备考2024年新高考数学一轮复习 导数的运算及几何意义

专题4.1导数的运算及几何意义

日题型目录

题型一平均变化率和瞬时变化率

题型二导数的定义运算

题型三导数的四则运算和复合函数求导

题型四求曲线切线的斜率（倾斜角）

题型五曲线上一点处的切线问题

题型六过一点的切点问题

题型七已知切线（斜率）求参数

题型八两切线的平行、垂直问题

题型九公切线问题

题型一平均变化率和瞬时变化率

例L（北京市第十四中学2022-2023学年高二下学期期中测试数学试卷）下图是函数y=的图象，函数在

区间[-1,1],[1,3]上的平均变化率分别为机-m2,则加一加2的大小关系是（

C.ml=m2D.无法确定

例2.（福建省2022-2023学年高三下学期质优生“筑梦”联考数学试卷）某铁球在0C时，半径为1dm.当温度在很小

的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为fC时铁球的半径为（l+〃）dm,其中。为常

数，则在r=0时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（）

4

A.0B.冗aC.一兀。D.4兀。

3

第二反三

练习1.（2023春•江西•高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如

图.记该车在时间段土"］，也⑷，［4，。］，［彳4］上的平均速度的大小分别为G，%，%，久，则平均速度最小的

是（）

A.斗B.v2C.v3D.v4

练习2.（2023春・贵州•高三校联考期中）函数〃%）=2/+1在区间［1,5］上的平均变化率为（）

A.2B.6C.12D.48

练习3.（2023春•上海嘉定•高三上海市嘉定区第一中学校考期中）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系

170

式：7（'）=1+15,其中7（。为蜥蜴的体温（单位：。0,1为太阳落山后的时间（单位：min）.

⑴求T'（10）,并解释其实际意义；

⑵蜥蜴体温的瞬时变化率为-rC/min时的时刻t是多少（精确到0.01）?

练习4.（2023春•内蒙古呼伦贝尔•高一校考开学考试）如图，从上端口往一高为H的水缸匀速注入水，水注满所用

时间为T.若当水深为/z时，水注入所用时间为f,则函数//=/"）的图像大致是（）

练习5.（2023春・浙江杭州•高三杭州四中校考期中）若小球自由落体的运动方程为s（f）=gg产（g为常数），该小球

在f=l到7=3的平均速度为工，在f=2的瞬时速度为匕，则工和％的大小关系为7匕（填或“=”）

题型二导数的定义运算

例3.（江西省部分学校2022-2023学年高三下学期4月期中联考数学试卷）己知广⑴=3,则加川+3A^）-）⑴=

A.1B.3C.6D.9

例4.若〃x）在/处可导，则/'■）可以等于（）.

A一/（/一於）B1由"与+©）一""°-A》）

2Y.11111

-Ax——oAx

Clim/（X。+2醺）一/（/一D.lim_2AX）

Ax->0Ax.f。Ax

举一反三

练习6.（2023春•湖北武汉•高二校联考阶段练习）设函数/。）=工+1,则1而/"-3?-"1）=（）

X-

A.3B.—C.—D.0

33

练习7.（2023春・四川达州•高三校考期中）已知函数/（x）=lnx,贝Ijlim正上且@=________.

12X-2

练习8.(2023・高三课时练习)如图，函数y=/(x)的图象在点尸处的切线方程是＞=-尤+8,则

练习9.(2023春•山东荷泽•高三统考期中)已知函数/(X)在x=—l处可导，且/个1)=-3,则

lim"T)r(T+AY)

)

313Ax

A.-3B.-1C.1D.3

sin2(x+h)—sin(2x)

练习10.(2023春・上海杨浦・高三上海市控江中学校考期中)计算：；可)

h

A.0B.cos2xC.2cosxD.2cos2%

题型三导数的四则运算和复合函数求导

例5.(四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期期中联考理科数学试卷)函数/⑴=2工+sir«的导函数

为()

