2022-2023学年河北省保定市重点学校高三（上）期中考试数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省保定市重点学校高三（上）期中考试数学

试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若集合4={x|--2x40},集合B={%|14x<3},则4UB=（）

A.{x\x<3}B,{x|l<x<2}C.{x|0<x<3}D.{x\2<x<3}

2.若（l+i）-z=4i,则z的共朝复数为（）

A.2+2iB.2-2iC.-2+2iD.-2-2i

3.2020年9月22日，在第75届联合国大会期间，中国提出将提高国家自主贡献力度，采取

更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳

中和.要实现这个承诺，我国要牢固树立创新、协调、绿色、开放、共享等新发展理念，抓住

新一轮科技革命和产业变革的历史性机遇，汇聚各方力量推动经济社会发展转型.2023年2月

2811,国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，

2022年全年我国新能源汽车产量达到700.3万辆，如果从2023年起，今后3年我国新能源汽车

产量年均增长率为20%,则2025年全年，我国新能源汽车产量预计能达到约万辆.（）

A.1210.12B.1008.43C.1452.14D.1451.52

4.已知双曲线C：会与=l（a>0,b>0）的右焦点为F,B为虚轴上端点，M是B尸中点，。

为坐标原点，OM交双曲线右支于N,若FN垂直于x轴，则双曲线C的离心率为（）

A.y/~2B.2C.V-3D.亨

5.已知函数f（X）=COS（3X+）则下列结论错误的是（）

A.3=1时，/'（久）关于X=争寸称

B.3=1时，/（%）的一个周期为—27T

C.3=2时,/（%）在［0,争上单调递增

D.3=2时，f（x）=；的两个零点为X1，x2，则氏1一切1„1讥=g

6.三位同学参加某项体育测试，每人要从100m跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出

两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（）

7.如图，在长方体4BCD中，AB=BC=1,AAr=2,

对角线BiD与平面48cl交于E点厕aE与面441D1D所成角的余弦值

为()

C.2

3

D.£5

8.已知函数/(x)=a/nx(a>0),过点M(0,；)且平行于x轴的直线与曲线C：y=/(x)的交点

为N,曲线C过点N的切线交y轴于点P,则△MNP面积的最小值为()

A.1B.9C.及D.二

242

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知直线，：kx-y-k=0,圆M：炉+y2+。％+Ey+i=。的圆心坐标为(2,1),则下

列说法正确的是()

A.直线I恒过点(1,0)

B.D=-4,E=-2

C.直线/被圆M截得的最短弦长为2C

D.当k=l时，圆M上存在无数对点关于直线，对称

10.已知函数/"(x)=ax3—3x+1,贝！1()

A.f(x)在［-1,1］单调递减，则a>1

B.若a>0,则函数/(x)存在2个极值点

C.若a=1,则f(x)有三个零点

D.若/。0在［-1,1］恒成立,则a=4

11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为尸，点K为抛物线C的准线与％轴的交点，过点K的直线I与

抛物线C交于不同的两点M、N,贝4()

A.kpM+kpN~0

B.存在一点Q为MN中点，使得|FQ|=2

C.存在这样的直线，使NMKF=45。成立

D.\FM\+\FN\>4

12.如图，正方形4BC。的边长为1,P、Q分别为边4B、DA上的动pC

点，若A4PQ的周长为定值2,则（）/

A."CQ的大小为30°/

B.APCQ面积的最小值为，9一1/

C.PQ长度的最小值为2n-2A---------W---B

D.点C到PQ的距离可以是?

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知定义在R上的函数/*（%）满足:对于V%1，%2〉4且％1中％2,①f（%1+%2）=/（%1）•

/（孙），②弋）*）＞0,试写出满足以上两个条件的一个函数.

