人教版九年级数学下册同步练习 28.1.3 特殊角的三角函数值（分层练习）（原卷版+解析）

28.1.3特殊角的三角函数值基础篇基础篇一、单选题：1．下列三角函数的值是的是（

）．A． B． C． D．2．已知，则锐角α的度数是（

）A．60° B．45° C．30° D．75°3．在中，，若，则的值为（）A． B． C．2 D．4．下列各式中不成立的是（

）A． B．C． D．5．若，则的形状是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形6．式子的值是（

）A．0 B． C．2 D．7．若菱形的周长为，高为2，则菱形两邻角的度数比为（

）A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1二、填空题：8．已知是锐角，，则＝______；______．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则＝____．10．已知，则锐角________．11．计算：___________．12．﹣|tan45°﹣|＝_____．13．在中，若，则的度数为__________14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是______．

三、解答题：15．计算：(1)；(2)．16．先化简，再求值：，其中.17．已知：如图，是的直径，弦于点E，G是弧上一动点且不与点A，C重合，的延长线交于点F，连结．，．(1)求半径长．(2)求扇形的面积．提升篇提升篇1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝BC，若∠BAC＝45°，∠B＝75°，则下列等式成立的是（

）A．AB＝2CD B． C． D．2．如图，已知点M，N分别是矩形边和的中点，点E在边上，将沿折叠，使点C恰好落在线段上的点F处，得到三角形，则的值为（

）A． B． C． D．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积______．5．如图，四边形是正方形，以为边向外作为上的一点，连接．若四边形是菱形，则的度数为________．6．如图，中，，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，则的度数为______．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作，垂是为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B(1)求证：；(2)若，求∠ADE的度数．8．已知：如图，在中，，cm，cm，为边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为cm/s；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为cm/s．设运动时间为．解答下列问题：(1)当为何值时，；(2)当中点在上时，求的值；(3)设四边形的面积为，求与的函数关系式，并求最小值；(4)是否存在某一时刻，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．28.1.3特殊角的三角函数值基础篇基础篇一、单选题：1．下列三角函数的值是的是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】A、＝，符合题意；B、＝，不符合题意；C、＝，不符合题意；D、＝，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．2．已知，则锐角α的度数是（

）A．60° B．45° C．30° D．75°【答案】A【分析】根据得到即可求解．【详解】解：∵，为锐角，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．3．在中，，若，则的值为（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】在直角三角形中，求出的度数，即可求．【详解】解：如图所示，∵，，∴，∵，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．4．下列各式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据特殊锐角三角函数值，代入计算即可．【详解】A．，此选项不符合题意；B．，，所以，此选项不符合题意；C．，，所以，此选项不符合题意；D．，此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．5．若，则的形状是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】根据非负数的性质得到，再由特殊角的三角函数值求出的度数，再判断即可．【详解】解：∵，∴，即，由特殊角的三角函数值可知此时，此时，则的形状是钝角三角形，故选C．【点睛】本题考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．6．式子的值是（

）A．0 B． C．2 D．【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式=0故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．7．若菱形的周长为，高为2，则菱形两邻角的度数比为（

）A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【答案】D【分析】如图，为菱形的高，，利用菱形的性质得到，利用正弦的定义得到，则，从而得到的比值．【详解】解：如图，为菱形的高，，菱形的周长为，，在中，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．二、填空题：8．已知是锐角，，则＝______；______．【答案】

60°##60度

##0.5【分析】根据特殊角的三角函数值，计算求值即可.【详解】解：∵，∴，∵是锐角，∴，∴，故答案为：60°，.【点睛】本题考查了60°的正切和余弦，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则＝____．【答案】##0.5【分析】利用直角三角形的两锐角互余求得∠ABC的度数，再利用特殊角的三角函数即可求得的值．【详解】解：依照题意画出图形，如图所示．∵在Rt△ABC中，，，∴，∴．故答案为∶．【点睛】考查了直角三角形的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．10．已知，则锐角________．【答案】【分析】先由变形为，即可求解．【详解】解：，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活变形，熟记公式是解题的关键．11．计算：___________．【答案】##0.75【分析】将特殊角的三角函数值代入原式，即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．12．﹣|tan45°﹣|＝_____．【答案】【分析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义，二次根式的性质、特殊角的三角函数值以及绝对值的定义解答即可．【详解】原式＝==故答案为：．【点睛】本题考查了实数的混合运算．掌握零次幂，负指数幂，特殊角的三角函数以及绝对值的定义是解答本题的关键．13．在中，若，则的度数为__________【答案】##75度【分析】根据非负数的性质得出，，根据特殊角的三角函数值、三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∴，，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值、非负数的性质是解题的关键．14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是______．