A.f\x)=2X-cosxB./'(%)=2*In2—cos%

C./'(N)=2"+cos%D.f\x)=2xln2+cosx

例6.(黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试卷)求下列已知函数的导函数

⑴/⑺=3'+/

5

⑵4%)=(-兀+5"

(3)f(x)=cos2x—sin2x

(

⑷〃尤)=ln3x)

2x+l

举一反三

练习11.（2023春•江西•高三校联考期中）求下列函数的导数:

小cos%

(1)y=~

sinX—cosx

⑵广一融

练习12.（2023春•四川成都•高三四川省成都市新都一中校联考期中）下列导数运算正确的是（）

A.(cosx)=sinx

,1

C.(logX)=——

3xln3

练习13.（2023春・贵州遵义•高三校考阶段练习）已知函数〃尤）=ln（2x）+/'。），贝！j/

练习14.（2023春•黑龙江哈尔滨•高三哈九中校考期中）（多选）下列求导运算错误的是（）

A.(尤+』]=1+4

B.[(X+3)3]‘=3(X+3)2

Vxjx

C.(3")'=31nxD•(Vcosx)=-2尤sinx

练习15.（2023春•上海杨浦•高三上海市控江中学校考期中）函数y=lnx的导函数的定义域为.

题型四求曲线切线的斜率（倾斜角）

例7.（山东省荷泽市2022-2023学年高三下学期期中数学试卷）正弦曲线y=sinQ+^|在点处的切线斜率

是（）

A.--B.yC.D.近

2222

例8.（江苏省无锡市四校2022-2023学年高三下学期期中联考数学试卷）已知函数与g（尤）的部分图象如图所

A.1)<。5-1)B.0<r(-l)</(-1)

c.r(-i)<o<^(-i)D.r(3)>g'⑶

第二反三

练习16.（2023•全国•高三专题练习）函数y=/（x）的图象如图所示，（（无）是函数“X）的导函数，则下列数值排

B.2/(3)<2/(5)</(5)-/(3)

C./(5)-/(3)<2/(3)<2/(5)D.2/(3)<2/(5)</(5)-/(3)

练习17.（2023春・山东淄博・高三沂源县第一中学校考期中）若直线>=履+"与曲线y=lnx+，相切，则上的取值

X

范围是（）

D.%8

A.-oolB.[4,+8)C.[-4,+8)

I4

练习18.（2023春.江西.高三校联考期中）已知函数/■（*）的导函数为尸（X）,〃尤）的图象如图所示，则（）

A./'（玉）＞/'（々）＞广（W）B.7'（%）＞/'（无3）＞/'（玉）

,

C.f'（x3）＞f（x2）＞f'（xl）D.尸（不）＞/'（£）＞/（尤2）

练习19.（2。23秋・江苏盐城・高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知点尸是曲线『二三上一动点、，,为曲线在点

产处的切线的倾斜角，则。的取值范围是（）

2

练习20.（2023春•四川德阳•高三德阳五中校考阶段练习）若曲线〃x）=ln%+—在％=1处的切线的倾斜角为a,则

x

sinla..

-----2--------9=（）

5cosa-sina

题型五曲线上一点处的切线问题

例9.（辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试卷）曲线y=«在点x=4处的切线

方程为（）

A.x-2y=0B.%—4y+4=0C.2x-y-6=0D.x-4y+12=0

例10.（四川省成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高三下期期中考试理科数学试卷）已知f（x）=xlnx,则曲线

〉=/（冷在点（1,八1））处的切线方程为（）

A.x-y-l=0B.x-y-2=0

C.%+y—1=0D.x+y-2=0

举一反三

练习21.(2023春•四川成都•高三四川省成都市新都一中校联考期中)已知〃x)=lnx,则曲线y=〃力在点(e,〃e))

处的切线方程为()

A.y=-xB.y=x

e

C.y=x+lD.y=-x--

练习22.(2023春・江苏无锡•高三江阴市华士高级中学校联考期中)已知函数/⑺=Inx+xVX1)，则〃尤)在。/⑴)

处的切线方程为.

