2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三（上）入学数学试卷

2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三（上）入

学数学试卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.(5分)已知集合A={x∣y=√Σ-},B={y∣y=√∑=7},则AnB=()

A.0B.RC.(-8,2]D.[0,2]

用的实部与虚部相等，

2.（5分）若复数Z=则实数。的值为（)

A.-3B.-1C.ID.3

3.（5分）已知x>l,则2%+*y的最小值为（）

A.4B.2√2C.2√2+2D.√2+2

4.（5分）已知,,耳分别为随机事件A,B的对立事件，P（A）>0,P（B）>0,则下列

说法正确的是（）

A.P（B∣Λ）+P（BM）=P（A）

B.若尸（A）+P（B）=1,则A,8对立

C.若A,8独立，则户（AlB）=P（A）

D.若A,8互斥，则P（A∣B）+P（BIA）=1

5.（5分）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站

要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与

梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（）

梦天

6.（5分）与图中曲线对应的函数可能是（)

A.y=∣sinx∣B.y=sin∣x∣C.y=-∣sinx∣D.y=-sin∣x∣

7.（5分）已知正方形ABC。的对角线长为2,E厂是它的内切圆一条弦，点尸为正方形ABCo

四条边上的一个动点，当弦EF的长度最大时，∕⅛∙∕⅛不可能为（）

112

A.0B.-C.-D.-

323

8.（5分）若直角坐标平面内A、8两点满足条件：

①点A、B都在/（x）的图象上；

②点A、8关于原点对称，则对称点对（A、8）是函数的一个“兄弟点对”（点对（A、B）

与（8、A）可看作一个“兄弟点对”）.

cosx（x≤0）

{Znx（%>0）,则/（X）的“兄弟点对”的个数为（）

A.1B.3C.4D.5

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

（多选）9.（5分）〃，人是两条不同的直线，α,S是空间两个不同的平面，如下有四个命

题，其中正确的命题是（）

A.a_La,b//β,a//β=>a±⅛B.ɑɪfe,a_La,a//β=>b∕/β

C.alb,a//afα∕7β=>⅛±βD.〃_La,a//h,a∕7β=>fo±β

（多选）10.（5分）为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体

能抽测，得到学生的体育成绩X~N（70,100）,其中60分及以上为及格，90分及以上

为优秀.则下列说明正确的是（）

参考数据：随机变量S~N（μ,a2）,则P（μ-。V;Vμ+o）=0.6826,P（μ-2σ<ξ

<μ+2σ）=0.9544,P（μ-3o<ξ<μ+3σ）=0.9974.

A.该校学生体育成绩的方差为10

B.该校学生体育成绩的期望为70

C.该校学生体育成绩的及格率不到85%

D.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当

（多选）11.（5分）定义在R上的函数F（X）满足：X为整数时，/（%）=2021；X不为整

数时，f(x)=0,则()

A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数

C.∀x∈R,/(ʃ(x))=2021D.f(x)的最小正周期为1

(多选)12.(5分)已知函数/(x)=sin(3x+φ)(其中，ω>0.∣φ∣V*),/(―^)=0,

/(ɪ)W∣∕(居)1恒成立，且/(x)区间(-金，给上单调，则下列说法正确的是()

A.存在φ,使得/(x)是偶函数

B./(0)=借)

C.3是奇数

D.ω的最大值为3

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

39

3=-=-

13.(5分)若等比数列｛〃”｝的前n项和为Sn,22贝!J公比q

14.(5分)陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由

一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别

为∕7∣,h2,厂，且加=例=厂，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为Sl和S2,则

Si_

—•

15.(5分)设aCZ,且OWaCI3,若51202∣+°能被的整除，则α=.

16.(5分)已知曲线)，=/。与y=(X-I)?恰好存在两条公切线，则实数。的取值范围

为.

四、解答题(本题共6小题，共70分.)

n

17.(10分)设数列｛〃”｝满足m=3,an+ι-an=2*3(n∈N*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)令bn=n∙atι,求数列｛加｝的前“项和S".

18.(12分)在4A8C中，AC=1,BC=√7.

(1)若A=150°，求CoSB；

(2)D为AB边上一点,且8O=2AO=2CO,求448C的面积.