【答案】1【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．【详解】解：连接AB，由勾股定理得：AB＝，AO＝，OB＝，∴AB＝AO，，∴△ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形，∴，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．三、解答题：15．计算：(1)；(2)．【答案】(1)0(2)【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．先化简，再求值：，其中.【答案】，【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法进行计算，最后代入求出答案即可．【详解】解：原式∵∴原式【点睛】本题考查了特殊三角函数值和分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．17．已知：如图，是的直径，弦于点E，G是弧上一动点且不与点A，C重合，的延长线交于点F，连结．，．(1)求半径长．(2)求扇形的面积．【答案】(1)4(2)【分析】（1）连接．设的半径为R．在中，根据，构建方程即可解决问题；（2）连接，根据可得，再由垂径定理可得，根据扇形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图，连接．设的半径为R．∵，∴，在中，∵，∴，解得．（2）解：如图，连接，∵，∴，∵，∴∴，∴扇形的面积．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数、圆周角定理的推论和垂径定理的应用，掌握圆周角定理的推论、垂径定理和勾股定理是解题的关键，学会添加常用辅助线．提升篇提升篇1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝BC，若∠BAC＝45°，∠B＝75°，则下列等式成立的是（

）A．AB＝2CD B． C． D．【答案】B【分析】连接OB、OC，过O作AB的垂线，垂足为E，交CD于点F．由已知可得AB∥CD，则OF⊥CD，且∠BOC=90°，E、F分别是AB、CD的中点；易证△BOE≌△OCF，从而BE与CF的关系，即可得AB与CD的关系．【详解】如图，连接OB、OC，过O作AB的垂线，垂足为E，交CD于点F．∵AD=BC，∴，∴∠ACD=∠BAC=45°．∴AB∥CD．∵OE⊥AB，∴AB=BE，OF⊥CD．∴CD=2CF．

∵∠BAC、∠BOC对着同一弧，∴∠BOC=2∠BAC=90°．∴∠EOB+∠COF=90°．∵∠EOB+∠OBE=90°，∴∠OBE=∠COF．∵∠OEB=∠CFO=90°，OB=OC，∴△BOE≌△OCF．∴OE=CF．∵OB=OC，∴∠OBC=45°．∵∠ABC=75°，∴∠OBE=∠ABC-∠OBC=30°．∴．∴．∵AB=2BE，CD=2CF，∴．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，构造辅助线并证明△BOE≌△OCF是问题的关键．2．如图，已知点M，N分别是矩形边和的中点，点E在边上，将沿折叠，使点C恰好落在线段上的点F处，得到三角形，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先证四边形是矩形，得到，由折叠的性质可，，，得到，可以得到，则，得，即可得到答案．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∵点M，N分别是矩形边和的中点，∴，，∴四边形是矩形，∴，∵沿折叠，使点C恰好落在线段上的点F处，得到三角形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、特殊角的三角函数、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接AC'，首先求出tan∠BAC，然后根据勾股定理求出AC的长，最后根据S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′代入数值即可求解．【详解】连接AC'，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°，∵旋转角为30°，∴A、B′、C共线．∴AC＝＝＝2，∵S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，∴S阴＝﹣＝﹣，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，锐角三角函数，关键是要作出辅助线将阴影面积转化成扇形面积减去三角形面积．4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积______．【答案】【分析】首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积．【详解】解：如图，连接OD，根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，∴OB=OD=BD，即△OBD是等边三角形，∴∠DBO=60°，∴∠CBO=∠DBO=30°，∵∠AOB=90°，∴OC=OB•tan∠CBO=6，∴S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×6×=6，S扇形AOB=π×62=9π，∴整个阴影部分的面积为：S扇形AOB-S△BDC-S△OBC=9π-6-6=9π-12，故答案为：.【点睛】本题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．5．如图，四边形是正方形，以为边向外作为上的一点，连接．若四边形是菱形，则的度数为________．【答案】##15度【分析】过点作的垂线，垂足分别为，四边形是矩形，得出，可得，进而即可求解．【详解】∵四边形是正方形，∴，，如图，过点作的垂线，垂足分别为，∴四边形是矩形，∵四边形是菱形，∴∴，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，特殊角的三角函数值，求得是解题的关键．6．如图，中，，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，则的度数为______．【答案】##60度【分析】过A作轴于C，过B作轴于D，得到，根据反比例函数的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出与的比值，从而得到的值，即可得到的值【详解】过A作轴于C，过B作轴于D，则，∵顶点A，B分别在反比例函数与的图象上,∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作，垂是为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B(1)求证：；(2)若，求∠ADE的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）易证∠ADF=∠CED和∠AFD=∠DCE，即可证明△ADF∽△DEC．（2）根据平行四边形对边相等可求得CD的长，根据△ADF∽△DEC可得，即可求得DE的长，根据勾股定理可以求得AE的长，根据tan∠ADE=即可解题．(1)证明：∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED，∵∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，∴∠AFD=∠DCE，∴△ADF∽△DEC；(2)解：