练习23.(2023.陕西榆林.统考模拟预测)已知函数/(x)=x2_e“(aeR),若/'(x)的图象在x=0处的切线与坐标

轴围成的三角形的面积为1,则。=()

A.gB.2C.±2D.±-

22

练习24.(2023・江西上饶・校联考模拟预测)已知函数/")=炉-2111》在点(1,〃1))处的切线方程为.

练习25.(2023•浙江•校联考模拟预测)函数〃x)=cosx-sinx的图象在点停处的切线方程为.

题型六过一点的切点问题

例H.(天津市南开大学附属中学2022-2023学年高三下学期阶段检测数学试卷)曲线丫=上过点4(1,0)的切线方程

X

为.

例12.已知经过点(-2,2)的两条直线4均与曲线＞=/+相相切，若直线1的方程为y=2,则机的值为,

直线4的方程为.

第二反三

练习26.（2023•全国•模拟预测）过坐标原点作曲线y=（x+2）e工的切线，则切点的横坐标为.

练习27.（2023春•上海嘉定•高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知曲线了（尤）=2尤3-3天，过点（0,0）作曲线的

切线，则切线方程.

练习28.（2023•海南海口•校联考模拟预测）过x轴上一点尸亿0）作曲线C:y=（x+3）e'的切线，若这样的切线不存

在，则整数f的一个可能值为.

练习29.（2023春•江西•高三校联考期中）（多选）过点尸（1,2）且与曲线y=〃x）=2x3相切的直线的方程为（）

A.6x+y-8=0B.6x-y-4=0C.3x-2y+l=0D,3x+2y-7=0

e

二,x>0

x

练习30.（2023•海南•统考模拟预测）己知函数〃x）=<,过点0（0,0）作曲线y=/（x）的切线，则切线的

ex八

—<0

x

条数为_______________

题型七已知切线（斜率）求参数

例13.（2023・广西・统考模拟预测）己知曲线/（x）=ae'+sinx在点（0,〃0））处的切线与直线2x+y-4=0平行，则

实数。的值为.

例14.（2023・重庆•统考三模）已知直线。与曲线y=x+@相切，则实数。=（）

X

143

A.0B.-C.-D.-

252

举一反三

练习31.（2023春•四川成都•高三某中学校考阶段练习）已知曲线〃%）=尤3-左+3在点尸处的切线与直线

%+2y-1=0垂直，则尸点的横坐标为.

练习32.（2023春・安徽马鞍山•高三马鞍山二中校考阶段练习）若曲线>=/+依+6在点（0/）处的切线方程为

%+y+2=0,则（）

A.4=1,Z?=2B.a=1,b=—2

C.a=—lib=2D.a=—lyb=—2

练习33.（2023・广西南宁・南宁三中校考一模）已知直线V=x是曲线/（x）=lnx+a的切线，则。=（）

A.-1B.1C.-2D.2

练习34.（2023春・广东深圳•高三红岭中学校考期中）（多选）已知点尸（1M）不在函数/（%）="的图象上，且过点尸

能作两条直线与〃刈的图象相切，则。的取值可以是（）

A.y/2,B.—C.0D.—1

练习35.（2023•浙江金华・统考模拟预测）已知函数=/-依+1,过点P（2,0）存在3条直线与曲线y=/（x）相

切，则实数。的取值范围是.

题型八两切线的平行、垂直问题

/、fInx,x>1

例15.（2023•河南・洛阳市第三中学校联考模拟预测）己知曲线/（尤）=,,,过曲线上A,2两点分别作

I—Inx,（nJ<x<1

曲线的切线交于点尸，APLBP.记A,8两点的横坐标分别为七,%，则（）

A.gB.1C.-D.2

22

例16.（2022秋•河北邢台・高三校联考阶段练习）已知函数7'（x）=（a+£|lnx+，x（a>0）.

⑴当a=l时，求曲线〃力在x=2处的切线方程；

⑵当此3时，曲线〃力上存在分别以A（x”/a））和3住，"々））为切点的两条互相平行的切线，求的最大

值.

