2023年北京普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟数学试卷B（解析版）

2023年普通高等学校招生全国统一考试•仿真模拟卷B（北京卷）

数学

第一部分（选择题共40分）

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知集合人=何心>1},集合8={乂/>1},那么下列关系正确的是（）

A.A=BB.AcBC.B=AD.AuB=R

（答案》B

K解析力由得：x<-l或x>l,即3={司》<一1或x>l},.•.Aq8.

故选：B.

2.若复数z满足（l-i）-z=i,则复数Z的共辄复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

K答案UC

ii（l+i）11

K解析W因为（i-i）-z=i,所以Z=L='/=+i.

1-1+22

所以彳=-!-二，对应的点为（-4,一4],位于第三象限.

22122J

故选:C.

3.下列函数中，既是奇函数又在区间（0,1）上单调递增的是（）

2

A.y=lgxB.y=-C.y=2|r|D.y=tanx

X

R答案HD

R解析2对于A,丫=电》的定义域为（0,+8）,定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶

函数，故A错误，

对于B,/（»=:的定义域为（-8,0）U（0,E）,定义域关于原点对称，又

f（-x）=-x-=-f（x）,所以〃x）为奇函数，但在（0,1）单调递减，故B错误，

对于c,“X）=2"的定义域为R,关于原点对称，又/0=犷=2叼（尤）,故为偶

函数，故C错误,

对于D,/（x）=tanx,由正切函数的性质可知〃x）=tanx为奇函数，且在（0,1）单调递增，

故D正确，故选：D.

4.如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分

体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以

近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2,且点

P（卡,3）在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（）

R答案WC

R解析D设双曲线的方程为：■-，=1（。＞0力＞0）,

因为离心率e=2,故半焦距c=2a,故匕=6°,

而双曲线过P（跖3）,故=解得a=®b=3,

故双曲线的方程为：工-$=1,

39

故选：C.

5.已知｛a,,｝为等比数列，S“为其前”项和，若邑=3q,a；=a3,则S”=（）

A.7B.8C.15D.31

K答案XC

K解析》设等比数列｛q｝的公比为夕，则邑=4+出=3《，则/=2q,所以，夕=&=2,

a\

因为W=“3，即（2q）2=4q,.〃尸0,解得q=l,

因此，s4=也二宣1=上2=15.

\-q1-2

故选：C.

6.若AB-AC=A/=4，且网=1,则CPAB的最大值为（）

A.-2B.-4C.2D.4

K答案》A

K解析x：gAC=AB?=4，；•网=4,网=2,

设向量AP与AB夹角为。，则6e[0,兀I，cos6>e[-l,l]

，CPAB

=（AP-AC）AB

=APAB-ACAB

=\AP^AB^cos0-AB-AC

=2cos9—4,

・・・COS6£[-1,1],.,•当cos6=l时，CP48的最大值为2-4=-2.

故选：A.

7.函数/。）=土3的大致图象是（）

K答案UD

R解析》因为函数/(》)=£见的定义域为(Y,0)1(0,+«)),且

2x

—4Y2+1

f(r)=£-=/(x)

故〃x)=q；?是偶函数，排除选项B,C；

当x=2时，f(2)=噂<0,对应点在第四象限，故排除A,

故选：D.

8.已知抛物线C:y?=4x的焦点为尸，点尸为C上一动点，线段PF的垂直平分线与

x=-l交于点。，则()

A.|QF|>|PF|B.|Q产区归目

C.ZPQF>^D.△PQF可以为钝角三角形

K答案UA

K解析U因为抛物线C：V=4x,所以打1,0),准线为户一1,

过尸点向准线作垂线交准线于点

所以由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,

因为线段分'的垂直平分线与x=-l交于点。，所以|。尸|=|。”，

又因为|QP|N|PM|,所以|。尸以「耳，当且仅当8,y轴时等号成立，所以A正确，B错

误；

在△PQF中由|QF|2|PF|可得NQPF=巴二日CN/PQF,解得NPQFK1,C错误；

TT

因为NQPF+/QFP〈兀，所以NQPF=NQFP<],△尸。尸不可以是钝角三角形，D错

误；

故选：A

9.已知函数〃x)=岛，则是“函数”X)在口,内)上存在最小值”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

