2024选填压轴解题技巧（教师版）

第1第1页共90页 技巧7“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 24 26 28 35 37 41 45 48 55 59 63 65 67 69 80 86 87~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第2页共90页函数f(x)=h(g(x((，设u=g(x(，叫做内函数，则f(x)=h(u(叫做外函数，〈 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【典例1】(2020·全国·统考高考真题)设函数f(x)=x3-,则f(x)() x3 x3所以f(x)=x3-在(0，+∞(单调递增。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A.f(x(是偶函数且是增函数B.f(x(是偶函数且是减函数C.f(x(是奇函数且是增函数D.f(x(是奇函数且是减函数函数f(x(=1-=的定义域为R，f(-x(===-f(x)，即函数f(x)是奇函确.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第3页共90页∈-2,3所以函数fx=log1-x2+x+6的定义域为-2,333由复合函数的单调性可得函数fx=-x2+x+6的单调递减区间为（-2,.①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称(大前提)奇函数：f-x=-f(x)，图象关于原点对称，偶函数：f-x=fx，图象关于y轴对称~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~由题知fx=x-12+ax+sin（x+=x-12+ax+cosx=x2+a-2x+1+cosx为偶函数，定义域为R，fx=x2+a-2x+1+cosx所以f2-a+cos-=-12--1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第4页共90页因为f(x)为偶函数，则f(1)=f(-1)，∴(1+a)ln=(-1+a)ln3，解得a=0，当a=0时，f(x(=xln，(2x-1((2x+1(>0，解得x>或x<-，f(-x(=(-x(ln--=(-x(ln-+=(-x(ln-1=xln=f(x(，故此时f(x(为偶函数.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~因为f(x(=eex1为偶函数，则f(x(-f(-x(=eex1-(e-(ex=x[ee(1(x[=0，x-e(a-1(x=0，即ex=e(a-1(x，因为定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(-2)=0，f(0)=0，所以由xf(x-1)≥0可得：〈xx-1≤0或〈-1≤2或x=0解得-1≤x≤0或1≤x≤3，~~~~~~~第5~~~~~~~第5页共90页∴1+=-1，解得a=-，f(x)=lna++b=ln+b=lnax1--ax-1+bf(-x)=ln+b∵函数f(x)为奇函数∴f(x)+f(-x)=ln∴ln+lnax-a-+ln1-x1+x-2b==-2ln2⇒b=ln2∴a=-,b=ln2 1-x因为函数fx 1-x由a+≠0可得，1-xa+1-ax≠0，-∞,-1∪-1,1∪1,+∞,即fx=ln-++ln2=ln，在定义域内满足f-x=-fx，符合题意.①若fx+a=fx，则fx的周期为：T=a②若fx+a=fx+b，则fx的周期为：T=a-b③若fx+a=-fx，则fx的周期为：T=2a(周期扩倍问题) fx④若fx+a=±1，则fx的周期为：T=2a fx【典(+·f0义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第6页共90页因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，所以f1-x=-fx-1，即fx+1=-fx-1，所~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A.-3·(统考考真2题)已知函数f(x)义域为RA.-3因为fx+y+fx-y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f-y=2fy，即fy=f-y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+fx-1=fxf1=fx，即有fx+2+fx=fx+1，从而可知fx+2=-fx-1，fx-1=-fx-4，故fx+2=fx-4，即fx=fx+6，所以函数fx的一个周期为6.因为f2=f1-f0=1-2=-1，f3=f2-f1=-1-1=-2，f4=f-2=f2=-1，f5=f-1=f1=1，f6=f0=2，所以一个周期内的f1+f2+⋯+f6=0．由于22除以6余4，所以fk=f1+f2+f3+f4=1-1-2-1=-3．故选：A.由fx+y+fx-y=fxfycosx+y+cosx-y=2cosxcosy，可设fx=acosωx，所以fx=2cosx，则fx+y+fx-y=2cosx+y（+2cosx-y（=4cosxcosy=fxfy，所以fx=2cos==6，f0=2,f1=1，3且f2=-1,f3=-2,f4=-1,f5=1,f6=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，所以fk=f1+f2+f3+f4=1-1-2-1=-3．