʌ/ɜ，c—ʌ/ɑ2-b2=1

43

所以IA用+1伍∣=2α=4,|£勾=2c=2,

由;闺闾r+∖∣AK∣r+jA用r=；忸段也|，

即全(忸用+∣AE∣+∣A国)=gx2∣%∣,

即3r=∣%∣,若4A6鸟的内切圆的半径最大，

即IyAl最大，又

所以J=本

故选：D

8.B

由题意利用离心率的定义和α,b,c的关系可得满足题意的等式.

【详解】

C1

椭圆的离心率e=-=^-,c2=a2-b2,化简得3/=4/r,

a2

故选B.

本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识、基本运算能力的考查.

9.D

由题意，N瓦时就是与4与月4的夹角，所以B24与64的夹角为钝角，从而有

B2A2-F2Bt<0,结合从=/一©2即可求椭圆离心率的取值范围.

【详解】

解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为。，b,c,则与&=3,-勿,

F2B1=(-c,-b),

答案第4页，共17页

因为ZB1PA2就是B2A2与F2Bx的夹角,所以员&与F2B1的夹角为钝角，

所以为4，鸟4<0,EP-ac+b2<0,又/=Y-C2,

所以"—ac—/V0,两边同时除以/,得1—e—『〈o,gp+e-∖>0,

解得e<T-6或e>一"",又0<e<1,

22

所以二!上叵<e<l,

2

（布_1）

所以椭圆离心率的取值范围为ʒ-,ɪ,

\/

故选：D.

10.C

本题通过利用椭圆定义得到I峥∣+∣g∣=2θ=6,借助基本不等式

IMGHMKI≤IM即可得到答案.

【详解】

由题，/=9,/=4,则IM用+∣Λ∕g∣=2α=6,

所以IMKHM图≤（W娟；W0j=9（当且仅当IM耳I=IM闾=3时，等号成立）.

、2,

故选：C.

11.B

由向量的关系可得P6J∙Pξ;,由椭圆的定义及2|PAI=3∣p∕",可得IP且I,∣P"I的值，在

直角三角形PKK中，由勾股定理可得“，C的关系，进而求出椭圆的离心率.

【详解】

解：设P尸2的中点为Q，由（OP+OFz）∙P6=0,E∣J2OQ-PF2=O,所以。。_LP用，

答案第5页，共17页

连接PK可得。。/"耳，所以PE■!尸鸟,

可得IPBl=2α-∣W∣,

又因为2|下凡|=3|?思

所以I%l=gα,IMI=M

在RrZXPEK中,|尸耳『+|明『=|661,

即嘤+噤=—可得：13Ω2=25?,

解得"£二巫，

a5

故选：B.

12.C

根据题意可知当A为椭圆的上下顶点时，即可满足椭圆C上存在一点A,使得

NMAA=60。，由此可得5=tanNOAQ≥tan30°,解此不等式可得答案.

b

【详解】

由椭圆的对称性可知，当4为椭圆的上下顶点时，^AF2最大，

故只需NEAK≥60'即可满足题意，

设。为坐标原点，则只需NoAE≥30",即有W=tanNOA居2tan30°=更，

b'3

答案第6页，共17页

13.D

设AB以及AB中点P坐标，利用“点差法”得到k%B,kpo之间的关系,从而得到之间的

关系，结合尸(3,0)即可求解出椭圆的方程.

【详解】

设A(XI,X),6(Λ2,%),A8的中点P(2,l),所以L=L=I=

所以即皿.但=4

又FvWT)=(ML4),

x1-x2X1+x2a

而出Jι+y..2x11⅛21

2r所以又C=3,

x1+x22x2

/=18即椭圆方程为:—+^=1.

⅛2=9189

故选：D.

本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.

14.C

由题设F(GO),A(0,b),利用产为」APQ的重心，求出线段PQ的中点为七将B

代入直线方程得9c+号-28=0,再利用点差法可得2/=5历，结合/=从+。2,可求出

a,b,c,进而求出离心率.

答案第7页，共17页

【详解】

由题设尸(c,0),A(OM,P&,y),Q(Λ⅛,%),则线段PQ的中点为β(⅞,%)，

h

由三角形重心的性质知AF=2尸8，即(G-b)=2(x0-c,%),解得：Xo=M,%=-不

即当,一?)代入直线/:6x-5y-28=0,得9c+自-28=0①.

又B为线段PQ的中点，则xl+x2=3c,yl+y2=-b,

又只。为椭圆上两点，,1+二=1,学+4=1，

a-Zra2b-

以上两式相减得(士+,)Ur)+()”型)=0,

ab"

LL八I,y∣-y?b1x∣+XIy3c6ʌQ

所以ZPQ=-----------2--------=7—2X~T=7，化z间ι得2々2=5bc®

x1-X2ayl+y2a-bɔ

Λ=2√5

由①②及"5,+C*,解得：匕=4,即离心率e=@.