19.(12分)如图，平面ABC,NABC=90°,EC//FA,FA=3,EC=I,AB=2,AC

=4,BC_LAC交AC于点D

(I)证明：FDLBE；

(II)求直线BC与平面BE尸所成角的正弦值.

20.（12分）自2020年1月以来，习惯肺炎病毒肆虐全球，为严防新型冠状病毒疫情扩散,

有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康,

多地相继做出了封城决定.某地在1月23日至29日累计确诊人数如下表：

日期（1月）23日24日25日26日27日28日29日

人数（人）611213466101196

由上述表格得到如散点图（1月23日为封城第一天）.

（1）根据散点图判断），=α+⅛x与y=c∙d'（c,d均为大于0的常数）哪一个适宜作为累

计确诊人数），与封城后的天数X的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；并根

据上表中的数据求出回归方程；

（2）随着更多的医护人员投入疫情的研究，2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸

检测呈阴性（阳性则确诊），但观其CT肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的关注，

2月20日武汉疾控中心接收了IOOO份血液样本,假设每份样本的检验结果是阳性还是阴

性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为0.7,核酸试剂能把阳性样本检测出

阳性结果的概率是0.99（核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测

呈阳性），求这IOOO份样本中检测呈阳性的份数的期望.

参考数据：

yw∑LιXiyi∑7=ι%"iIO054

62.141.54253550.123.47

其中Wi=Igyt，w=3∑7=ιWi，参考公式：对于一组数据(〃i,vvι),(w2,vv2),…，(UM

Wn),其回归直线W=α+S正的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为S=

∑之1UW-TlUW

iia=w—βu.

Σ仁1uf-nu2

21.(12分)已知抛物线Cx2=2py(p>0)的焦点为凡抛物线上一点4(τn,}(mVO)到

3

F点的距离为不

2

(1)求抛物线的方程及点A坐标;

(2)设斜率为G的直线/过点B(2,0)且与抛物线交于不同的两点M、N,若B^=痴/

且44),求斜率k的取值范围.

22.(12分)已知f(x)=sinx+6υ?-x.

(1)当a=W时，求证：函数F(X)在R上单调递增;

(2)若/(x)只有一个零点，求α的取值范围.

2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三（上）入

学数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.（5分）己知集合A={x∣y=√∑H7},B={y∖y=√Γς7},则An8=（）

A.0B.RC.（-8,2]D.[0,2]

【解答】解：由题意知，

根据函数的定义域求出集合A={XxW2},

根据函数的值域求出集合B={y∣）,20},

根据交集的定义求出ACB={x∣0≤x≤2},

故选：D.

2.（5分）若复数Z=得的实部与虚部相等，则实数“的值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

【解答】解：数Z=3=融鬻=篝1+悬fi的实部与虚部相等,

2α+la—2

解得a=-3.

a2+la2+l

故选：A.

3.（5分）已知x>l,贝∣j2x+占的最小值为（）

A.4B.2√2C.2√2+2D.√2+2

【解答】解：因为x>l,所以χ-l>0,

则2x+X_]=2（X^1）+X_]+2≥2\/2+2,

当且仅当2（x7）=J,即x=l+挈时取等号，此时取得最小值2+2√Σ

X-1TL

故选：C.

4.（5分）已知后分别为随机事件A,8的对立事件，P（A）>0,P（B）>0,则下列

说法正确的是（）

A.P（BM）+P由⑷=Pal）

B.若P(A)+P(B)=1,则A,B对立

C.若A,B独立，则尸(A∣B)=P(A)

D.若A,8互斥，则P(AIB)+P(BIA)=1

【解答】解：对于A,P(B∣A)+P(B∣Λ)=岂写票"=舐=1，故A错误；

对于8,若A,B对立,则P(A)+P(B)=1,

反之不成立，例如α,b,c,d四个球，选中每个球的概率一样.

P(A)为选中a、b两个球的概率：0.5,P(B)为选中b,C两个球的概率：0.5.

P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件，因为当选中〃时，A,8均成立，故B错

误；

对于C,根据独立事件定义知：若A,B独立，则P(AIB)=P(A),故C正确；

对于。，若A,B互斥，则P(AIB)+P(B∣Λ)=0,故。错误.

故选：C.