X1x2

14.在△ABC中，点。在边48上，CD平分乙4CB,若|E71=1，|而|=2，乙4cB=60。，

则而•AB=-

15.我们知道地球和火星差不多在同一轨道平面上运动，火星轨道在地球轨道之外.当地球和

火星与太阳在同一条直线上，这一天文现象称为“冲日”，简称“冲”.假设地球和火星都做

近似匀速圆周运动，火星绕太阳一周约需687天，地球绕太阳一周约需365.25天，则相邻两

次“冲日”之间间隔约为天.（结果精确到个位）

16.如图，在四面体4BC。中，4O1BC,BC=2,AO=4,4B+BD=4C+

CD=6,则四面体ABCD体积的最大值为.7c

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

如图，四棱台4BCD-EFGH的底面是菱形,且/BAD=DH1平面力BCD,EH=2,DH=3,

AD=4.

（1）求证：4E〃平面BOG；

（2）求三棱锥尸-BDG的体积.

18.（本小题12.0分）

如图，BD是平面四边形4BCD的一条对角线，已知在AABD中满足4DCOS4WB=（，78。一

AB）cos^.ABD.

⑴求乙4BD；

（2）若2B=4D,BC=4,CD=2,求四边形ABCD面积的最大值.

19.（本小题12.0分）

2

己知数列｛斯｝的前n项和为Sn,%=1,若对任意的正整数n都有2S”=2nan-n+n.

（1）求数列｛aj的通项公式；

（2）记数列｛（一；产｝的前n项和为7；,若sW7；一焉Wt恒成立，求t-s的最小值.

20.（本小题12。分）

某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类

大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年

级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），

比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个

年级之间打成2：2,则第5场比赛定胜负.已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为今

高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为|,高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均

为右且队员、年级之间的胜负相互独立.

（1）求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高

一年级的概率.(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期

望.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆C经过点P(2,2).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若4、B是椭圆上不同于点P的两个动点，直线P4、PB与x轴围成底边在x轴上的等腰三角

形，证明：直线4B的斜率为定值.

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=/(e*+m),mER.

⑴当m=一1时，求f(x)在点Z(l,e—1)处的切线方程.

(2)若g(x)=^-lnx-1的图象恒在x轴上方，求实数tn的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：才集合4=[x\x2—2x<0}={x|0<%<2},

集合8={x|l<x<3},

••AUB={x[0<x<3}.

故选：C.

求出集合4利用并集定义能求出4UB.

本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：（1+i）•z=4i,

入Jz-而一（i+i）（i-f）-2+21,

则3=2-2i.

故选:B.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共规复数的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及共挽复数的定义，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：2025年全年，我国新能源汽车产量预计能达到约700.3x（1+20%）3«1210.12万

辆.

故选：A.

根据“年均增长率”的含义，结合指数的运算法则，得解.

本题考查实际应用问题，理解“年均增长率”的含义是解题的关键，考查运算能力，属于基础题.

4.【答案】4

【解析】解：双曲线C：盘一营=19>0/>0）的右焦点为凡B为虚轴上端点，

M是BF中点，。为坐标原点，OM交双曲线右支于N,FN垂直于x轴,

可知BNF。是矩形，所以B、N的纵坐标相同，x=c时，会，=1,yN=+^'

故选：A.

利用已知条件说明B、N的纵坐标相同，即可求解离心率.

本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题.

5.【答案】C

【解析】解：当3=1时，/(X)=COS(%+1),

此时7=午=2zr,即一2兀是/(工)的一个周期，故5正确，

当％=争寸，/(%)=COS(y+1)=^osn=-1,即/(%)关于第二:对称，故A正确,

当侬=2时，/(%)=cos(2x+^),

当04工4，0<2%<y,2X+^<7T,此时/⑺为减函数，故。错误，

由/(%)=2得cos(2第+1)=P

则2%i+,=2k]7i+1或2&+^=2k2式一号,k],fc26Z,

即2与=2k逐或2%2=2k2〃一胃，

即％=七兀或%2=k2n—

则X]—x2—(fci—12)兀+

则％—外1=1&-七)兀+即,

则当心一卜2=。时，％-Xzlmin=卷，故。正确，

故选：C.

