天津市南开区高三一模数学试题

2022—2023学年度第二学期高三年级质量监测(一)

数学学科试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1,已知全集U=R,集合4={1，2,3,4,5},8="|》<-1或》〉2},贝/C&8)=()

A.{1,2}B.{3,4,5}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5)

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的补集和交集运算方法即可计算.

【详解】∖8={x∣T≤x≤2},Z={1,2,3,4,5},

.∙.Zc(a8)={1,2}.

故选：A

2.设α∈R,则"α(α-3)>O”是“α>3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次不等式解法解出。(。-3)>0,再根据充分条件和必要条件的概念即可判断.

【详解】α(α-3)>0n4<0或0>3,

则α(α-3)>0Rzq>3,α>3=>α(α-3)>0,

所以“α(α-3)〉0”是“4>3”的必要不充分条件.

故选：B.

3.函数y=(2x-sinx)∙2-H的图象可能是()

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值，以及函数的变化趋向，即可判断选项.

【详解】函数的定义域为R,满足/(r)=(-2x+sinx)∙2TT=-/(X),

所以函数是奇函数，故排除B,

设g(x)=2x-sinx,(x>0),

g'(x)=2-COSX>0,所以g(x)在(0,+>)上单调递增,g(x)>g(0)=0,

2%>0,所以当χ>0时，y=(2x-sinx)∙2÷l>0,故排除D；

9YX

当x→水≈时，y→苗=言→0,故排除A

故选：C

4.某高中随机选取IOO名学生一次数学统测测试成绩，分为6组:

[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95],绘制了频率分布直方图如图所示，则成绩在区间

[70,85)内的学生有()

C.60名D.65名

【答案】D

【解析】

【分析】运用所有频率之和为1求得。的值，再运用频率分布直方图中频数计算可得结果.

【详解】∙∙∙(0∙05+0.06+4+0.03+0.01+0.01)x5=l,

a=0.04，

：.100X(0.06+0.04+0.03)X5=65(名),

故选：D.

5.已知直线N=丘—1与圆/+3-1)2=16相交于46两点，则ZB的长度可能为()

A.6B.7C.12D.14

【答案】B

【解析】

【分析】由直线过定点可知圆心到直线的最大距离，从而可判定相交弦的最小长度，而最大长度为直径，

可得结果.

【详解】由条件可知：直线N=去一1过定点(0,T),圆心为(0,1),半径r=4,

如下图所示，则圆心到该直线的最大距离ʤ=1-(-1)=2,而当该直线过圆心时，圆心到该直线的距离

最小为0；

由弦长公式可得：∖AB∖^2y∣r2-d2∈[4√3,8]

故选：B

【点睛】本题考察直线与圆相交弦的取值范围，属于中档题.关键在于找出圆心到过定点直线的距离范围,

以及弦长公式要熟记.

6.已知e"=lg2,b=lg(ln2),c=ln；,则4,6,c的大小关系是()

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<hD,b<c<a

【答案】C

【解析】

【分析】先求出α=ln(lg2),再根据对数函数的单调性结合中间量分别比较出。和b,c的大小即可.

【详解】由e"=lg2,得α=ln(lg2),

因为ig2<igJI6=;,

所以In(Ig2)<ln∙∣,即α<c,

因为』=加&<1112<1,所以一1<0=111工=一1112<-！，

222

则Ig(In2)>lg'>lg1=_：,

Z√10Z

所以Ig(In2)>In；,即力>c,

所以4<C<力.

故选：C.

7.已知抛物线y=16X上一点1(加,〃)到准线的距离为5,尸是双曲线]—6=1的左焦点，尸是双曲线

右支上的一动点，则Ip尸I+『训的最小值为()

A.12B.11C.10D.9

【答案】D

【解析】

22

【分析】先根据题意求出点A的坐标，设E是双曲线上—匕=1的右焦点，根据双曲线的定义可得

412

M+IPa=IP旬+归用+2α≥H周+2”，从而可得出答案.

