中考数学复习指导：特例入手 化繁为简

特例入手化繁为简特殊情形是一般情形在具体、特殊背景下的表现形式．若同学们能有效借助题目中的信息，可通过选择特例，巧取动（变）中之一瞬（或值），以小见大，以点带面，或捷足先登，或得到启示，或发现问题，从而迅速破解问题．一、特例助解捷足先登例1若x1，x2（x1<x2）是方程(x－a)(x－b)＝1(a<b)的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为()．(A)x1<x2<a<b(B)x1<a<x2<b(C)x1<a<b<x2(D)a<x1<b<x2析解无论选择哪一个答案，都意味着x1，x2，a，b的大小排列有一个固定顺序，由此可令a＝－1，b＝1，则原方程变为（x＋1）（x－1）＝1， 即x2＝2，解之，得x1＝－，x2＝． 故有x1<a<b<x2，选C． 例2如图1，梯形ABCD中，AB∥CD，点E,F,G分别是BD,AC,DC的中点，已知两底差是6，两腰和是12，则△EFC的周长是()．(A)8 (B)9 (C)10 (D)12析解结论是确定的数据，而图形却有很大的“随意性”，这说明图形在不改变题目内涵的情况形下运动变化时，△EFC的周长为定值．结合已知中“两底差是6，两腰和是12”，可将图1“特殊化”为一个正三角形，如图2所示，其中三边长均为6．借助三角形的中位线，极易得△EFG的周长是9，选B．点评以上两例，一个代数题，一个几何题，直接处理，难度都很大，但由于从题目（包括已知条件、待求结论和图形）中提取出一些暗示信息，实现了速解．“特例法”展示了数学思维的简洁之美，是一种有效的策略．二、特例探路退中求进例3如图3，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边△APQ．当点P运动到原点O处时，记点Q位置为B．(1)求点B的坐标；(2)求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；(3)是否存在点P，使得以A,D,Q,B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．析解此处仅关注第(2)问．题目让证明“∠ABQ为定值”，如果能事先知道这个定值是多少，就能有的放矢了，关注到图形具有很大的随意性，且这个随意性是由点P运动引发的，可以让点P运动到一个特殊位置——当点P在点O左侧，且∠PAO＝60°时，点Q落在纵轴负半轴上，此时，在△ABQ中，AB＝AQ，∠BAQ＝60°，容易判断∠ABQ＝90°．即所求定值为“直角”，思维目标被锁定！通过进一步探索，可以证明△APO≌△AQB并完成推理：易证AP＝AQ，AO＝AB，且∠PAO＝∠QAB＝60°－∠OAQ，(或60°－∠OAQ，或60°－∠PAB，或60°＋∠PAB)即△APO≌△AQB总成立，∠ABQ＝∠AOP＝90°总成立．点评对于一类以探究“定值”、“定点”、“定线（向）”为特征的数学题，可以通过“主动寻求与建构特例”，巧妙锁定思维方向，迅速实现问题解决．“特例探路，巧锁目标”实质上是一种“以退求进”的策略——退中悟理，执理而进．这样，就大大避免了探索的盲目性，使思维过程优化变短，显得简洁明快．三、特例查错事半功倍例4先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．析解本题化简正确是关键一步．若化简原式＝，正确与否？可取特殊值x＝0来检验，结果原式＝－1，而，显然化简出错，必须纠正．例5图4是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面积为S(S为常数)，第2个图中阴影部分是由连结菱形各边中点得到的矩形和再连结矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推…则第n个图中阴影部分的面积可以用含n的代数式表示为_______（n≥2，且n是正整数）．析解若得到结果为，正确与否？可取特殊情形检验，把菱形特殊化为正方形，则第2个图中所有小块的白色或黑色的三角形均是全等的，易得其中阴影部分面积为，这与不符，说明结果错误，需要重新修正处理．点评对于运算或推理上出现纰漏而导致的结果错误，有时用一般的检查方法较难奏效．而借助思维简单明朗的特例检查，查出错误的机率会大大增加．尤其如因式分解、代数式化简等数式变形，运算结果应与原式恒等，可用特殊数值代入比较，查验对错．此法对一些几何问题查错也有效，虽然特例只能查错，纠错要另外进行，但及时发现错误是重要的，需注意的是：(