K答案》B

K解析W/W=-

x+a

①当”=0时，y(x)=0恒成立，所以〃X)在［1,包)上存在最小值为0；

②当4>0时，/(%)=—,可以看做是函数y=q(a>0)图像向左平移。个单位得到，所

x+ax

以/〈X)在口,包)只有最大值，没有最小值；

③当。<0时，/(%)=—,可以看做是函数y=@(“<0)图像向右平移-a个单位得到，所

x+ax

以/(x)若要在［1,W)单调递增，需要-avl,即a>-1.

综上所述：当-IvaMO时，=在［l,+oo)上存在最小值，

所以“a>-1”是“T<a<0"的必要不充分条件，

即是“函数f(x)在口，+oo)上存在最小值”的必要不充分条件.故选：B.

10.己知点尸是直线/：3x+4y—7=0上的动点，过点P引圆C：(x+1)?+y?=/(r>0)的

Jr

两条切线PM,PN,M,N为切点，当/MPN的最大值为不时，则r的值为()

A.4B.3C.2D.1

K答案》D

K解析H结合题意，绘制图像，可知

当NMPN取到最大值的时候，则/MPC也取到最大值，ffijsinZMPC=-M^C=—r,当PC

取到最小值的时候，NMPC取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故

“==2,故S=5=sin30°=:，解得/■=1,故选D.

>/32+42PC22

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.若(3x—1)4=%+4工+4,炉+4彳3,则4+%+“3+a4=.

K答案U15

R解析U因为(3x-l)4nao+qx+GV+gV+qx'，

令x=l,则。<>+4+%+“3+%=2"=16,

令x=0,则/=(-1)4=1,于是4+。2+%+。4=15.

故K答案』为：15

12.已知偶函数“X)满足：①〃x)Wl；(2)/(x)>0,则该函数可以是〃x)=

.(写出符合条件的一个函数即可)

K答案》-^―"答案』不唯一)

K解析》当〃X)="，由*—x)=/(x)可知函数为偶函数，且*2+121,故当x=0

时，/(力取到最大值1,当Xf田时，〃x)f(),故/(x)e(O,l],故〃”=*■.

故K答案U为：士

13.在平面直角坐标系xOy中，角。的顶点为坐标原点，始边与大轴的非负半轴重合，终

边交单位圆O于点P(“g)，且a+6=g,则46=,cos[2a+5[=.

1224

K答案?不一百

K解析11角”的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆。于第一象

限的点P®6),

所以/+〃2=],又a+b=g7,

34

a=—d——

联立解得:或<〉5所以必=后12;

4,325

b=一

5

则sincr=],cosa=1或sina=],cosa=.

(九、24

所以cos12a+—\=-sin2a=-2sincrcoscr=--.

故K答案》为：君12；24

14.已知函数/(x)=>/5sinx+acosx("为常数)的一条对称轴为丫=方，若不当仁忆且

满足/(4)+/(々)=0,/(x)在区间(％,%)上是单调函数，则W+9|的最小值为

K答案U1

K解析U因为是〃x)的对称轴，

所以/f—1=>/3x^-+—a=—+-iz=±yj3+a*2,

\.3j2

化简可得：672-2^74-1=0，即4=1,

所以/(x)=Gsinx+cosx=2sin(x+?),

有x+e=E,(AEZ),可得工=①一£,(&wZ),

因为七,％ER,且满足/(%)+/(W)=0,/(x)在区间(％,W)上是单调函数,

又因为对称中心x=±H,

2

所以归+引=2far-g,

O

当k=0时，1%+wl取得最小值土故K答案2为：y.