故选：A.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~fx的定义域为R，且fx+y+fx-y=fxfy，f1=因为fx+y+fx-y=fxfy，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第7页共90页令x=y=0，有2f0=f20，则f0=0或f0=4.有2f1=f1f0，得f1=0，与已知f1=23矛盾，所以f0=4.令x=y=1，有f2+f0=f21，则f2+4=×232=6，得f2=2.令x=2，y=1，有f3+f1=f2f1，得f3=0.令x=3，y=2，有f5+f1=f3f2，得f5=-23.令x=5，y=2，有f7+f3=f5f2，得f7=-23.令x=7，y=2，有f9+f5=f7f2，得f9=0.令x=9，y=2，有f11+f7=f9f2，得f11=23.令x=0，有fy+f-y=f0fy，得f-y=fy，令x=3，有f3+y+f3-y=f3fy=0，即f3+y=-f3-y，所以f6+y=-f-y=-fy，故f12+y=-f6+y=fy，所以fx的周期为12.又因为f1+f3+f5+f7+f9+f11=0，所以f2k-1=f1+f3+⋯+f4045=f1+337×0=23.①若fx+a=f-x，则fx的对称轴为x=②若fx+a=f-x+b，则fx的对称轴为x=①若fx+a=-f-x，则fx的对称中心为 ②若fx+a+f-x+b=c，则fx的对称中心为,(选项B正确法二：关于x=1对称即f1-x=f1+x，即fx=f2-x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=y与~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【典例2】(2016·全国·高考真题)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x)，若函数y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),⋅⋅⋅,(xm,ym),则(xi+yi)=由f(-x(=2-f(x(得f(x(关于(0，oo1(对称，∴对于每一组对称点xi+xi'=0yi+yi'=2，∴(xi+yi(=xi+yi=0+2⋅=m，故选B.由f(-x(=2-f(x(得f(-x(+f(x(=2设s(x(=f(x(-1，则s(-x(=f(-x(-1=1-f(x(=-s(x(，故s(x(为奇函数.设t(x(=y-1=，则t(-x(=-t(x(，故t(x(为奇函数.∴对于每一组对称点xi+xi'=0si+ti'=0.将si=yi-1，ti'=yi'-1代入，即得xi+xi'=0yi+yi'=2∴(xi+yi(=xi+yi=0+2⋅=m，故选B.由题意得,函数f(x)(x∈R)和f(-x)=2-f(x)的图象都关于(0,1)对称,从而(xi+yi)=⋅2=m.故选B.~g因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+[7+f(x-2)[=5，即f(x)+f(x-2)=-2，所以f(3(+f(5(+⋯+f(21(=(-2(×5=-10，f(4(+f(6(+⋯+f(22(=(-2(×5=-10.因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f(0(=1，所以f(2)=-2-f(0(=-3.因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5，第8页共90页~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第9页共90页联立得，g(2-x(+g(x+4(=12，所以g(3(=6，因为f(x)+g(x+2)=5，所以f(1(=5-g(3(=-1.所以1f(k)=f(1(+f(2(+[f(3(+f(5(+⋯+f(21([+[f(4(+f(6(+⋯+f(22([.=-1-3-10-10=-24~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A.f(x(的图象关于直线x=π轴对称B.f(x(C.f(x(的所有零点为(2k+1(π,k∈ZD.f(x(是以π为周期的函数对于A：因为f(2π-x(=cos(2π-x(+=cosx+=f(x(，所以f(x(的图象关于直线x=π轴对称，故A正确；cosx-2+>0，①若f(a+x(=f(a-x(，f(b+x(=f(b-x(，其中a≠b，则f(x(的周期为：T=2|a-b|②若f(a+x(=-f(a-x(，f(b+x(=-f(b-x(，其中a≠b，则f(x(的周期为：T=2|a-b|③若f(a+x(=f(a-x(，f(b+x(=-f(b-x(，其中a≠b，则f(x(的周期为：T=4|a-b|①已知f(x(为偶函数，f(x+a(为奇函数，则f(x(的周期为：T=4|a| x+(为D奇数，f(x+2(为偶函数，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第10页共~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第10页共90页因为fx+1是奇函数，所以f-x+1=-fx+1①;因为fx+2是偶函数，所以fx+2=f-x+2②.令x=1，由①得：f0=-f2=-4a+b，由②得：f3=f1=a+b，因为f0+f3=6，所以-4a+b+a+b=6⇒a=-2，令x=0，由①得：f1=-f1⇒f1=0⇒b=2，所以fx=-2x2+2.f-=f（-+1（=-f+1（=-f-f=-f+2（=-f（-+2（=-f所以f=-f=.