新高考二轮复习真题导数讲义第36讲 指对函数问题之分离与不分离（解析版）

第36讲指对函数问题之分离与不分离

1.若关于X不等式x∕nx-Aj+W,,“e'恒成立，求实数。的取值范围

【解答】解：【方法一】设f(x)=xlwc-X3+x2,χ>0,

则/'(%)=InX+1-3X2+2x,

且广(1)=加1+1-3+2=0,

是/(x)的极值点，也是最值点；

.∙∙∕(x)Vo恒成立,

又x>0时，ev>l恒成立，

・•.。的取值范围是［0,+∞).

【方法二】不等式xlnx-X3+X2,,aex可化为Inx-x2÷Λ;,竺-,

X

设/(X)=。优一％2+χ,g(χ)=^-,其中X>0;

X

.1—2f÷X+1

.,.ft(x)=—2x+1=---------------'

XX

令r(X)=。,解得χ=ι或X=-g(舍去)，

.∙.X=1时/(4)取得极大值，也是最大值，为0；

e

又g'(x)=a∙"2-”,

X

令/(幻=0,解得X=1,

/.x=l时g(x)取得极值，也是最值，a..0时g(x)取得最小值为ci；

由题意知实数。的取值范围是a.0.

故选：B.

2.若关于X的不等式24e?，-⅛2x+∕w..0对任意实数x>0恒成立，求实数。的最小值

【解答】解：对任意的x>0,不等式2αe2χ-∕nr+∕w..。恒成立，

即2ae2x..Inx-Ina-In—恒成立，

a

，函数y=4e"与函数y=/〃9互为反函数，又x>0时，2/>2,

a

•••原问题等价于2〃"..历土恒成立，则2α"..x,即2a.二在x>0恒成立，

设F(X)=二，贝IJf(X)=EE,令r(χ)=o,解得X=1,

当x>l时，F(X)递减，O<x<l时，F(X)递增,

则/(χ)S=/(I)=L

e

故2α.L,即α..—，

eIe

故答案为：,+8).

2e

3.已知函数f(x)=ex.

(ɪ)讨论函数g(x)=∕3C)-X-。的单调性;

34

(2)证明：/(x)+lnx+->-j=.

X√X

【解答】(1)解：⅛(x)=f(ax)-x-a=eax-x-a,g,(x)=aeax-1,

①若@0时，g'(x)vθ,g(x)在R上单调递减；

②若4>0时，当XV-■!√mz时，g'(x)vθ,g(x)单调递减；

a

当x>-Lw时，g'(x)>O,g(x)单调递增；

a

综上,若4,0时，g(x)在R上单调递减;

若α>0时，g(x)在(-∞,--lna)上单调递减；

a

在(一LM+8)上单调递增；

a

34r-

(2)证明：要证/(x)+∕nx+->-j=,只需证x(∕"∕+e')-46+3>0,

ɪ∖∣X

由(1)可知当Q=I时，-X-I..0,即∕∙.X+1,

当x+l>0时，上式两边取以e为底的对数，可得例(x+D,,x(x>-1),

用代替X可得伍/X-1(ΛT>0),又可得加L,一I(X>o),

XX

所•以lπx..1—(X>0),X(IuX+e")—+3>Ml------Fx+1)+3—A-∖fx

XX

=X2+2%+2-4五=(X+1)2-4«÷1虞2«)2-4«+1=(2∖fx-I)20,

即原不等式成立.

4.已知/(x)=4e'T-空+1.

a

(1)α=l时,求/(%)的单调区间和最值;

(2)①若对于任意的x∈(0,+∞),不等式F(X)…色卢恒成立，求”的取值范围；

②求证：ex'-2y[x-lnx+-..0.