15.如图，正方体488-42'。'。'的棱长为1,E,F分别是棱A4',CC'的中点，过直

线EF的平面分别与棱88',DD交于点、M,N,设B”=x,给出下列四个结论：

①四边形MEN/一定为菱形；

②若四边形AffiNF的面积为S=f(x),xe(O,l),贝IJ/(x)有最大值；

③若四棱锥A-用ENF的体积为V=g(x),xe(0.5,1),则g(x)为单调函数；

④设BC'与CB'交于点G,连接班7,在线段班7上取点P,在线段A'。上取点0，则

GP+PQ的最小值为迫.

6

其中所有正确结论的序号是.

K答案》①④

工解析》①平面ADDA〃平面BCC'B"，平面MENFC平面ADE/A,=EN,平面

MENFc平面BCC'B'=MF,

EN//MF.同理可证尸.

二四边形MENF为平行四边形.

连接MN、AC、BD、。9：

•.,四边形ABCD是正方形，.•.ACLBD,

BB'_L平面ABCD,/.BB'±AC,

,/BB'BD=B,，AC_L平面,

：MN<=平面BDDB,，AC1MN.

VEA与FC平行且相等，

AACFE是平行四边形，

，AC〃EF,

，EF垂直MN,

；.MEFN是菱形.故①正确.

②四边形MENF面积S=/(x)=g.EFMN,EF为定值，当M为B或9时，即x=0或x=l

时，最长，此时面积最大，但OVx<l,即M不能取线段B9的端点，.•.四边形

MENF面积无最大值.故②错误.

③连结所、AN、则四棱锥被分割成两个小的三棱锥，它们是都以4EF为底，以

例、N分别为顶点的两个三棱锥.

△AEF的面积是一个定值.

同②中证明ACJ_平面BDDB1,也可证明8Q_L平面ACCA',

则B到平面AEF的距离即为，曲.

2

'：BB'//AA',.""〃平面AEF,

M到平面AEF的距离即为B到平面AEF的距离-BD,

2

同理N到平面AEF的距离也为-BD,

2

M、N到平面AEF的距离之和是定值BD,

；•四棱锥A-MENF的体积为常数.故③错误.

④如图，将RJ8A'。沿着8。翻转到与矩形ABC'。'在同一平面，过G作GQJ_A'。于Q,

交BD于P,则此时GP+PQ=GQ最短.

H

过CH作CH±A'D'于H,

则四边形BA'HC是直角梯形，

由题可知G是BC'中点，，GQ是梯形的中位线，.•.GQ=；(AB+C'〃).

设==设/皿U=a.

6CD'1

在Rt3C77中，sin"——-=—j=,cos^=——=-^,

BD'GBDV3

y/21272

/.sin(7=sin(7t-20)=sin20=2sin夕cos3=2x

・•・在RtCDfH中，CH=CD'-sina=—.

3

GQ=1(A'8+C'")=4X(0+建]=平.故④正确.

故R答案H为：①④.

三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（13分）在；ABC中，ZB^-,cos2B=>/3cosB-1.

2

（1）求NB；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得_MC存在且唯一

确定时，求ABC的面积.

条件①：sinA=V3sinC,b-2；

条件②：AC=G,BC边上的高为2；

条件③：2b-3a,bsinA-l.

解：Q)cos2B=2cos2fi-l=>/3cosB-1,即2cos?B=Wcos8,

又NBw],即COSBHO,故可得cos8=乎，又8«0,万)，

故8=]

O

(2)选择①：sinA=>/3sinC,b=2,

即a=Gc,由余弦定理可得cosB=且=M>-4,

2lac

解得C=2,“=2G，此时MC存在，且唯一确定,

其面积S=；sinBxac=G；

选择②：AC=",5c边上的高为2,

2

即/；=#,c=——=4,因为2<b<c,

smB

故三角形有两解，不唯一；

选择③：2Z?=3tz,Z?sinA=1,

故可得2sinB=l=3sinA,则sinA='='，

3b

故b=3,。=2,

由余弦定理cos8=且=《二0,

24c

解得c=G+2&或C=>/5-2点（舍），

此时三角形存在且唯一确定，

其面积S=&sinB=&+也.

