组合数课件 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.4组合数一、知识回顾

一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫

做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.1.组合的定义2.两个排列与组合的相同点、不同点：

共同点:都是“从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素”

不同点:

排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.

只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;而两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何，都是相同的.

构造排列可以分成两步完成，先取后排；而构造组合就是

其中一个步骤.一、知识回顾3.排列数4.排列数公式

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个

数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号

表示.(m、n∈N*，m≤n)

规定：0!=1=n!=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1

特别地，

全排列二、组合数

你能类比排列数的概念，说出组合数的概念吗？

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号

表示.

符号

中的C是英文combination(组合)的第一个字母.组合数还可以用符号

表示.

例如:

从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为

.

从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为

.三、探究新知

前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数

来求组合数

呢?

前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数甲乙甲乙，乙甲甲丙甲丙，丙甲乙丙乙丙，丙乙组合排列三、探究新知

运用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数

．设这4个元素为a、b、c、d，那么从中取出3个元素的排列数

=24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如下图所示，因此组合数4abcabcbaccabacbbcacba组合排列abdabdbaddabadbbdadbaacdacdcaddacadccdadcabcdbcdcbddbcbdccdbdcb三、探究新知abcabcbaccabacbbcacba组合排列abdabdbaddabadbbdadbaacdacdcaddacadccdadcabcdbcdcbddbcbdccdbdcb

观察上图，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数

”:

第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有

种不同的取法；

第2步，将取出的3个元素作全排列，共有

种不同的排法.

于是，根据分步乘法计数原理，有三、探究新知即

仿照上面做法，你能说出理解求“从n个元素中取出m个元素的排列数

”的两个步骤及排列数和组合数的关系式吗？

第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，共有

种不同的取法；

第2步，将取出的m个元素作全排列，共有

种不同的排法.

根据分步乘法计数原理，有即四、组合数公式(m、n∈N*，并且m≤n)

所以，上面的组合数公式还可以写成因为

另外，规定

.五、精典例题例1计算：(1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式,你对公式的选择有什么想法?五、精典例题例2在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任

意抽出3件.

(1)有多少种不同的抽法?

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?五、精典例题

从2件次品中抽出1件的抽法数可以是

吗?五、精典例题例3

有7名学生站成一排,下列情况各有多少种不同的排法.

(1)甲、乙必须排在一起；

(2)甲、乙、丙互不相邻；

(3)甲不站正中间；

(4)甲、乙之间须隔一个人.五、精典例题例4

按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式.(1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法?

(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法?

(3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的

分堆方法?

(4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多

少不同的分配方法?六、课堂小结1.组合数的定义2.组合数公式

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号

表示.

另外，规定

.(m、n∈N*，并且m≤n)六、课堂小结(1)三大原则：①先特殊后一般.

②先选取后排列.

③先分类后分步.(2)解题方法：①特殊元素优先法.

②相邻问题捆绑法.

③不