人教A文科数课时试题及解析（5）双曲线A

PAGEPAGE4课时作业(五十一)A[第51讲双曲线][时间：35分钟分值：80分]eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)2．设集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)－y2＝1))))，Q＝{(x，y)|x－2y＋1＝0}，记A＝P∩Q，则集合A中元素的个数是()A．3B．1C．2D3．双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的焦点到渐近线的距离为()A．2B．3C．4D4．双曲线eq\f(y2,7)－eq\f(x2,9)＝1的共轭双曲线的离心率是________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.eq\r(6)B.eq\r(5)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(\r(5),2)6．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D7．从eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(4,7)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)8．双曲线eq\f(y2,6)－eq\f(x2,3)＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝()A.eq\r(6)B．3C．4D．6图K51－19．如图K51－1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2AD，设∠DAB＝θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1·e2＝________.10．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．11．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq\r(3)x，它的一个焦点为F(6,0)，则双曲线的方程为________．12．(13分)双曲线C与椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同焦点，且经过点(eq\r(15)，4)．(1)求双曲线C的方程；(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．eq\a\vs4\al\co1(难点突破)13．(1)(6分)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1和椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形(2)(6分)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D

课时作业(五十一)A【基础热身】1．C[解析]双曲线方程可化为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1，所以a2＝4，得a＝2，所以2a＝4.故实轴长为4.2．B[解析]由于直线x－2y＋1＝0与双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的渐近线y＝eq\f(1,2)x平行，所以直线与双曲线只有一个交点，所以集合A中只有一个元素．故选B.3．B[解析]双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是3x－4y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝eq\f(|3×5－0|,5)＝3.故选B.4.eq\f(4,3)[解析]双曲线eq\f(y2,7)－eq\f(x2,9)＝1的共轭双曲线是eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1，所以a＝3，b＝eq\r(7)，所以c＝4，所以离心率e＝eq\f(4,3).【能力提升】5．D[解析]设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2).根据c2＝a2＋b2，可得eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(1,4)，解得e2＝eq\f(5,4)，所以e＝eq\f(\r(5),2)，故选D.6．C[解析]根据双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1的渐近线方程得：y＝±eq\f(3,a)x，即ay±3x＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0且a>0，所以有a＝2，故选C.7．B[解析]若方程表示圆锥曲线，则数组(m，n)只有7种：(2，－1)，(3，－1)，(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以概率为P＝eq\f(4,7).故选B.8．A[解析]双曲线的渐近线为y＝±eq\r(2)x，圆心为(3,0)，所以半径r＝eq\f(|±\r(2)×3－0|,\r(3))＝eq\r(6).故选A.9．1[解析]作DM⊥AB于M，连接BD，设AB＝2，则DM＝sinθ，在Rt△BMD中，由勾股定理得BD＝eq\r(5－4cosθ)，所以e1＝eq\f(|AB|,||BD|－|AD||)＝eq\f(2,\r(5－4cosθ)－1)，e2＝eq\f(|CD|,|AC|＋|AD|)＝eq\f(2－2cosθ,\r(5－4cosθ)＋1)，所以e1·e2＝1.10．[2，＋∞)[解析]依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是[60°，90°)，所以eq\f(b,a)≥tan60°＝eq\r(3)，即b2≥3a2，c2≥4a2，所以e≥2.11.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1[解析]eq\f(b,a)＝eq\r(3)，即b＝eq\r(3)a，而c＝6，所以b2＝3a2＝3(36－b2)，得b2＝27，a2＝9，所以双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1.12．[解答](1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，则a2＋b2＝32＝9.①又双曲线经过点(eq\r(15)，4)，所以eq\f(16,a2)－eq\f(15,b2)＝1，②解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)，所以所求双曲线C的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.(2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝eq\r(5)，c＝3.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4平方得m2－2mn＋n2＝16.①在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos120°＝m2＋n2＋mn＝36.由①②得mn＝eq\f(20,3)，所以△F1PF2的面积为S＝eq\f(1,2)mnsin120°＝eq\f(5\r(3),3).【难点突破】13．(1)B(2)B[解析](1)依题意有eq\f(\r(a2＋b2),a)·eq\f(\r(m2－b2),m)＝1，化简整理得a2＋b2＝m2，故选B.(2)在△F1PF2中，由余弦定理得，cos60°＝eq