22

17.（14分）如图，四棱锥P-ABC3中，PA=PD,PA±PD.底面A8CO中，

AD//BC,AD=2PC=2BC=4CD,AADC=60，E是线段AP上一点，设AE=2EP.

（1）若4=1,求证：BE〃平面PCD；

（2）是否存在点E,使直线BE与平面PAO所成角为30,若存在，求出4;若不存在,

请说明理由.

解：（1）取PD中点尸，连接尸C,如图所示，

,ZBC//AD,BC=-AD,

2

EF//BC且EF=BC,

：.得四边形EFCB为平行四边形，

，BEHCF,BEu平面PCD,CFu平面PCD,

故BE〃平面PCD.

(2)取AO中点。，以。为原点，，平面A8C。内过。点垂直于OO的直线为x轴，过。点

垂直平面438的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：。-孙z,

设8c=1,P(x,y,z),VZADC=60°

(AiA

，A(0,-2,0),B—,0,C乎,|,o],0(020),AD=(O,4,O).

|PO|2=x2+y2+z2=4,

=4,

解得：x=Ay=o,z=l,...尸(右,0,1),••.AP=(G,2,I),

设4£：=/4/>=(4,2n),re[0,1],又48=(匏4

/T\/3c3

：.BE=AE-AB=

22

n•AD=y=0

设平面24。的法向量为〃=(x,y,z)<

n-AP=>/3x+2y+z0

令x=-l,解得y=。，z=73,•**//=(-1,0,73),

1

2,

33

整理得：32『-36，+9=。，解得或，=§，

AE^tAP=—EP,所以4=',解得2=3或1

\-t\-t5

18.（13分）不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上

购买了12款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全

项目中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性、

耐磨性、耐碱性、手柄温度、温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者最关注的两

个指标“不粘性、耐磨性”检测结果的数据如下

检测结果

序号品牌名称不粘性耐磨性

1品牌1I级I级

2品牌2II级1级

3品牌3I级I级

4品牌4II级II级

5品牌5I级I级

6品牌6n级I级

7品牌7I级I级

8品牌81级I级

9品牌9n级n级

10品牌10■级n级

11品牌11II级n级

12品牌12H级n级

（I级代表性能优秀，II级代表性能较好）

（1）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性

能都是I级的概率；

（2）从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设X为性能都是1级的品牌个数，求随

机变量X的分布列和数学期望；

(3)从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设r为性能都是I级的品牌个数，比较

随机变量x和随机变量y的数学期望的大小(结论不要求证明).

解：(1)“不粘性”性能是I级的品牌有5个，记事件A为两个品牌的“不粘性''性能都是I

级，

C1__

所以这两个品牌的“不粘性”性能都是级的概率

IP(A)=C^-33,

(2)前六个品牌中性能都是I级的品牌有3个，X可能取值为0,1,2,

“x=o)=m，p(x=i)=詈=|,p(x=2)=m，

〜6〜6

所以X的分布列为：

(3)后六个品牌中性能都是I级的品牌有2个，y可能取值为0,1,2,

3。噎总”即罟4,

aQ19

所以Y数学期望为E(y)=0xg+lx西+2x西=]<E(X).

19.(15分)己知函数/(x)=d-犬+(2-m)x+2,g(x)=入+%",tneR

x-m

(1)当加=2时，求曲线y=/(x)在X=1处的切线方程;

(2)求g(x)的单调区间;

(3)设机＜0,若对于任意总存在办使得〃xj=g(不)成立，求机的

取值范围.