5.(5分)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站

要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与

梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为()

梦天

【解答】解：安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验,

共有Cj∙A乡=12种不同的方案，

甲乙两人安排在同一个舱内共有4刍=2种不同的方案，

故甲乙两人安排在同一个舱内的概率为-ζ∙=

126

故选：A.

6.(5分)与图中曲线对应的函数可能是()

A.y=∣sinx∣B.y=sin∣x∣C.y=-∣sinx∣D.y=-sin∣x∣

【解答】解：由图象可知当X=5时，函数值y=-IVO,故排除选项AB,

当X=竽时，函数值y=l>0,故排除选项C.

故选：D.

7.(5分)已知正方形ABCD的对角线长为2,E尸是它的内切圆一条弦，点尸为正方形ABCD

四条边上的一个动点，当弦E尸的长度最大时，∕⅞∙而不可能为()

112

A.0B.—C.-D.—

323

【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(-皆-当,BC-,一挈)，C

(四邑、口<睚四、

(,),D(ʒ-,)，

2222

设£(争:osθ,/sinθ),由弦E尸的长度最大时，弦EF为直径，则F(—ɪeosθ,—ɪsinθ),

再设PCx,y),则PE=(ɪeosθ-X,ɪsinθ-ʃ),PF=(—ɪeosθ-x,—ɪsinθ->,),

贝IJPE∙PF=x2-^cos2θ+y2-^sin2θ=x2+y2—

当点P在线段AB上移动时，尸一孝，一乎≤x≤孕，则P⅛∙P⅛0,ɪj;

当点P在线段BC上移动时，X=孝，一乎≤y≤孝，则P⅛∙品40,1j；

当点P在线段CO上移动时，y=专,一孝≤x≤乎，则∕⅛∙P⅛0,ɪj;

当点P在线段AD上移动时，Λ=-孕，一乎≤y≤乎，则∕⅛∙∕⅛0,||.

TTlTT2

综上可知：PE-PFE[O,结合选项可知，PE∙PF不可能为3

故选：D.

8.（5分）若直角坐标平面内A、8两点满足条件：

①点A、B都在/（x）的图象上；

②点A、B关于原点对称，则对称点对（A、B）是函数的一个“兄弟点对”（点对（A、B）

与（B、A）可看作一个“兄弟点对"）.

cosx（x≤0）

,，则f（χ）的“兄弟点对”的个数为（）

（mfx（x>0）

A.1B.3C.4D.5

【解答】解：设PG,y）GVO）,则点P关于原点的对称点为（7,-y）,于是，cosx

=-//?（-x）,只需判断方程根的个数，即y=cosx与y=-伍（-x）图象的交点个数，

函数图象如下：所以/（犬）的“兄弟点对”的个数为1个.

由图知，所以/0）的“兄弟点对”的个数为1个.

故选：A.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

（多选）9.（5分）6Z,8是两条不同的直线，α,β是空间两个不同的平面，如下有四个命

题，其中正确的命题是（）

A.a.La,h∕∕β,a〃p=〃_LbB.a.Lb,a_La,a//β=>⅛∕7β

C.aA.b1a∕∕a,a//β=>6±βD.o_La,a//b,α∕7β=>⅛±β

【解答】解：对于A：由a_La、a∕∕β,可得a_LB，又方〃0，所以aJ_儿故A正确；

对于8：由a_La、a"β,可得a_L0,又a_LZ?,则匕〃β或。u0,故8错误；

对于C：由a〃a,a∕∕β,则a〃G或au0,又aLb,则匕〃β或Zx=B或b与B相交(不

垂直)或故C错误；

对于。：由〃J_a、a∕7β,可得a_L0,又OJlb、所以6J_p,故£)正确；

故选：AD.

(多选)10.(5分)为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体

能抽测，得到学生的体育成绩X~N(70,100),其中60分及以上为及格，90分及以上

为优秀.则下列说明正确的是()

参考数据：随机变量S~N(μ,。2),则尸⑺-。<J<μ+o)=0.6826,P(μ-2σ<ξ

<μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.