C5

故选：C.

方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难

点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出”,J从而求出e；②构造a，。的齐次式，

求出Q③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求

解.

15.A

延长PH与6加交于点G,由条件判断APRG为等腰三角形，OM为AKgG的中位线，故

OM^^F2G=^∖PFl-PF2∖=^∖2a-2PF2∖,再根据尸工的值域，求得IoM的最值，从而得到

结果.

【详解】

如图，

答案第8页，共17页

延长尸耳与耳M交于点G,则PM是NKP用的角平分线，

由耳M∙MP=O可得F1M与PM垂直,

可得APFQ为等腰三角形，故"为耳G的中点，

由于。为耳K的中点，

则OM为△耳gG的中位线，故OM=gKG,

由于PK=PG,所以6G=尸片一Pg,

所以OM=g∣P6-PK∣=j2α-2PE∣,

问题转化为求?用的最值，

而尸心的最小值为α-JP名的最大值为α+c,即2乙的值域为S-cM+c],

故当”="+c或PE="-c时，|。M取得最大值为

22

OM=^∖2a-2PF2∖=^∖2a-2(a-c)∖=c=√α-⅛=√16-12=2,

当尸片=4时，P在y轴上，此时M与。重合，

IoMl取得最小值为0,又由题意，最值取不到，

所以IoMl的取值范围是(0,2),

故选：A.

该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的

性质，属于较难题目.

16.x+y-l=0

答案第9页，共17页

由点Q关于X轴的对称点为。'，且满足PQ,FQ',由直线/的斜率为T求解.

【详解】

如图所示：

由点。关于X轴的对称点为。'，且满足FQ',

所以=45,则k@F=1,kl=-i,

所以直线/的方程是y=—(x-1),

即x+y-l=O.

故答案为：x+y-l=O.

17.受

2

由4鸟，耳心，求得MEl=过。作。ELAG,根据题意得到|0同=3。/，根据

a3

OEFlAF2Fi,得到微=陶=大，整理得到&c2+αc-dz2=o,结合离心率的

定义，即可求解.

【详解】

因为A5_1_耳巴，不妨设点A(c,y1),其中心＞(),

答案第10页，共17页

代入椭圆方程E+W∙=l(a>b>O),可得:+4=1,解得#=〃(>r')=

a"b"a"ba

所以以=耳，即MF)I=Q,

a~a

过。作OE,4%因为原点O到直线A耳的距离为50周，即IoEl=J。用，

国=座i

由-。环AFF即"=万=1

21忻国环2√2'

I2c2ac2Λ∕2

又由〃="2一/,整理得夜/+αc—应/=0,即√Σ∕+e—夜=0,

因为e>0,解得e=也，即椭圆的离心率为立.

22

故答案为：YZ.

设A(x,,乂)，BU2,%),利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出.

【详解】

解：设A5,y∣),β(x2,>∙2),

则x；+4y；=4,x；+4货=4,

,∙.(x1+x2)(xl-x2)+4(yl+y2)(yl-y2)=0.

P(l,g)恰为线段AB的中点，即有玉+超=2,y+%=i,

-Λ2)+2(y1-y2)=0,

•••直线AB的斜率为Z=>二也=-；,

x1-X22

*'•直线AB的方程为了-5=-5(工一1)，

答案第11页，共17页

即x+2y-2=0.

由于尸在椭圆内，故成立.

故答案为：x+2y-2=0.

(1)根据题意，分析可得要求椭圆中c∙、〃的值，计算可得人的值，将。、6的值代入椭圆

的方程即可得答案；

(2)根据题意，由椭圆经过点的坐标可得椭圆中“、人的值，将“、6的值代入椭圆的方程

即可得答案；

(3)根据题意，设要求椭圆的方程为∕w√+")∕=I,将点R。的坐标代入计算可得机、〃

的值，即可得答案.

【详解】

(1)由于椭圆的焦点在X轴上，

22

，设它的标准方程为［+马=l(α>b>O),

aZr

・\α=5,c=4,

.∙.bI2=«2-C2=25-16=9，

故所求椭圆的标准方程为《+f=1；

259

(2)由于椭圆的焦点在y轴上，

22

二设它的标准方程为与+==l(a>b>O)∙

a-b-

.∙.α=2,6=1,故所求椭圆的标准方程为£+炉=1；

4

⑶设椭圆方程为62=l("7>0,n>0S.m≠n)t

1

m=—

3m+4n=115

则⑵,+自得

I，

n--

5

22

・・・所求椭圆的标准方程为—+ɪɪl.

155

2

20.(1)y+√=l;(2)y=±√2(X-I).