解：(1)当机=2时，"x)=V—f+2,所以小)=3/一2%

所以/⑴=2,/'⑴=1

所以曲线y=〃x)在尤=1处的切线方程为y-2=x-l,即y=x+l

(2)g(x)=-------的定义域是{x|x*%},g(x)---:--------

x-tn{x-m)

令g'(x)=。，得%=一瓶,々=3，”

①当m=0时，g(x)=Q#0),所以函数g(x)的单调增区间是(一*0),(0,+oo)

②当“<0时,x,g'(x),g(x)变化如下:

X(YO,3/%)3m(3m,m)(m,—m)—tn(一〃7,+00)

g'(x)+0--04-

g(x)/极大值极小值/

所以函数g（X）的单调增区间是（YO,3，〃）,（-w,+00）,单调减区间是

③当〃?>0时，x,g'（x）,g（x）变化如下：

X(—,一,〃)—m（一加,加）(7〃,3)2)3m(3m,-Foo)

g'(x)+0--0+

g(x)/极大值极小值/

所以函数g（无）的单调增区间是（一》,-帆）,（3机的），单调减区间是（-，4，"）,（m,3帆）

（3）EI^J/（x）=x3-x2+（2-m）x+2,所以/（为）=3》2-2x+（2-m）

当〃2<0时，A=4-12（2-«i）=12/n-20<0

所以/"）>0在（0,1）上恒成立，所以〃x）在（0,1）上单调递增

所以/（x）在［0,1］上的最小值是/（0）=2,最大值是"1）=4—相

即当xW。』时，/（X）的取值范围为［2,4—〃?］

由（II）知，当-lv〃?<0时，0<-m<l,g（x）在（0,一m）上单调递减,在（-加」）上单调递增

因为g（-6）=-2机<2,所以不合题意

当机4-1时，-机＞1,g（x）在［05上单调递减

所以g（x）在［0川上的最大值为g（0）=-3加，最小值为g⑴=匕近

\-m

「14-

所以当xe［0,l］时，g（x）的取值范围为冒-，-3〃？

“对于任意毛e［（）』，总存在办e［0』，使得/&）=g（x。）成立”等价于

1+3〃//rc，r

------，一3mc[2,4-/w]

\-m

T^-2,解得—24加4—1

BP-

-3m<4-/7?

所以机的取值范围为［-2,-1］

20.（15分）已知离心率为李的椭圆C:\+，=l（a＞人＞0）的左焦点为尸，左、右顶点

分别为4、&，上顶点为8,且尸的外接圆半径大小为百.

（1）求椭圆C方程;

（2）设斜率存在的直线/交椭圆C于P,Q两点（RQ位于X轴的两侧），记直线A/、

A/、4Q、AQ的斜率分别为印、片、勺、k4,若匕+右=|（&+&）,求△&PQ面积的

取值范围.

解：（1）根据椭圆c的离心率为受知a=0C，所以6=77二？=c，如图，则

2

\OF\=\OE\=c

则在△4板中，可得NB%=左，|”|=,04/+函=岛,

|A__辰_后2万

由正弦定理得sinZBFA一包,

V

解得c=无，所以a=2,b-＞/2＞

22

所以椭圆C的方程为三+汇=1.

42

（2）由条件知直线/的斜率不为0,

设直线/3=少+加（，片0）,P（芭,yj,Q（X2，%），

x=ty+m

联立,y2,得+2））3+2相+—4=0,A>0W2t2+4>T?/2

—T----1

42

「日2mtm2-4

于口+%=一鼻,

22

因为A（-2,0）,4（2,0）,P&M代入椭圆方程得尹W=1,

所以岫=上.上=上=1^=」,

玉+2X]—2x；—4.¥1~—42

1,1,1

同理心幻=-5，于是匕=一至，％=一您，

因为勺+h=泌+&3）,所以"一与+自）'

J4底2/及3D

即一家H（…）・

3

又直线1的斜率存在，所以他+23工。，于是左2&=-历，

所以即10乂%+3（占一2）（9-2）=0,

A|—Z/一/1U

又为=%+“，x2=ty2+tn,

所以1Oy%+3（0]+6-2）（“+，篦-2）=0,

整理得（3/+10）%必+3，（巾-2）（必+丫2）+3（相一2）2=0,

所以（3『+10）（窈）+3'（加一