举一反三

练习36.（2022秋・青海・高三青海师大附中校考阶段练习）已知曲线y=/（x）存在两条互相平行的切线，请写出一个

满足条件的函数：.

练习37.（2023•全国•高三专题练习）（多选）已知函数/（尤）=，一/+尤_1,则（）

A./（X）有两个零点B.过坐标原点可作曲线Ax）的切线

C./（x）有唯一极值点D.曲线上存在三条互相平行的切线

练习38.（2023春•安徽•高三安徽省太和中学校联考阶段练习）（多选）若函数〃x）=ln（2x+l）+2f—g+l）x的图

象上不存在互相垂直的切线，则实数”的值可以是（）

A.-1B.1C.2D.3

练习39.（2022春.江苏苏州.高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知函数/（彳）=土¥竺+lnx,若/

（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则。的值可以是（）

A.14B.13C.—2D.—1

练习40.（2023・高三校考课时练习）（多选）已知函数则下列说法正确的有（）

A.（。）=0时，a=-2B./（X）在定义域内单调递增时，a>-2

C.时，有极值D.a<-2时，/（X）的图象存在两条相互垂直的切线

题型九公切线问题

例17.（2023春•四川绵阳•高三校考期中）若直线>=依+万是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+l）的切线,

贝|后=（）

A.2B.3C.1D.1.5

例18.（2022秋•四川绵阳•高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）若存在斜率为3a（«>0）的直线/与曲线

/（x）=gf+2办-26与g（x）=3a」nx都相切，则实数b的取值范围为（）

3:

-ooe-ooe—e3,+cxD—e3,+oo

4432

举一m

练习41.（2023春•陕西咸阳•高二校考期中）己知两曲线/。）=丁+依和g（x）=/+bx+c都经过点尸（1,2）,且在点尸

处有公切线，试求。、b、c的值.

练习42.（2023春・江苏南京・高三江苏省漂水高级中学校考期中）已知直线、=区+8是曲线f（x）=e-与

g（元）=ex+2022-2022的公切线，贝IJ人=.

练习43.（2023春・福建厦门•高三厦门一中校考期中）写出曲线〉=/-1与曲线y=ln（x+l）的公切线的一个方向向量

练习44.（2023•河北唐山•统考三模）已知曲线y=lnx与〉=依2（。＞0）有公共切线，则实数。的取值范围为

练习45.（2023・湖北・统考模拟预测）（多选）若存在直线与曲线/（x）=V-x,g（尤）=/-/+°都相切，则。的值可

以是（）

A.0B.-立C.log2币D.―+^

专题4.1导数的运算及几何意义

题型一平均变化率和瞬时变化率

题型二导数的定义运算

题型三导数的四则运算和复合函数求导

题型四求曲线切线的斜率（倾斜角）

题型五曲线上一点处的切线问题

题型六过一点的切点问题

题型七已知切线（斜率）求参数

题型八两切线的平行、垂直问题

题型九公切线问题

集练

—

题型一平均变化率和瞬时变化率

例L（北京市第十四中学2022-2023学年高二下学期期中测试数学试卷）下图是函数y=〃x）的图象，函数在

区间［1,3］上的平均变化率分别为机-m2,则犯，叫的大小关系是（）

【答案】B

【分析】根据平均变化率定义直接计算即可.

2-114-2

【详解】由题可知，吗=1/八=不，加2=「T=L

1一（-1），3—1

所以叫〈利.

故选：B

例2.（福建省2022-2023学年高三下学期质优生“筑梦”联考数学试卷）某铁球在0C时，半径为1dm.当温度在很小

的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为fC时铁球的半径为（l+"）dm,其中。为常

数，则在7=0时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（）

4

A.0B.naC.—naD.4na

3

【答案】D

47r-2

【分析】根据题意，由球的体积公式可得V=£（l+m）,求导即可得到结果.

【详解】由题意可得，当温度为tc时，铁球的半径为（l+m）dm,

其体积V=,求导可得V=fx3a（l+a。-=4域（1+成『,

当1=0时，V'=4na,所以在f=0时，铁球体积对温度的瞬时变化率为4M.