分别求出函数f(X)的解析式，利用函数的对称性，单调性以及周期性进行判断即可.

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的对称性，周期性以及单调性进行判断是解决本

题的关键，是中档题.

6.【答案】C

【解析】解：设100小跑、引体向上、跳远、铅球四个项目分别为a,b,c,d,

则每位同学都有六种选择：ab,ac,ad,be,bd,cd,

故三位同学共有6x6x6=216种选法，

其中，有且仅有两人选择的项目完全相同的选法有第x盘x盘=90种选法，

或表示3个同学中选2个同学，使他们所选项目相同，/表示6种组合中选一个，

日表示剩下1个同学还有5种选择，

则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是黑=

Z1612

故选：C.

先求出三个同学选择的所有选法，然后分步求出有且仅有两人选择的项目完全相同的选法，最后

利用古典概型的概率公式计算即可.

本题考查古典概型及其概率计算公式，解题的关键是求出有且仅有两人选择的项目完全相同的选

法，属基础题.

7.【答案】D

【解析】解：如图，建立空间直角坐标系:

砧=(0,1,-2)，=(-1,1,0)，

设平面的法向量为访=(x,y,z),

则(希,方=y-2z=°,

L41cl•沆=—%+y=0

令z=1,则y=2,%=2,

所以布=(221),

西=(1,1,2)，

因为点E在当0上，

设屁=4西=(尢尢24)，

所以E(尢42Q,

所以福=(Z-1,A,22-2).

因为&Eu面4/6，

所以砧•记=0,

所以(4-1,4,2,-2)♦(2,2,1)=0,

所以2(2-l)+2A+(22-2)=0,

解得A=I，

所以砧=(v，i，—|),

平面AaDiD的法向量为元=(0,1,0),

设&E与平面所成角为a,

~,砧•元.,(-熬，-分(O，1Q),2

所以鬲丽1R不而茄亭1一，

所以cosa=V1-siMa=J1一(|产=?,

故选：D.

建立空间直角坐标系，解得平面4BG的法向量为沅=(x,y,z),西=(1,1,2)，设施=2两,

则E。,4,24),砧.沅=0,解得;I,可得涯坐标，平面的法向量为元=(0,1,0),设&E与

平面所成角为a,则sina=|滞看进而可得答案.

本题考查直线与平面所成角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：/(x)=alnx{a>0),把丫=，代入，可得;=a/nx,即久=盛，

则N(e益

1

由/(%)=cclnx,得/'(%)=p则((。。2)=今，

x~7

[1

曲线C过点N的切线方程为y-£=WeZ),取x=o,得p(o,：-a).

ga2

•*,S^MNP=2a,?莉・

111112_7

令g(a)='1Q•e混，则g'(Q)=51?茄+(一滔1)•C滔=?混(51—混1)=e刘.希■.

.・・当a=C时，g(a)mm=9(。)=9.

故选：D.

由己知求得N点坐标，利用导数求出过N点的切线方程，再求出P点坐标，写出三角形MNP的面积,

再由导数求最值得答案.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，是中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：直线八kx-y-k=O,恒过点(1,0),所以A正确；

圆M：x2+y2+Qx+Ey+l=0的圆心坐标为(2,1),D=-4,E=-2,所以8正确；

圆M：/+丫2-4X一2y+1=0的圆心坐标为(2,1),圆的半径为2.

直线八kx—y-k=0,恒过点(1,0)，圆的圆心到定点的距离为：<2,

直线1被圆M截得的最短弦长为=2，2大2/3，所以C不正确；

当k=1时，直线方程为：x-y-1=0,经过圆的圆心，所以圆M上存在无数对点关于直线/对称，

所以。正确.

故选：ABD.

求解直线系结果的定点判断力；圆的圆心求解。、E判断B；求解直线被圆截的弦长判断C,利用圆

的圆心到直线的距离判断D.