答案第12页，共17页

(I)根据题目所给四边形的面积得到必=2及，结合点(1,注)在椭圆上列方程，由此求

得标,/,从而求得椭圆C的方程.

(2)当直线/无斜率时，求得A,8的坐标，判断出OAJ_OB不成立.当直线/有斜率时，设

直线/的方程为y=%(χτ),将直线/的方程与椭圆方程联立并写出根与系数关系，结合

04OB=O列方程，解方程求得火的值，由此求得直线/的方程.

【详解】

Q)四边形的面积为gx24*2Z>=2夜，：."=五,

又点(1,也0在C：=+27=1上，则-r+37Tτ=l,

2a~b-a2h

2

Λa2=2,Xi,.•.椭圆的方程为r工+V=1;

2

(2)由ɑ)可知椭圆C的右焦点F(LO),

①当直线/无斜率时，直线/的方程为x=l,

则A(l,注)、B(L--),OA-LOB不成立，舍，

22

②当直线/有斜率时，设直线方程为将y=Mχ-i),

代入椭圆方程，整理得(l+2k2)χ2-4公χ+2(%2-i)=o,F在椭圆内，A>0恒成立,

设A(X凹)、B(X2,%),则差+%=4",,xx∙x1=—~lɪ

,k1

又X.>2=A2[西•3Txl+々)+1]=_]+2/'

OAɪOBnOA∙OB=OnXl毛+%%二°，

∏∏2(⅛2-l)犷k1-2

=O,解得k=±V∑，

l+2k2∖+2k21+4A:2

则直线/的方程为：y=±√2(x-l).

答案第13页，共17页

求解有关直线和圆锥曲线的位置关系的问题，根与系数关系是解题的关键.

21.⑴与+)』；⑵［翡)

(1)本小题根据已知条件直接求出〃=b=∖,再求出椭圆方程即可.

(2)本小题先设A、B两点,再将OA∙08转化为只含"，的表达式，最后根据，”的范围确

定0408的范围，即可解题.

【详解】

'2/ɜ/ɜA22

解：⑴•••点M平,一在椭圆C：^+4=1(0>⅛>0)上，

(3ab"

41

'彳十9j又∙∙∙2a=2叵，

•∙a=»b=1.

椭圆C的方程：y+y2=l

(2)设点A、B的坐标为A(4M),B(x2,y2),则43中点(土产,入产)在线段QM

上，且40M=g,则玉+超=2(%+必)，

又1+y"l,Aw=L两式相减得宜二誓3+(yf)(y+%)=0,

V,-y9X1+X9,

易知芭一々R0，X+%W0,所以；.=-2()，+%)=_'则L=T

2

2

设AB方程为y=~x+t代入q~+y=ɪ并整理得3χ2—4Tnr+2〃——2=0.

由A=8(3—"?2)>o解得<3,又由.；"=胃ɪθ[ɑjɪ]，则0<m<G∙

2(w2-l)

由韦达定理得X+W=-^-

故。403

=XX2+My2

=xlx2+(-X1+m)(-x2+ΛH)

=2xix2-m[x]+x2)+nr

答案第14页，共17页

4(加2-1)4m22

=------------------+trr

33

24

=m——

3

又T.0<∕n<√3

∙,∙OA-OB的取值范围是[-*∣J.

本题考查求椭圆的标准方程，相交弦的中点等问题，是偏难题.

22.(1)证明见解析；(2)手；(3)M在曲线5+2丁=1上运动，证明见解析.

(1)由对称性，设出AB,E,C点的坐标，求出直线AE,CG的斜率即可求证；

(2)由直线CG的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点H坐标，直线AE的方程与

椭圆方程联立利用韦达定理可求出点尸坐标，即可表示出直线FH的斜率,利用基本不等式

即可求最值；

(3)求出直线切的方程，令X=X°,可得点M纵坐标用为表示，利用点(Xo,%)在椭圆

上，相关点法可求动点M的轨迹方程，即可求证.

【详解】

(1)由对称性，设A(XO,0),B(-x0,O),E(-⅞,-y0),C(-⅞,y0)

则AE:y吟(x-Λ0),得G(O，V),

故K=K,^=--,则&=一1，

μ∙λ,4ɔ人γ,2〃,γ人人」I“x-fJa

(2)由CG:y=匕x-&,

'^2

联立,)-&x一万=>(1+26)/-2&4=0,

√+2∕-4=02

3,oΛ∙^2>—4

由根与系数的关系可得rr-2,所以X=_2_______

~XO'XH-T^Hf([+2硝

答案第15页，共17页

∖

武一4公|九-4

S可得”≡⅛∙⅛⅞4

所以％=

-⅞(1+2^)

又AE:y=Kx-*,联立■)'="逮一寸n(l+2k)/-2KyoX+4-4=0,