故选:D

举一

练习1.（2023春・江西•高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间r的函数图象如

图.记该车在时间段上"］，［54］，上的平均速度的大小分别为弓，%，7，%，则平均速度最小的

A.斗B.v2C.弓D.%

【答案】C

【分析】根据平均速度的定义和两点求斜率公式，可得平均速度为经过两点所对应直线的斜率，结合图形即可求解.

【详解】由题意知，汽车在时间也由WLHJJPi，。］的平均速度大小分别为i，E，E，E，

设路程y与时间r的函数关系为了=/⑺，

则匕=2即为经过点（九/（。）），区"区））的直线的斜率左，

h~h

同理正为经过点伉，/伉）），03，/&））的直线的斜率心，

Z为经过点"3"&）），9"&））的直线的斜率上,

E为经过点（4，7'&）），&"伉））的直线的斜率心，如图,

由图可知，网最小，即%最小.

故选：C.

练习2.（2023春・贵州•高三校联考期中）函数/（%）=2/+1在区间［1,5］上的平均变化率为（）

A.2B.6C.12D.48

【答案】C

【分析】根据平均变化率的计算公式，结合函数f（无）的解析式，准确计算，即可求解.

【详解】根据平均变化率的计算公式，可得函数〃耳=2/+1在区间［1,5］的平均变化率为：

/（5）-/（D（2x52+l）-（2xl2+l）

==12.

5-1----------------4

故选：C.

练习3.（2023春•上海嘉定•高三上海市嘉定区第一中学校考期中）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系

120

式：T⑺=万？+15,其中T⑺为蜥蜴的体温（单位：。0,7为太阳落山后的时间（单位：min）.

（1）求T'（10）,并解释其实际意义；

⑵蜥蜴体温的瞬时变化率为-TC/min时的时刻才是多少（精确到0.01）?

Q

【答案】（1）7'。0）=-5,实际意义见解析；

（2）5.95min.

【分析】（1）求出7。）的导数，代入x=10可求T'（10）,根据导数的几何意义解释其实际意义;

（2）求解T'⑺=-1即可.

-120-1208

【详解】（1）『3=则7'。。）=

^57(10+5)215,

O

表示太阳落山后lOmin,蜥蜴的体温下降的速度为-巳。。/min.

（2）令T'（，）=«+5）2=-1,解得f=2而-5.2x5.477-5^5.95,

故蜥蜴体温的瞬时变化率为-L℃/min时的时刻是5.95min.

练习4.（2023春•内蒙古呼伦贝尔•高一校考开学考试）如图，从上端口往一高为"的水缸匀速注入水，水注满所用

时间为T.若当水深为时，水注入所用时间为则函数人=/（。的图像大致是（）

【分析】将容器看做一个球体，根据？的实际意义求解.

Ar

【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的加时间，

高度M的变化较大，即后较大，即函数的导数值较大，到水注入球体的一半

时，由于球体的截面积较大，/?«）的变化率较小，接近于球体的顶端时，的变化率又较大；

故选：D.

练习5.（2023春•浙江杭州•高三杭州四中校考期中）若小球自由落体的运动方程为s（f）=gg产（g为常数），该小球

在t=l到t=3的平均速度为3,在7=2的瞬时速度为丫2,贝相和打的大小关系为1%（填或“=”）

【答案】=

【分析】根据给定条件，利用平均速度和瞬时速度的意义，求出［和乙即可作答.

【详解】小球自由落体的运动方程为s（t）=gg产，求导得s'«）=gf,

则小球在f=1至IJf=3的平均速度-_S（3）—s⑴一5g

V——=2g

3-12

在《=2的瞬时速度％=s'（2）=2g,

所以V=%.

故答案为：—

题型二导数的定义运算

例3.(江西省部分学校2022-2023学年高三下学期4月期中联考数学试卷)已知尸⑴=3,则lim〃"的)-)⑴=

A.1B.3C.6D.9

【答案】D

【分析】利用导数的定义式以及极限的性质可求答案.