因为fx+1是奇函数，所以f-x+1=-fx+1①;因为fx+2是偶函数，所以fx+2=f-x+2②.令x=1，由①得：f0=-f2=-4a+b，由②得：f3=f1=a+b，因为f0+f3=6，所以-4a+b+a+b=6⇒a=-2，令x=0，由①得：f1=-f1⇒f1=0⇒b=2，所以fx=-2x2+2.由两个对称性可知，函数fx的周期T=4.所以f=f=-f=.因为函数y=fx的定义域为R，且fx+1为偶函数，fx-1为奇函数，则f1-x=f1+x，f-x-1=-fx-1，所以，函数fx的图象关于直线x=1对称，也关于点-1,0对称，所以，f-x=fx+2，f-x=-fx-2，所以，fx+2=-fx-2，则fx+8=-fx+4=fx，所以，函数fx是周期为8的周期函数，-1,1[时，fx=1-x2，则f1=0，f7=f-1=0，f8=f0=1，f2=f0=1，f3=f-1=0，f4=-f-6=-f2=-1，f5=f-3=-f1=0，f6=-f-8=-f0=-1，所以，fk=0+1+0-1+0-1+0+1=0，又因为2023=8×253-1，所以，fk=253fk-f8=0-1=-1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第11页共90页①若函数fx②若函数fx③若函数fx的图象关于直线x=a和x=b对称，则函数fx的周期为T=2a-b；的图象关于点a,0和点b,0对称，则函数fx的周期为T=2a-b；的图象关于直线x=a和点b,0对称，则函数fx的周期为T=4a-b.数的奇偶性，则最大值+最小值可秒解。比如在定义域内，若Fx=fx+A，其中fx为奇函数，A为常数，则最大值M，最小值m有M+m=2A，即M+m=f(x)=ax-a-x，(a>0，且a≠1)为奇函数f(x)=ax为偶函数 [-2023,2023[的最大值为M，最小值为m，则M+m=.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【典例2】(2023·山东统考期中)设函数fx=-3≤x≤3的最大值为M，最小值为m，则M+m=.由g-x=-x225--x=-x20246x=-gx，知函数gx为奇函数，所以M+m=4046+gxmax+gxmin=4046.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+3+3，当x∈[-2023,2023[时fx的最大值为M，最小值【典例3】(2023·重庆校考)函数fx=为N，则M+N=.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(x(=中，g(-x(==-=-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~函数是奇函数，g(x(min+g(x(max=0,g(-2023(+g(2023(=0，在f(x(=+3中，当x∈[-2023,2023[时f(x(的最大值为M，最小值为N，f(x(=(x2-6x)sin(x-3)+x+a=[(x-3)2-9]sin(x-3)+(x-3)+a+3，设x-3=t∈[-3,3]，则y=(t2-9)sint+t+a+3，记g(t)=y-(a+3)=(t2-9)sint+t，因为g(-t)=-(t2-9)sint-t=-g(t)，所以g(t)是在[-3,3]上的奇函数，最大值为M-(a+3)，最小值为m-(a+3)，所以M-(3+a)+m-(3+a)=0，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~在区间[-2,2[上的最大值为M，最小【典例5】(2023·黑龙江·高三在区间[-2,2[上的最大值为M，最小值为N，则M+N的值为.则g(-x(==-=-g(x(，所以函数g(x(在[-2,2[上为奇函数，所以g(x(max+g(x(min=0，所以M+N=g(x(max+g(x(min+8=8.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~由题意可知f(-x(=log2[1+4(-x(2+2(-x([+第12页1+4x2-2x(+，共90页~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第13页共90页所以fx+f-x=log21+4x2+2x++log21+4x2-2x+=2.故函数fx在定义域内为非奇非偶函数，令hx=fx-1，则hx+h-x=fx-1+f-x-1=0，所以hx在定义域内为奇函数.设hx在[-t,t[上的最大值为k，则最小值为-k，所以fx在[-t,t[上的最大值为M=k+1，最小值为N=-k+1，所以M+N=k+1+-k+1=2.gx=M+Nx+[M+Nx-1[-3=2x+x≠.因为gx+g1-x=2x++2×1-x+=2+~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【典例7】(2023·莆田·高三联考)函数fx=x2-6xsinx-3+x+ax∈[0,6[的最大值为M，最小因为fx=x2-6xsinx-3+x+a=[(x-3)2-9]sin(x-3)+x-3+a+3，设x-3=t∈[-3,3]，则f(x)=g(t)=(t2-9)sint+t+a+3，设h(t)=(t2-9)sint+t,t∈[-3,3]，则h(-t)=-(t2-9)sint-t=-h(t)，所以h(t)是[-3,3]上的奇函数，最大值为M-(a+3)，最小值为m-(a+3)，所以M-(a+3)+m-(a+3)=0，由M+技巧7“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧数的奇偶性，则f(a)+f(-a)可秒解.