A.该校学生体育成绩的方差为10

B.该校学生体育成绩的期望为70

C.该校学生体育成绩的及格率不到85%

D.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当

【解答】解：由题意可知：XSN(70,100),

则期望μ=70,标准差。=10,方差为100,故4错误，B正确，

选项C：P(X>70)=0.5,P(60≤X≤80)=P(μ-。<μ+o)=0.6826,

所以P(60≤X≤70)=瞪至=0.3413,

所以P(X≥60)=P(60≤X≤70)+P(X>70)=0.3413+0.5=0.8413<85%,故C正

确，

∩QCAzL

选项力:优秀的概率为：P(X290)=P(X>70)-P(70≤X≤90)=0.5-ɔ=0.0228,

不及格的概率为：P(X<60)=P(X≤70)-P(60≤X≤70)=0.5-竺产=0.1587,

两者不同，故。错误,

故选：BC.

(多选)11.(5分)定义在R上的函数/(x)满足：X为整数时，/(x)=2021；X不为整

数时，f(x)=0,则()

A./(x)是奇函数B./(%)是偶函数

C.∀Λ-ER,f(/(x))=2021D.f(ɪ)的最小正周期为1

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,对于/(x),有/(1)=2021,/(-1)=2021,

/(-x)=-/(x)不恒成立，则/(x)不是奇函数，A错误，

对于B,对于/(尤)，若X为整数，则-X也是整数，则有/(x)=/(-x)=2021,

若X不为整数，则-X也不为整数，则有/(x)=/(-x)=0,

综合可得f(x)=/(-x),/(x)是偶函数，B正确,

对于C,若X为整数，/(Λ)=2021,X不为整数时，/(x)=0,

总之/(x)是整数，则/(/(x))=2021,C正确，

对于Q,若X为整数，贝∣Jx+l也是整数，

若X不为整数，则x+1也不为整数，总之有/(x+l)=f(x),fCx)的周期为1，

若f(0<t<l)也是/(x)的周期，

而X和x+"可能一个为整数，另一个不是整数，则有/(x)≠f(x+m),

故/(x)的最小正周期为1,。正确，

故选：BCD.

(多选)12.(5分)己知函数/(x)=sin(3x+φ)(其中，ω>0,∣φ∣<*),/(-5)=0,

/(x)W∣∕的I恒成立，且『(X)区间(-各船上单调，则下列说法正确的是()

A.存在φ,使得F(X)是偶函数

B./(0)=懵)

C.3是奇数

D.3的最大值为3

【解答】解：∕∞区间(一打今)上单调，

故Wτ-5=g≤f,解得TN亲

2412824

所以OVQ)W8；

由于f(_,)=0,可得S讥(一等+9)=0,

解得φ=S<υ+kι7Γ(Λι∈Z);

十3几

由于/(―)=±1,

-

可得+φ)=±1,可得(P=(JL)+一旦+刍(fczWZ)；

Tr

/(一百)=°,3兀ππ1k

所以3π，整理得主-C-1)=~=(.-+-)T,

崎=±188242

若3=1时，φ=与；若3=3,5时，φ无解，当ω=7时，φ=一看，且f（%）区间（-金,

今）上不单调,

所以T=雄I，3=2A+I（&6Z）,

①故选项A错误.

ɔ3TC

②由于X=等为函数的对称轴，所以∕∙（0）=/（一）故选项B正确.

o4

③由于ω=1+2匕故选项C正确.

④当了（X）区间（一白，给上单调递增时，0＜要居整理得3W3；

•1.乙乙rβɪ*ɔ

所以OV3W3.即最大值为3,故。正确.

故选：BCD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

QQ1

13.（5分）若等比数列伍"｝的前〃项和为S”“3=*,S3=1，则公比〃=1或一,.

【解答】解：；a3=|，S3=I

9

.∙.αι+α2+α3=）贝Ilαι+α2=3

33

ʌʒ+—=3化简得2q2-q-1=0

2q∕2q

解得g=l或一々

故答案为：1或—：

14.（5分）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由

一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别

为hi,h2,r,且∕n=∕72=r,设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为SI和S2,则∣1=

√2

Z

【解答】解：由题意，圆锥的母线长为I=√Λ[ΓT2=√2r,则圆锥的侧面积为SI=πrl=

y∣2πr2,

2

根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为S2=2πrh2=2πr,

Sl√2

所以T-=T-

Sz2

故答案为：

2

15.(5分)设“eZ,且OWaVl3,若5p2∣+4能被覆整除，则a=1.