【详解】Hm正竺3=3痴任匈H=3〃l)=9.

故选：D.

例4.若/(x)在/处可导，则/'(%)可以等于().

B.-Ax）

2A1.•11111一

-Ax—f。Ax

cHmf+2Ax）-/A-Ax）D.［加/（尤°+盘）一"/一2八）

-AxAxfOAx

【答案】A

【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断得出结果.

【详解】由导数定义广(%)=,%>(/+年一/(/),

对于A,八七)-蚂x「(x°-Ax)一蚂-------瓦-------，人胸足;

对于B,，（°）妗。（x0+Ax）-（x0-Ax）-2。2Ax

小户如小。+’「。3,B不满足;

f（玉+2-）-/（王一©）lim于（%+2囚）-〃龙0—

对于c,/,（x）=lim

'0/Ar—

（无。+2Ax）-（x0-Ar）-3Ax

,国户口"2Al小…),c不满足;

.“X。+板）-7（4-2Ar）

对于D,

小)逸陪能聋若―3Ax

/（x0）=Lim/0。+人）一〃々一2机）,口不满足.

3-Ax

故选：A.

举一反三

练习6.（2023春•湖北武汉•高二校联考阶段练习）设函数/。）=,+1,则lim凡二/匕幽=（

)

xAx

A.3B.--C.-D.0

33

【答案】A

【分析】根据导数的定义以及导数运算公式求解.

【详解】因为lim7（—Ax）-/⑴=_3lim/（1-3Ax）-1⑴=_3/⑴，

-°Ax——3Ax

因为「（元）=一3,所以/'⑴=一1,所以一3/⑴=3,

故选:A.

练习7.（2023春四川达州•高三校考期中）已知函数〃x）=lnx,则理.

【答案】1/0.5

【分析】根据导函数的定义及求导公式求出答案.

【详解】由题意知皿）q,理省等L业

故答案为：a

练习8.（2023・高三课时练习）如图,函数＞=的图象在点尸处的切线方程是＞=-尤+8,则

i.m/(5+Ax)-f(5-Ar)

【答案】D

【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到了'（5）=-1,利用导数的概念解出即可.

【详解】依题意可知切点P（5,3）,

函数y=/（尤）的图象在点尸处的切线方程是y=f+8,

尸（5）=-1,即lim/（5+Ax）〃5）=_]

-Ax

...Km〃5+Ar）-〃5-M2]加〃5+Ax）-〃5-Ar）

-。Ax-o2Ax

又Hm/（5+&）-〃5-&）=Hm〃5+&）-/⑸=」

-2Ax-Ax

；.lim/（5+"/（53）=2lim〃5+Ar）-/（5Ar）=_2

Ax-。2Ax

即HmZ（5±M-Z（5-Ax）=_2

-Ax

故选：D.

练习9.（2023春•山东荷泽・高三统考期中）已知函数/（X）在x=-l处可导，且用」）=-3,则

lim（旦二七叶”（）

川3Ax）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【分析】根据导数的定义可得定义1）=,["-1+弋一"—11=-3,再根据极限的性质计算可得.

【详解】因为函数〃x）在尤=-1处可导，且用-1）=-3,

所以「㈠尸""等?一

1

——X（一3）=1.

所以山卜汕「㈠弋一3

故选：C

Sm2（%+/7）Sm（2x）

练习10.（2023春・上海杨浦・高三上海市控江中学校考期中）计算：lim；~=（）

20h

A.0B.cos2xC.2cosxD.2cos2%

【答案】D

【分析】变换得到lim电曳驾二迎02=2（sin2x）',计算得到答案.

【详解】设〃%）=sin（2x）

limsin2（x+/z）-sin（2x）=/（—⑺=/（尤）=（剑2尤）'=2cos2x.

20h2。hV7V7

故选：D.