在定义域内，若Fx=fx+A，其中fx为奇函数，A为常数，有fa+f-a=2A，即fa+f-a=2倍常数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【典例1】(全国·高考真题)已知函数fx=ln1+x2-x+1，fa=4，则f-a=.ln1+x2-x在定义域内为奇函数，所以fa+f-a=2倍常数=2，解得f-a=-2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【典例2】(2023·四川模拟)已知fx=x3+sinx+5，若fsinx=9，则f[sinπ+x[.令gx=x3+sinxx∈R，因为g-x=-x3+sin-x=-x3-sinx=-gx，所以函数gx=x3+sinxx∈R为奇函数，因为fsinx=9，即fsinx=gsinx所以f[sinπ+x[=f-sinx=g-sinx+5=-gsinx+5=-4+5=1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~令gx=fx-3=ln+mtanx，定义域为{x|x<-2或x>2且x≠kπ+,k∈Z}，关于原点对称，则g-x=ln+mtan-x=ln-mtanx=-ln-mtanx=-gx，故gx为奇函数，又gt=ft-3=6-3=3，故g-t=f-t-3=-3，解得f-t=0.①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称(大前提)奇函数：f-x=-f(x)，图象关于原点对称，偶函数：f-x=fx，图象关于y轴对称 1③ln1=0,ln2=0.69,ln3=1.1,lne=1,lne= 2④sin1=0.84,cos1=0.54,sin2=0.91,cos2=-0.42 cos0.1=0.995≈1,cos(-0.2)=0.980≈1【典例1】(2022·全国·统考高考真题)函数y=3x-3-xcosx在区间-,的图象大致为()第14页共90页~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第15~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第15页共90页A.B.C.D.令f(x(=(3x-3-x(cosx,x∈-,，由奇偶性定义知f(x(为奇函数，排除BD；x+-x→1-x-3-x>0,cosx>0，所以f(x(>0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~AC函数f(x(=的定义域为{x|x≠0{，且f(-x(==-=-f(x(，函数f(x(为奇函数，A选项错误；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x2-1xx2-1xx2-1xx2-1x==x-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=fx，=fx，所以fx为偶函数，故图象关于y轴对称，且f2=>0，故此时可排除AD,当x=e-10时，fe-10=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~由函数fx=，都可其定义域为-∞,0∪0,+∞关于原点对称，又由f-x==-=-fx，所以函数fx为奇函数，所以函数fx的图象关于原点对称，可排除A、B选项；第16页共90页~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~函数f(x(=sin+x(⋅ln的定义域为R，因为f(-x(=sin+(-x(⋅ln=-sin+x(⋅ln=-f(x(，当0<x<1时，0<+x<<，故sin+x（>0,而ln=ln1+>0，故此时f(x(>0，故排除B.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~而f第17页共90页~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第18页共90页~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第18页共90页+1(-x<x，令h(x(=，所以x>1时，f(x(<h(x(，而hI(x(==<0，即x>1时，h(x(=单调递减，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(2+2=ln|x|-x2+2-x=-f(x(，当x>0时，f(x(==-x++，则fI(x(=-1+-=-. x设g(x(=x2+lnx+1，则gI(x(=2 x所以，g(x(在(0,+∞(上单调递增.>0在(0,+∞(上恒成立，又g=e-4-2+1<0，g=e-2-1+1>0，=0，且当0<x<x0时，有g(x(<0，显然fI(x(=->0，所以f(x(在(0,x0(上单调递增；当x>x0时，有g(x(>0，显然fI(x(=-<0，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第19页共90页所以fx在0,x0上单调递减.