2

L--1

【解答】解：(1)当α=l时，/(x)=^-'-2√^+I(x..0),则r(x)=e'T-x2=*_歹，

易知函数/(0在[0,+8)上为增函数，而1(1)=0,

故当Xe((M)时，∕,(x)<0,/(x)单调递减；当Xe(I,+co)时，∕,(x)>0,/(x)单调递增，

故函数/(X)的减区间为(0,1)，增区间为(1,转)，最小值为了(1)=0,无最大值；

(2)①不等式f(x)..空匚即为a/——巫+1…红二支•，令g(x)=αe*τ-至+1-狂二式•，

2a2a2

ɔ7

(i)若α<l,贝!lg(l)="--+1,令h(a)=a——+l(α<l),易知函数/?(a)在(-∞,1)上单调递增，故/?(a)

aa

<h(1)=0,矛盾；

(H)若"..1,g(x)..0即为2cJeJ-4Λ∕X+2。-a{x-l)2..0,

令φ(a)=2e'-'a2+[2-(x-l)2]a-4√7(a.1),这可以看作关于α的二次函数，其对称轴为a=(D厂,

4e

u22

现比较a=~0l~与1的大小：

4e'^'

作差可得d2j2_1=(XT)J2-4∕τ,令S*)=*_])2_4∕τ-20>0),

4e'',4e'~,

则W(X)=2(x-1)-4et''=2(x-l-2ex^'),,2(X-I-2x)=2(-x-l)<0,

即函数皿©在(0,*x))上单调递减，故m(x)<m(0)=-l-d<0,即(XT)--<[,

e4e

故函数9(a)在[1,+8)上单调递增，故夕(a)..φ(1),

ΓΓ∏φ(∖)—2e"I+2—(x—1)~—4-∖fx»设z?(x)=2e"'—(x—1)~~Ayfx+2(X>0),则πr(x)=2[e]—(ɪ—1)—ʃ--],

易知函数〃'(%)在(0,÷oo)上单调递增，而川(1)=0,

故当XW(0,1)时，Az(X)<0,〃(为单调递减；当Xw(l,KO)时，Ha)>0,∕t(x)单调递减，

故〃(X)(1)=0,即9(1)..0,即不等式F(X)…任/恒成立，

综上，实数。的取值范围为[1,+00)；

②证明：由①知，要证e"T-2&—/nx+3..O,只需证S_-..Inx--,即证(X-I)?-2∕ar+1..0,

222

易知/吗,X-1,故(X-I)2-2∕nx+l⅛r-l)2-2(x-l)+l=χ2-4x+4=(x-2)20,即得证.

5.已知函数/(X)=：.

(1)人为正实数，若/(x)..依在(O,+∞)上恒成立，求人的取值范围;

75

(2)证明：当x>0时，有/(x)加x+—>—成立.

X2

【解答】解：(1)令F(X)=f(x)-kx=ex~1-kx,

fχl

^lF(x)=e--kf是增函数,

令尸(X)>0时，解得：x>lnk+∖,

令F(X)<0,解得：O<x<lnk+19

故F(x)在(OJnk+1)递减，在Qnk+1,+∞)递增，

故F(x)min=F(IrIk÷1)=Λ-kink-k=-kink..O,

而2>O,故lnky,O,解得：k,,l,

所以R的取值范围为(0,1].

(2)证明：对X的取值范围分类讨论：

QOVXVI时，e~1<eλ~1<1,InX<0,所以ex~x∙Inx>Inx,

3_33

有f(x)lnx+—=CXTInX+—>Inx+—,

XXX

令g(x)=Inx+-,则g'(x)=3=土一<0,

XXXX

所以g(x)在(0,1)上单调递减，

所以g(x)>g(D=3>g,

即fM∣nx+—=ex~xlnx+—>Inx+—>3>—,

XXX2

故OVX<1时.，不等式成立.