20212021202

【解答】解：5/021=(52-I)=C°02152-⅛2152°+…+C赧52-1,

因为52能被为整除,

所以只需-1+。能被13整除即可，

又OWaVI3,

所以a—l.

故答案为：L

16.(5分)已知曲线y=∕+"与y=(X-I)2恰好存在两条公切线，则实数〃的取值范围为

(-8,2-2-3).

【解答】解：)=(x-I)2的导数<=2(X-1),y="+"的导数为y'=ev+",

设与曲线y=∕+α相切的切点为(机，〃)，γ=(x-l)2相切的切点为(s,力，

则有公共切线斜率为2(S-I)="+“=皆，

m+a

又f=(S-I)2,n=e,

即有2G-D=(sT)2-em+α=(ST)?-2(S-I)

s-ms-m

艮IJ为S-m=—1,

即有(s>l),

则有评+。=2(5-1),即为Q=勿2(S-I)—字(5>1),

令/(S)=Inl(S-I)-ɪ(s>l),

当s>3时，/(S)<0,/(S)递减，

当l<s<3时，f(S)>0,/(S)递增.

即有s=3处/(S)取得极大值，也为最大值，且为2历2-3,

由恰好存在两条公切线，即S有两解，

可得a的范围是a<2ln2-3.

故答案为：(-8,2∕n2-3).

四、解答题(本题共6小题，共70分.)

n

17.(IO分)设数列｛“”｝满足“1=3,an+ι-a∏=2∙3(n∈N*).

(1)求数列｛0,,｝的通项公式：

(2)令bn-n∙an>求数列｛仇｝的前n项和Sn.

nni

【解答】解：(1)'：an+i-an=2∙3,：.an-an-i=2*3'(n∈N*),又αι=3,

'.an-a∖+(«2-ax')+(«3^a2)+∙+(α∏--1)=3+2(3+32+∙+3n1)

当”=1时，G=3满足上式.

n

.∙.数列S"｝的通项公式为:an=3i

(2)bn=n∙3",

ΛSn=l∙3+2∙32+3∙33+∙+(n-1)∙3π^l+n∙3πφ

23

Λ35n=l∙3+2∙3+∙+(M-l)∙3"+n∙3"+ι②

23nπ+l

①-②得：-2S,l=3+3+3+∙+3-n∙3

n+1

==(i-π)∙3-∣,

1-322

.0_3+(2n-l)∙3n+1

••3〃—4•

18.(12分)在aABC中，AC=1,BC=√7.

(1)若4=150°,求COS&

(2)。为AB边上一点，且8D=2AD=2CD,求BC的面积.

ACBC

【解答】解法一：(1)在aABC中，由正弦定理及题设得一=——

SinBSinA

政----=--------，

SinBSinlSOo

解得SinB=泰，

又0°<β<30o,

GFz_3√3_3√21

所以CoSBd——]4•

(2)设AO=CD=X,则8O=2x.

在AABC中，由余弦定理得，BC1AB2+AC2-2AB∙ACcosA,

即7=9X2+1-6JCCOSA.①

在等腰AACO中，有COSA=⅜∩-=⅛>②

∕1L/ΔX

联立①②，解得X=I或X=-I(舍去)，

所以aACD为等边三角形，

所以A=60°,

11ɔFS

所以SAABC=^×AB×ACsinA=∣×3×1×sin60o=ʃ.

解法二：(1)同解法一.

(2)设AD=X,则CD=X,BD=Ix,

因为NAOC=n-ZBDC,

所以cosZADC--cosZBDC,

由余弦定理得，

222

ya4x+x-72X-1

待~4^—=_2X2'

所以f=1,解得X=I或X=-I(舍去)，

所以aACC为等边三角形，所以A=60°,

所以S-BC=^×AB×ACsinA=∣×3×1×sin60°=莘•

19.(12分)如图，以，平面ABC,NA8C=90°,EC//FA,∕¾=3,EC=I,A3=2,AC

=4,BO_LAe交AC于点D

(I)证明：FD±BEi

(II)求直线BC与平面8EF所成角的正弦值.

F

B

【解答】解：(1)证明1：在aABC中，NA8C=90°,AB=2,AC=4,BC=2√3.

因为BOJ_AC交AC于点。，所以AO=1,CO=3.

因为以，平面ABC,EC//FA,EC=I,AC=4,

所以△必DS4DCE,所以FC"LOE.