本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

10.【答案】BCD

【解析】解：已知/(x)=一3x+1,函数定义域为R,

可得'f(x)=3ax2—3=3(ax2—1),

若/(x)在［—1,1］单调递减，

此时/'(x)<0在上恒成立，

即a<或在［-1,1］上怛成立,

不妨设g(x)=妥，函数定义域为［-1,0)U(0,1］,

可得g，(x)=-或，

当一14%<0时，g'。)>0,g(%)单调递增；

当OvxWl时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以当％=-1或%=1时，函数g。)取得极小值，极小值g(l)=g(-l)=1,

则QW1,故选项A错误；

若a>0,此时((x)=3(a/-1),

当久<_J5时，/(X)>0,/(x)单调递增，

当—J=<x<。时，f(x)<0,/(x)单调递减；

当X>fl时，f(X)>o,f(x)单调递增，

所以函数f(x)存在2个极值点，故选项8正确；

若a=1,函数/(x)=x3—3x+1,

可得/'Q)=3%2—3=3(x+l)(x—1),

当x<一1时，f'(x)>0,/'(X)单调递增；

当一1<X<1时，/'(x)<0,f(x)单调递减；

当久>1时，/'(%)>0,f(x)单调递增,

所以当x=-l时，函数/(x)取得极大值也是最大值，最大值/(-1)=3,

当x=l时，函数取得极小值也是最小值，最小值"1)=-1,

当XT—8时，/(x)T—00;当x7+8时,/(%)T+-CO,

所以在区间(—8,-1)上存在一点修，使得/"(Xi)=0,

在区间(1,+8)上存在一点小，使得/(》2)=0,

又/(0)=0,

所以函数/(x)在R上存在三个零点，故选项C正确；

若/(乃>0在恒成立，

当x=0时，无论a取何值，/(x)>0恒成立；

当x>0,即0cxW1■时，需满足a2号一昼恒成立，

不妨设h(x)=W-&函数定义域为(0,1],

可得”(切=_,+卷=巴/，

当0cx时，h'(x)>0,/i(x)单调递增；

当;时，h'(x)<0,h(x)单调递减，

所以g(x)<5(1)=4，

则a>4；

当％<0,即-14无<0时，需满足a工摄—妥恒成立，

不妨设心)=1-妥，函数定义域为(0,1],

可得*(乃=++邕=等2

当一1<%<0时，％'(x)>0,h(x)单调递增，

所以/i(x)2/i(—1)=4,

则a=4,

综上，若/(x)20在恒成立，则a=4,故选项。正确.

故选:BCD.

由题意，对函数f(x)进行求导，将“X)在单调递减，转化成aW或在[-L1J上恒成立，构造

函数。。)=或，此时问题转化成函数最值问题，对g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调

性和最值，进而可判断选项4对函数f(x)进行求导，结合二次函数的性质以及导数的几何意义

即可判断选项8；将a=1代入函数/(%)解析式中，对函数/Q)进行求导，利用导数的几何意义以

及零点存在性定理即可判断选项C；对％=0,%>0和％<。这三种情况进行讨论，通过构造函数，

将问题转化成函数最值问题，进而即可判断选项D.

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力.

11.【答案】AD

【解析】解：因为抛物线C：'2=轨的焦点为F,点K为抛物线C的准线与x轴的交点，

所以F(l,0),K(—1,0),

又过点K的直线，与抛物线C交于不同的两点M、N,

不妨设直线Z的方程为x=my—1,

联立｛:二消去工并整理得于一4my+4=0,

此时4=16m2-16>0,

解得77?>1,

由韦达定理得yi+y2=4m,yxy2=4,

m2

所以+牝=Vi-1+niy2—2=4m—2,

不妨设MQiJi),/V(x2/y2),

对于选项A：⑥时+上W=悬+券=京三+就三

力(小及-2)+力(小力-2)_2肛/、2-2(%+、2)

2

(my1-2)(my2-2)-my1y2-2m(y1+y2)+4

8m-8m_八

=4m2-8源+4=U'故选项A正确;