②X..1时，由(1)中结论，+∞)上恒成立,

而此时加r..0,于是有f(x)bvc+ɪ=ex~]lnx+—..xlnx+ɪ»

XXX

要证/'(x)队V+』>3成立，可证其加强条件：XInx÷—>—,

X2X2

25

即证加ɪ+F------>O⅛X..1时成立，

X2Ix

35

令∕n(x)=Inx+------(x..l)，

X2x

1652X2+5X-12(2X-3)(X÷4)

则∕nr(x)=--------+-----=-----------------=-------------------

XX32X22X32X3

所以〃川在工|)上单调递减’在［|皿上单调递增,

_331

所以m(x)..ιn(-)=In----,

223

由于2>3>3,因此』>涓，所以妨3›,，

8223

所以m{x}..zn(~)=妨T一；>0，

3535

BPm(x)=Inx+---->0»BPInx+—>—,

X22xX2

所以f(x)lfvc+—=ex~ilnx+—..xlnx+—>—,

XXX2

故x..l时，命题成立.

35

综上，当x>0时，有/(x)∕nr+二>二成立.

X2

6.已知函数/(X)=历%+@+了.

X

(1)讨论函数/(X)的单调性；

(2)对任意的xe(g,+8),3(x)<e*+χ2恒成立，请求出α的取值范围.

【解答】解：(1)r(x)=l-4+ι=x^+Γα>x>0，

XX

当4,0时，r(x)>0,/(X)在。+oo)递增：

当α>0时，对于y=d+x—α,Δ=l÷4^>0r故y=0有在x>0时:有一个解加=1+二+4。

当X∈(0,tn)时,f,(x)<0,/(x)递减；

当x∈(m,+∞)时，∕r(x)>0,/。)递增；

综上，当4,0时，/(©在(0,+∞)递增；

当a>0时，f(x)在(±@±色,+8)递增；在(O,7+•+%)递减;

22

(2)根据题意，任意的九∈(g,+□o),0∖x)<eA+V恒成立，即Wix+”",

分离参数得a<eX-XhVC,

4,g(ɪ)=ex-xlnx,x∈(^,+∞),gr(x)=ex-Inx-I,

g”(X)=e*—L单调递增，g∖-)=4e-2<0,g"(1)=e-l>0,

X2

故存在唯一的零点”ed,l),e"=L,

2n

当x∈g,〃)时，g"(x)<O,g'(x)递减，当x∈(",+∞)时，g"(x)>O,g'(x)递增，

故g'(x)mi"=g(")=et,-Inn-I=L+∕v-l>2-l=］>0,

n

故g(χ)在X∈g,+8)递增，

故④g(g)=&+；加2.

7.己知函数/(x)=∕nx+幺+x∙

X

(1)若α=l,求曲线/(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)对任意的Xed■,+oo),对∙(x)<e*+χ2恒成立，请求出”的取值范围.

［解答］解：(1)因为α=l,所以f∖x)-------L+1，f(1)=1，F(1)=2»

XX

所以切线方程为y=x+l∙

(2)不等式ʌf(X)VeX+£,对任意的XG(；,+OO)恒成立，

即a<ex-xlnx对任意的x∈(；,+Oo)恒成立.

⅜tv(x)=ex-xlnx,则M(X)=，一∕nx-l,令φ(Q=eX-InX-\,则"(x)=e"-L

X

易知0,(X)在(；,+00)上单调递增，

111

因为夕弓)=〃一2<o,φ∙(1)=e-l>O,且。'(幻的图象在(a,1)上连续，

所以存在唯•的％∈(L1)，使得0'(XO)=O，即*--!-=O,则Xo=-历r().

2⅞

当X∈(g,Λ0)时，夕(X)单调递减；当X£(%,+8)时、夕O)单调递增.

则φ(x)在工=Xo处取得最小值，

且最小值为φ(x0)=e"—lnx(y—1=----FX0—1>2x()∙-----1=1>0,

⅞V⅞

所以/(尤)>0,即心)在(L÷∞)上单调递增，

2

11I

所以“，/——/H-.

22

8.已知函数/(X)=幺出依为常数，e=2∙7I828…是自然对数的底数)，曲线y=∕(x)在点(1,f(1))处

的切线与X轴平行∙

(I)求k的值；

(II)求/(x)的单调区间；

(In)设g(x)=，+x)r(x),其中r(x)为.F(X)的导函数.证明：对任意X>O,g(x)<l+e^2.