题型三导数的四则运算和复合函数求导

例5.(四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期期中联考理科数学试卷)函数/⑴=2工+si型的导函数

为()

A.f\x)=2X—cosxB.=2xln2—cosx

C.f\x)=2X+cosxD./'(%)=2*In2+cos%

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.

【详解】函数/(x)=2,+sirw,求导得广(x)=2，ln2+cos%.

故选：D

例6.(黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试卷)求下列已知函数的导函数

⑴〃x)=3'+f

5

⑵=(―x+5>

(3)/(x)=cos2x—sin2x

ln(3x)

(4)/("=

2x+l

【答案】⑴3"ln3+2x

5-

(2)--(-x+5)3

(3)-2sin2x

2x+l-2xln(3x)

⑷-x(2x+iy-

【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可逐一求解.

【详解】(1)/'(x)=3'ln3+2x

5-5-

3

(2)(x)=§(—尤+5](一尤+5)'=—§(-x+5)

(3)/'(X)=2cosx(cosx)-2sin尤(sinx)=-2sinxcosx-2sinxcos尤=-2sin2x

(4),往—.(2x+l)-21n(3x)2x+1-2xln(3.r)

/⑴-(2x+l)2--x(2x+l)2

举一反三

练习11.(2023春•江西•高三校联考期中)求下列函数的导数:

cosx

⑴产.

sinx-cosx

(2)/=心m|.

]

【答案】⑴一

(sinx-cos尤J

⑵（4尤?+11+1

【分析】（1）利用商的求导法则可得答案；

（2）利用积的求导法则以及复合函数求导法则可得答案.

-sinx(sin%—cosx)-(cosx+sinx)cosx]

【详解】（1）y

(sinx-cosx)2(sinx-cosx)2

2%2+122x2+1

（2）y=已2-1+%（2炉+1je=（4x+l）e.

练习12.（2023春•四川成者B•高三四川省成都市新都一中校联考期中）下列导数运算正确的是（

A.(cos%)=sinx

c-皿'=七

【答案】c

【分析】根据导数公式判断各项正误即可.

f,[

【详解】由(cosx)'=-sin无，(2，)=2,In2,(logx)=­

35T

所以A、B、D错，C对.

故选：C

练习13.（2023春.贵州遵义.高三校考阶段练习）己知函数/■（尤）=ln（2x）+/⑴，则/

【答案】1

【分析】求解导函数，即可得尸（1）=1,于是可得函数解析式，从而可求解的值.

【详解】已知函数/（%）=ln（2x）+/⑴，贝|］尸（x）=*x2=f所以/"）=1

则/（x）=ln（2x）+l,故d£|=lnl+l=l.

故答案为：L

练习14.（2023春•黑龙江哈尔滨•高三哈九中校考期中）（多选）下列求导运算错误的是（）

B.[(x+3)3]'=3(尤+3)2

C.（3'）=31nxD.（x%osx）=-2xsinx

【答案】ACD

【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,二+』］=1-A,故A错误，

X）X

对于B,［（X+3）3］‘=3（x+3>,故B正确，

对于C,（3"）'=3，ln3，故C错误，

对于D,（Ycosx）=2xcosx-x2sinx>故D错误，

故选：ACD

练习15.（2023春•上海杨浦・高三上海市控江中学校考期中）函数y=lnx的导函数的定义域为.

【答案】（0,+8）

【分析】确定函数定义域，再求导确定导函数定义域得到答案.

【详解】y=lnx,函数定义域为（0,+动，V=p导函数需满足xwO,

综上所述：导函数定义域为（0,+"）.

故答案为：（0,+8）.

题型四求曲线切线的斜率（倾斜角）

例7.（山东省荷泽市2022-2023学年高三下学期期中数学试卷）正弦曲线y=在点处的切线斜率

是（）

A.--B.1C.-3D.2

2222

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义可求得切线的斜率.

【详解】对函数y=sin（x+2求导得了=cos1x+。,

所以，正弦曲线y=sin、+"在点/g处的切线斜率是j=；

故选：B.

例8.（江苏省无锡市四校2022-2023学年高三下学期期中联考数学试卷）已知函数“力与g（