对于选项以若点Q为MN中点,

即Q(2?n2_1,2m),

可得|FQ『=(2m2-27+(2m)2=4m4-4m2+4,

不妨令t=m2,t>1,

2

此时|FQ|2=4(t2-t+1)=4(t-1)+3>4x+3=4,

所以|FQ|>2,故选项8错误；

对于选项C：当/MKF=45。时，

可知m三=1,不符合题意，故选项C错误；

tan45

对于选项。：因为|尸M|+|FN|=%+1+&+1

=Xi+%2+2=462>%故选项。正确.

故选:AD.

由题意，设出直线/的方程，将直线1与抛物线联立，利用根的判别式得到瓶2>1,设

/V(x2,y2),根据韦达定理得到%+丫2,%乃和％1+小的表达式，结合抛物线的性质对选项进行逐

一分析，进而即可求解.

本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力.

12.【答案】BC

【解析】解：设4Q=x,AP=y,则DQ=l-x,PB=l-y,(0<x<1,0<y<1),

在RtzkAPQ中，PQ2=AQ2+AP2=x2+y2,又PQ=2-(x+y),

•••(2-x—y)2=x2+y2,HPxy=2(x+y)—2①，

对于A,tanzDCQ=l-x,tanzBCP=l-y,则tan(4DCQ+4BCP)=£渭匿)=7^=^②，

把①代入②可得tan(4DCQ+乙BCP)=1,：.乙DCQ+乙BCP=45°,^PCQ=45°,故A不正确；

对于8,S“Q=l-|xy-^(l-x)-1(l-y)=|(x+y-xy)=|-二］：：?

S&PCQ=1(-x+=j［(2-x)+白］-1|-2V"^-1='Tl.-1，

.••2-％=£时，即X=2-C时，SAPCQ取得最小值，最小值为。-1，故B正确；

对于C由，xy=2(x+y)-2可得2(x+y)-2=xy<(空¥，解得x+y>4+21之(舍)或x+

y<4-2\T2,：.PQ=2-(x+y)>2yJ~2-2.故C正确；

对于D,当PQ长度最小时，点C到PQ的距离d最小，最小值为(「-1)=1>/，故。错.

故选：BC.

设4Q=x,AP=y,利用直角三角形中的边角关系求得tan/DCQ=1-x,tanzBCP=1-y,由

PQ2=AQ2+AP2=x2+y2,可得xy=2(x+y)-2,

对于A,再由两角和的正切公式求得tan(NDCQ+4BCP)=1,可得Z_DCQ+/BCP=45。，从而求

得NPCQ=45°；

对于B,SAPQ=l-|xy-|(l-x)-1(l-y)=|(x+y-xy)=1-七：；+2=[(2-x)+

2]-1,利用均值不等式即可求解；

2-xJ

对于C,由，xy=2(x+y)-2可得2(x+y)—2=xyW(亨)2,解得x+y的范围即可：

对于D,当PQ长度最小时，点C到PQ的距离d最小即可判定.

本题考查了三角函数、基本不等式的运用，考查了分析、解决问题的能力，属于中档题.

13.【答案】f(x)=2，(答案不唯一)

【解析】解：由题知：可设f(无)=2x,因为Vxi，打6R有/Qi)=24，/。2)=2处,

/(%1)-f(x2)=2血•2必=2'1+制，f(X1+x2)=2'1+0，

所以满足对于v%l，X26R,有/'Ql+X2)=/(%1)•

因为对于X2&R,且X1KX2，都有f(X??(X2)>0,

X1x2

所以f(x)为R上增函数，所以/(x)=2了满足题意.

故答案为：f(x)=2«答案不唯一).

根据f(%+小)=/(Xi)•/(冷)和在R上为增函数，即可得到函数解析式.

本题考查函数的性质，确定函数解析式，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：延长CA至点F,使CF=CB=2,连接BF,

延长CD交BF于点E,过点E作AB的平行线交CF于

•••CD平分NACB,CF=CB,二E为BF的中点，得ZH=HF,

1?