【解答】解：(I)f∖χ)=i~kx~xl'vc,Λ∈(O,+∞),

xex

且y=∕(x)在(1,f(1))处的切线与X轴平行，

Λf,(1)=0,

.,.A=1；

(II)由(I)得：f,(x)=——-(l-x-xlrυc),x∈(0,+∞),

xex

令h(x)=l-x-xbvc，x∈(0,+∞),

当x∈(0,1)时，h(x)>O,当Xw(l,÷∞)时，h(x)<O»

又/›O,

.,.X∈(0,1)时，f∖x)>O，

X∈(l,+∞)时，f,x)<O,

.∙J(X)在(0,1)递增,在(1,+oo)递减;

证明：(HI),∙g(x)=(x2+x)f,(x),

X+1

.,.g(x)=------(l-ɪ-xlnx),x∈(0,+∞),

ex

/.‰>0g(x)<1+e2<=>1-x-xlnx<—-(1+e"),

jx÷l

由(II)h(x)=∖-x-xlnx,x∈(0,+∞),

.,.h∖x)=-Inx一2,x∈(0,+∞)，

.∙.尤∈(0,"2)时，"(χ)>O,〃(x)递增,

X∈(e~2,+∞)时，Λ(x)<O,∕ι(x)递减，

22

「•h(x),naλ=∕ι(e~)=l-i-e~f

.∙.l-x-xlnx,,1+e~2,

设∕H(X)=ex-(x+l),

/.m∖x)=ex-∖=ex-e”,

.,.X∈(O,+∞)时，R(X)>O,m(x)递增,

:.m(x)>〃2(0)=O,

.,.X∈(O,÷∞)时，m(x)>0,

即£>i,

x+l

1—X-XItvc,1+e~<-----(1+e2)»

y1+x

.,.VX>0,g(x)<∖+e~2.

9.已知函数f(x)=0χ2-∕nx+x+l,g(x)=aex÷-+ax-2«-l,其中α∈A

2X

⑴若〃=1,其函数g(x)在［1,3］的值域；

(2)若对任意的x∈(0,+∞),g(x).∕(x)恒成立，求正实数。的取值范围.

【解答】解：(1)α=l时，g(x)=e*+,+χ-∙3,

X

•••g∖x)=ex--τ+l；

JT

故当％∈［1,3］时，g,(x)>O：

故g(x)在［1,3］上是增函数,

故g(x)∞u=g(3)=/+g，g(x),"⅛,=g<∣>=e-l;

(3)^h(x)=g(x)-ff(x)

—aβxH----Fax—2a—1—(tzx-----F1)=ctcx-∖----------2(α+1)，x£(O,÷∞)>Q∈(O,+∞)；

XXX

令P(X)=aexx2-a-∖,则P,(x)=aexx(x+2)>O,

故P(X)在(0,4W)上是增函数，

P(O)=-tz-1<O,且当x→+oo时，P(X)→+∞;

Λ3ΛO∈(0,4W),使P(J⅛)=O;

・・.当X∈(0,Λ⅛)时,P(x)vO,BPΛr(x)<O,故〃(%)在(0,%)上单调递减；

当x∈θ⅞,+8)时，P(%)>0,即"(x)>0,故人(X)在(XO,+00)上单调递增;

.*.HX)min=M⅞)=Ciexvt+-2(α+l),①

⅞

xnCl

由尸(A■())=()得，aex^-a-l=Of故a*=］,②

CI

代入①中得，h(x0)=+——--2(〃÷1)；

⅞⅞

对任意的工∈(0,÷w),g(x)../(X)恒成立可化为"1+"1一2(。+1)..O；

⅞⅞

又∙4>0,

——4------2..O»乂由xθ>O解得，O<ɪʊ,,1»