令y=fx=sinx+sin2x+sin3x，求导得fx=cosx+cos2x+cos3=cosx1-2sin2x+cos2x1+cosx=1+2cosxcos2x，,π[时，由fx=0解得x=,,，fx>0，fx单调递增；fx<0，fx单调递减，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第20页共90页~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第20页共90页由于f0=0,f=+,f=,f=->0,fπ=0，可得f>f，当x∈0,π时fx>0，对于A，f2=-，对于B，f2=，排除BD结合函数零点位置可选A由图知f1≈1 【典例2】(2023·天津·统考高考真题)函数fx的图象如下图所示，则fx的解析式可能为()~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第21页共90页故选D~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A.y=x21B.y=C.y=D.y=-nx4个选项函数定义域均为R，对于A,fx=,f-x=,fx=-f-x，故y=为奇函数，且f4>0对于B,fx=,f-x=x=-fx,故fx为奇函数，f4=24<0，对于C,fx=,f-x=,fx=f-x,故fx为偶函数，f4=<0对于D，fx=,f-x==-fx，故fx为奇函数，f4=<-1，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A.f(x(= xln|x+2|B.f(x(= x+1ex+1-1C.f(x(=D.f(x(= x(x+1(2所以x<-3或-3<x<-2或-2<x<-1或x>-1，所以函数f(x(的定义域为(-∞,-3(∪(-3,-2(∪(-2,-1(∪(-1,+∞(，A不正确； 对于 则函数f(x(在(0,+∞(上单调递增，不符合题f,(x(=，当x<-1时，f,(x(<0，当-1<x<1时，f,(x(>0，当x>1时，f,(x(<0，所以函数f(x(=在(-∞,-1(上单调递减，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b0.1<⇔0.9e0.1<1⇔ln0.9+0.1<00.1<-ln0.9⇔0.1e0.1+ln0.9<0第22页共90页~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第23页共90页设f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，因为f,(x)=-1=-，,(x)<0，所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)单调递减，在(-1,0)上单调递增，所以f<f(0)=0，所以ln-<0，故>ln=-ln0.9，即b>c，所以f设g(x)=xex+ln(1-x)(0<x<1)，则g,(x)=x+1ex+=,令h(x)=ex(x2-1)+1，h,(x)=ex(x2+2x-1)，当0<x<2-1时，h,(x)<0又h(0)=0，所以当0<x<2-1时，h(x)<0，所以当0<x<2-1时，g,(x)>0，函数g(x)=xex+ln(1-x)单调递增，0.1>-ln0.9，所以a>c~~~~~~~~~~~~~~~令fx=tanx-ln1+x，x∈0,1，所以mx在0,1上单调递增，mx>m0=0，所以f,x>0，所以fx在0,1上单调递增，所以fx>f0=0，令hx=-lnx-1+x，x∈0,1，则h,x=-+1=<0，所以hx在0,1上单调递减，则hx>h1=0，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~令fx=lnx+1-，x∈-1,+∞,则fx=-=，所以当x>0时fx>0，即fx在0,+∞上单调递增，所以f0.1>f0=0，即ln0.1+1->0，即ln1.1>，即b>a，令hx=lnx+1-x，则hx=-1=，∴hx<h0=0，即lnx+1<x；令mx=x-tanx，x∈（0,，则mx=1->0，∴mx<m0=0，即x<tanx；∴lnx+1<x<tanx,x∈（0,,令x=0.1，则ln0.1+1<0.1<tan0.1，即b<0.1<c，∴b<c，所以a<b<c.说明：常用的不等式：sinx<x<tanx（0<x<，lnx+1<xx>0，lnx≤x-1≤x2-xx>0，ex≥x+1，ex≥ex>xx>0，ex>x2x>0.~~b-a=e-1-2e-1=e-2⋅e=e-12>0,∴b>a，又a-c=2e-1-sin-tan，所以令f(x)=2ex-1-sinx-tanx，x∈（0,,则f(x)=2⋅ex-cosx-，x-cosx-，x+sinx-，x>2,sinx>0,sinx<sin,cos3x>cos3，所以2sinx<2=8<2，故f>f(0)=0,即a>c，故b>a>c.第24页共90页~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第25页共90页-sin-tan，将视为变量可以构造函数f(x)=2ex-1-sinx-tanx. x≥ex，1-≤lnx≤x-1，lnx≤令f(x)=ln(1+x)-x,x>0，则f(x)=-1=<0，所以函数f(x)在0,+∞单调递减，且f(0)=0，所以f(x)<0，即ln(1+x)<x，又因为c2-b2=-e=e-1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~设fx=ex-x-10<x<1，所以fx=ex-1>0，所以fx在0,1上单调递增，所以fx>f0=0，即ex-1>x0<x<1.设gx=ln1+x-x0<x<1，则gx=-1=<0，所以gx在0,1上单调递减，所以gx