VCB=2CA,AH=^CA,可得CD=^CE,

CD-AB=^CE(CB-^CF')=^CECB-jCE-CF.

■■CB=2,4BCD=30°,CE=G，

可得而•而=3•谓=2x<3x?=3，

CD-AB=|x3=1.

故答案为：1.

由题意画出图形，延长C4至点F,使CF=CB=2,连接BF,延长C。交BF于点E,可得CD=|cE,

再由向量的数乘与数量积运算求解.

本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档

题.

15.【答案】780

【解析】解：由题意知，地球一天绕太阳转小、rad,火星一天绕太阳转得rad,

365.25687

设相邻两次“冲日”间隔t天，由于春〉照，

365.25687

则（急一第”2兀，

所以t=渭2,黑=779.88«780.

OO/—DO3.Z5

故答案为：780.

根据题意设相邻两次“冲日”间隔t天，则经过t天，地球比火星多转2仃ad,即（盛，-焉）t=2兀，

解出t即可.

本题考查数列的实际应用，属于中档题.

16.【答案】?

【解析】解：作BE1力。于E,连接CE,因为4D1BC,AD1

BE,

则AD1平面8EC,又CEu平面BEC,ACEA.AD,

由题意，AB+BD=AC+CD=6,贝与C都在以为焦点

的椭球上，

且BE,CE都垂直于焦距4D,垂足为同一点E,

所以△力BZ）三△4CD,则BE=CE,

取BC的中点F,BC,EFLAD,

要四面体4BCD的体积最大，因为AD是定值，只需三角形EBC面积最大，

又因为BC是定值，所以只需EF最大即可，

故当△4BC是等腰直角三角形时，四面体4BCD的体积最大，

vAB+BD=AC+CD=6,AB=3,又AD=4,

EB=V32-22=V-5-EF=VEB2-BF2=<5-1=2,

所以几何体的体积U=NABCE-^4£>=|X|X2X2X4=5

3ADS323

故答案为：

作BE1AD于E,连接CE,说明B与C都在以AD为焦点的椭球上，且BE,CE都垂直于焦距AD,BE=

CE,取BC的中点F,推出当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可.

本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力以及计算能力，属中档题.

17.【答案】解：（1）证明：如图，连接4C交BD于点0,连接EG,GO,

由ABC。—EFGH为四棱台，可知ACGE四点共面，且EGu面EFGH,

ACu面力BCO,

EG//AC,

■：EFGH和ABCD均为菱形，B./.BAD=pEH=2,AD=4,

EG=^AC=A0=2V-3,

•••四边形40GE为平行四边形，

.-.AE//GO,

又GOu面BOG,AE<t^BDG,

AE〃平面BCG；

(2)连接GE交FH于K,

vGE1FH,FD1GE,FHCDH=D,FHu面DHu面BDHF,

GE1面BOHF,

•••四边形ABC。为菱形且NB4DEF=2,

•••GK=V-3.

^F-BDG=^G-BDF=］义万*4*3*\/-3=2>/~3.

【解析】⑴连接4c交BD于点0,先证明四边形20GE为平行四边形，得至以E〃G。，再根据线面

平行的判定得证；

(2)连接GE交于K,可证得GE上面BDHF,再利用等体积法求解即可.

本题考查线面平行的判定以及三棱锥的体积计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档

题.

18.【答案】解：(1)已知在△力BD中满足ADcos乙4DB=(CBD-4B)COSN4BD，

由正弦定理得sinZ71BDcosZ_ADB=(y/~2sinZ.BAD-sinZ.ADB)cosZ-ABD<

所以V~^sinNB4Ocosz71BO=s\nz.ABDcosz.ADB+cosz.ABDsinz.ADB.