■V⅞

由②得，

a

易知P(X)=e"2在(0,1］上是增函数，

故θv^ʌ,,e:

a

故ci...--------，

e-1

故实数”的取值范围为［」一,+oo).

e-1

10.已知函数f(x)=ex-X2

(1)令g(x)=/(X)-分+g(χ2,若χ..0时，g(%)..0恒成立，求实数。的取值范围;

(2)当x>0时.证明/(x)—ex..x∕nx—f一工+1

【解答】解：(1)由题意可得g(x)=e*-J(x+4)2,

所以g<x)=e"-x-a,

令m(x)=ex-X-ay

,x

所以m(x)=e-∖f

当X..O时，W(X)..O,皿x)在［O,+∞)匕单调递增，

所以tn(x)nιin="(O)=∖-a,

①当l-4..0时，即％1时，m(x)..0恒成立，即g<x)..O,

所以g(x)在［0,+8)上单调递增，

2

所以g(x)"血=8(0)=1"-0，解得融√2.

所以-JΣ麴b1»

②当1—α<0时，即α>l时，皿x)在［O,+∞)上单调递增，且租(O)=I-α<0,

因为当l<α<e2-2时，m(ln(a+2))=2-ln(a+2)>O,

所以存在Xo∈(0,ln(a+2)),使机(AO)=O,即e"=x()+。，

,f

所以当X∈(O,xo)时，m(x)VO,即g(x)<O，g(x)单调递减,当x∈(x0,ln(a+2))时，Μ(X)>O,即g(x)>O,

g(x)单调递增，

所以g(x)“而=g(Λ0)=eW-g(Λ0+a)2=e*-；e2"=e"(l-ge*)..O,

所以e2,2,

所以O<x0,,Inl,

由e"=XO+。得α=e%一小,记r(ɪ)=ex-x,Λ∈(0,ln2］,

所以t∖x)=eʌ-1>O,

所以“无)在(0,加2］上单调递增，

所以KX),,Z(∕π2)=2-∕n2,

所以1V%2—加2,

综上所述，α∈［-√2,2-ln2］.

(2)证明：要证/(X)-勿..A⅛X-χ2一χ+l,

即证ex-X2—ex,.xlnx—x2—x+1,

即证e*-ex..xlnx-x+∖,

因为x>0,所以即证J一加x-L-e+1..0,

XX

x1

令h(x)=-e----Inx-------e+1，

XX

则〃(X)=(Xm).

X-

因为x>0,所以、-1>0,

所以当OVX<1时，h'(x)<O,∕z(x)单调递减，

当x>l时，"(x)>0,∕z(x)单调递增，

所以〃(X)在X=I处有极小值，即最小值,

所以〃(X)../?(1)=e—l-e+l=0,

所以当x>0时，f(x)-ex..xlnx-X2-x+lJ⅛⅛.

11.已知函数f(x)=e*+x∕nx-χ2+(1-α)x.

(1)曲线y=∕(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,求。的值；

(2)若/(x)..0恒成立，求α的取值范围.

【解答】解：(1)函数/(x)=e*+x∕nx-χ2+(]-α)χ的导数为∕<χ)=e*+ι+历x-2x+l-a,

则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为e+1+0—2+1—α=0,解得a=e；

(2)ex+xlnx-x2+(1-d)x..O(X>0)可化为(a-I)X,ex+xlnx-x2,

,e`+xlnx-x2,、ex+xlnx-x2

即πιlα-1„-----------------,设g(x)=------------------,

xx

(X-I)(e*τ)

g'=—p—，

由y=e*-X的导数为y=e*-1,

当OCXCl时，√<0>y=e*-x递减；当x>l时，y,>0(y=e*-x递增.

则y=e'-X的最小值为e-1,

所以OCX<1时，g,(x)<0,g(x)递减：x>l时，g,(x)>0,g(x)递增.

所以g(x)的最小值为g(1)=e-l,故a—L,e—1,

即用e,所以。的取值范围