又因为5D_LAC,平面A8C,所以BO_L平面FZ)E,BDLFD,

所以&ɔ，平面8£)E,所以FDI.BE.

证明2：如图，以。为原点，分别以。B,DC为X,y轴，建立空间直角坐标系，

在aABC中，NABC=90°,AB=2,AC=4,BC=2√3.因为BO_LAC,所以

F(0,-1,3),E(0,3,1),B(√3,0,0),

DF=(0,-1,3),BE=(-√3,3,1),

所以Z⅛∙ɪ⅛=0,所以。匚LBE.

(II)解：由(I)可知，BC=(-√3,3,0),BE=(-√3,3,1),

BF=(-√3,-1,3).

设平面BEF的法向量为I=(x,y,z),

所以除?=0,

—√3x+3y+z=0,

令X=V3,)=I,z=所以n=(V3,3

(BF∙n=0,—V3x—y+3z=0.5

I)-

TTI-----T→

设直线BC与平面BEF所成角为θ,则Sino=型玛=缥Sino=里”:

IBCHnlZU∣BC∣∙∣n∣

∣-3+5∣_5^√10

20

2√3×J（3+J+g）—2√3×J⅛-.

20.（12分）自2020年1月以来，习惯肺炎病毒肆虐全球，为严防新型冠状病毒疫情扩散,

有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康,

多地相继做出了封城决定.某地在1月23日至29日累计确诊人数如下表：

日期（1月）23日24日25日26日27日28日29日

人数（A）611213466IOl196

由上述表格得到如散点图（1月23日为封城第一天）.

（1）根据散点图判断），="+bx与y=c∙∕（c,d均为大于O的常数）哪一个适宜作为累

计确诊人数y与封城后的天数X的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；并根

据上表中的数据求出回归方程；

（2）随着更多的医护人员投入疫情的研究，2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸

检测呈阴性（阳性则确诊），但观其CT肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的关注，

2月20日武汉疾控中心接收了IOOO份血液样本,假设每份样本的检验结果是阳性还是阴

性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为0.7,核酸试剂能把阳性样本检测出

阳性结果的概率是0.99（核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测

呈阳性），求这IOOO份样本中检测呈阳性的份数的期望.

参考数据：

054

yw∑Z=ι々%∑7=ιXtwiio-

62.141.54253550.123.47

1

其中Wi=Igyi›w=∑[-1wi,参考公式：对于一组数据(wι>wι),(1/2,vv2),->(un,

Wn),其回归直线w=α+/?正的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为0=

∑∙Luw-miw

1iia=w—βu.

∑kιuf-nu2

由y=c*tΛ两边同时取对数可得，Igy=IgC+lgd∙x,

设lgy=w,

贝IJW=∕gc+x∕g”,

计算元=4,w=1.54,27=ιxf-140,

,,∑⅛xw-7x-w50.12-7×4×1.547CCU

Igd=-H1----i----i-----y-=----------------2-=TR=θ∙25，

∑7zl-Ix140-7×√28

IgC=w-Igd-X≈1.54-0.25X4=0.54,

故W=O.54+0.25x,

故y关于X的回归方程为y=3.47×1OO∙25Λ

(2)设这IOOo份样本中检测出呈阳性的份数为X,

则每份检测出阳性的概率P=0.7X0.99=0.693,

由题意可知，X~B(1000,0.693),

故E(X)=1000X0.693=693(人)，

故这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望为693.

21.(12分)已知抛物线C：∕=2py(p>0)的焦点为凡抛物线上一点4(zn,}(mV0)到

3

F点的距离为3

(1)求抛物线的方程及点4坐标;

(2)设斜率为k的直线/过点B(2,0)且与抛物线交于不同的两点M、N,若BM=ABN

且26(上,4),求斜率％的取值范围.

【解答】解：⑴由抛物线定义可知：μF∣=∣+∣=f,得尸2,.•.抛物线方程为了

将点4(m,3(JnVO)坐标代入抛物线方程得：m=-√Σ.∙.点A坐标为(一√Σ,ɪ),

(2)直线/的方程为y=女(x-2),设M、N两点的坐标分别为(Xι,yι)f(x2,").

联立?2=Α¥一2)消去〉，整理得：/-4fcv+8k=0,