整理得nsin/B4OcosN4BD=sin(^ABD+NADB)，

^y/~2smz.BADcosz.ABD=sinz_84D,

因为0<乙BAD<兀，

所以sin/BAD*0,

此时cos乙480=¥，

又0<乙ABD<n,

则4ABD=热

(2)不妨令4BC0=a,

在小BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosa=20-16cosa,

由(1)知44BD为等腰直角三角形，

所以AB1AD,

11O1

22

贝=-/IF=-BD=5—4cosafSLBCD=-BC-CDsina=4sina,

此时s逆磔BCD=SMBD+SXBCD=5-4cosa+Asina

=5+4V-^sin(a-7)<5+4<7,

4

当。=票时，sin(a-；)=l,

故四边形4BCD面积的最大值为5+4V-2.

【解析】(1)由题意，根据正弦定理以及三角形和角公式得到Csin/B/Wcos乙4BD=sin/B/W,

结合三角形内角和即可求出NABD的值；

⑵令乙BCD=a,利用余弦定理得到BD2的表达式，结合(1)中448。为等腰直角三角形，推出481

AD,根据三角形面积公式以及三角函数再进行求解即可.

本题考查解三角形以及正弦定理和余弦定理的应用，考查了逻辑推理和运算能力.

22

19.【答案】解：(1)由2S"=2nan-n+n可得当n>2有=2(n-l)an_1-(n-I)+(n-

1)，

二式相减并化简得2(zi—l)Qn—2(n—l)an_]—2(n—1),

由于几>2,所以n—1H0,

所以有an-0nt=1,

又%=1,所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以an=1+几一1=九；

(2)结合(1)可知(一扔“=(一扔，

所以〃=_；+；_/+^+…+(一3%

显然当n>3,7\=一^<〃<&=一；，

又7；一-随着”的增大而增大，

所以〃-2的最大值为72_白=_1+4=印

Tn—J•的最小值为A=+

/n/1N乙

1

由于SWT；一2型恒成立，

1n

所以£>学,s<

42

所以t—S的最小值为学—1=p

424

22

【解析】(1)由2Sn=2nan-n+n可得当n>2有2S”_i=2(n--(n-I)+(n-1),

二式相减并化简即可得到数列｛斯｝中前一项与后一项之间的数量关系；

(2)7；--随着7；的增大而增大，由此求出7；一白的最大值和最小值,两数之差即为t-s的最小值.

1n1n

本题主要考查递推法求数列通项公式，利用数列的增减性分析数列的范围是解决本题的关键，属

中档题.

20.【答案】解：(1)高二年级与高一年级在前两场打平，高二年级4局战胜高一年级的概率为2x2x

1111

XX=

2-2-2-8-

高二年级5局战胜高一年级的概率为2x|xix2x|xixi=i,

所以在高二年级与高一年级在前两场打平的情况下，高二年级战胜高一年级的概率为:+J=a

884

(2)高三年级获得0分的概率为(1-1)x(l-|)=|,

高三年级获得3分的概率为:x(l-|)+(l-1)x|=|,

高三年级获得6分的概率为:x1=1,

高三年级获得积分的分布列如下，

X036

P(X)111

623

【解析】(1)高二年级与高一年级在前两场打平，则高二年级需要4场或5场取胜，四场取胜高二年

级则需要在第3、4场比赛连胜，5场取胜，则高二年级在第3、4场比赛一败一胜，第5场胜；

(2)高三年级战胜高二年级概率为今战胜高一年级概率为|.

本题主要考查离散型随机变量及其分布列，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为桶圆C的中心在原点，焦点在x轴上,

不妨设椭圆C的方程为各l(a>b>0),

因为长轴长为短轴长的2倍,

所以a=2b,①

又椭圆C经过点P(2,2),

44-

此时滔+岸=1，②

联立①②，解得a?=20,b2=5,

则椭圆C的方程为枭［=1：

(2)证明：若4、B是椭圆上不同于点P的两个动点，

不妨设直线的方程为y=々％+租，4(%21)，8(%2，、2)，

y=kx+m

联立/