【详解】抛物线V=I6x的准线为X=-4,

则点A(m,n)到准线的距离为加+4=5,所以加=1,

则”=±4,故力(1,±4),

22

设耳是双曲线W=I的右焦点，6(4,0)

则IP尸ITp6I=2a=4,则IP尸卜阀I+4,

til.∖PF∖+∖PA∖=∖PA∖+∖PFt∖+4≥∖AFl∖+4=y∕9+]6+4=9,

当且仅当4P,片三点共线时取等号,

所以I尸尸∣+∣PH的最小值为9.

故选：D.

8.将函数/(x)=CoS(Ox+7J(0>O)的图象向右平移7个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在

π5π

7,T上单调递减，则g的最大值为(

13

A.-B.-cD.1

44∙i

【答案】B

【解析】

ωπππ5π一,、/口71CDTl7171口Ar

【分析】求得g(x)=cosωx----+一,由XG可求得一<GX----Λ--<ωπ+-,结合函

447,T4444

数g(x)的单调性可得出关于ω的不等式，由此可得出ω的最大值.

【详解】将/(x)的图象向右平移5个单位长度后得到g(x)=cos∕x-等+£)的图象.

E、，(π5π∖L…冗ωπππ

因为X∈--,,所以一<COX-----1--<(07C4--,

(44J4444

π5πTi33

上单调递减，所以697Γ~I--≤7Γ,O<69≤—,所以G的最大值为一.

7,T444

故选：B.

16X2-24x+9,x≤1,

9.已知函数/(x)=<则下列结论:

①/(〃)=9~,〃eN*

②VX∈(0,+e),∕(x)<L恒成立

③关于X的方程/(x)=W(MeR)有三个不同的实根，则g<w<l

,π

④关于X的方程/(x)=9^(〃∈N*)的所有根之和为〃2+g

其中正确结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知递推可判定①正确；根据函数的变换规律，只需证明O<x<l时，/(x)<J恒成立，作

差构造函数，求导结合g(；)=O,可判定②错误；作出函数的图形，结合图象，可判定③正确；结合每个

区间的对称轴，利用等差数列的求和公式，可判定④错误.

[详解]由题意知，/(")=J∕∙("T)='/(〃_2)=…==所以①正确：

又由上式知，要使得∀xe(0,+8),/(x)<：恒成立，

只需满足O<x<l时，/(x)<’恒成立，即16∕-24X+9<1,

XX

即16d-24X2÷9X-1<0恒成立，

令g(x)=16x3-24X2+9x-l,x∈(0,l],ɪ/ɪɪ]g,(x)=48x2-48%+9,

13

令g'(x)=O,解得X=—或X=-,

44

当xe(0,)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

13

当x∈(了余时，g,(x)<O,g(x)单调递减;

当x∈(j+8)时，g,(x)>0,g(x)单调递增，

门、门、1

当X=Z时，函数g(x)取得极大值，极大值g(Zj->j[4所以②不正确；

4

作出函数/(x)的图象，如图所示，

由图象可知，要使得方程f(x)=m(m∈R)有三个不同的实根，

则满足/(2)<加即，<团<1,所以③正确；

由/(χ)=∖f(χT)知，函数/(χ)在上的函数图象可以由(〃一1,〃)上的图象向右平移一个单位

长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的《倍得到，

9

因为y=16∕-24x+9的对称轴为X=j故/")=9°的两根之和为引

同理可得：/(x)=9∣的两个之和为/+2,……,/(x)=9~的两个之和为巳+2(〃一1),

故所有根之和为-+(-+2)+---+[-+2(n-l)]=n2+-H,所以④不正确.

故选：B.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.

10.i是虚数单位，复数2+±4iW=

3-i3-----------

【答案】l+i##i+l

【解析】

【分析】根据虚数的性质，先计算i'=i2.i=一i，然后代入原式，利用复数的四则运算法则计算求解.

【详解】已知i3=i2.i=T

2+4i2+4i(2+4i)(3-i)IQ+lQj

所以l+i.

3≡ir3+i-32-i2-10

故答案为：1+i

11.二项式(x-j=)的展开式中的系数是.

【答案】40

【解析】

【分析】先求得二项式的通项公式,再令X的次数为2求解.

【详解】二项式(x-3)的通项公式为:=C(-2)\咤

令5--=2,解得r=2,

2

所以T=40χ2,

所以展开式中χ2的系数是40,

故答案为：40

12.已知实数α>O,b>O,α+b=l,则2"+2'的最小值为.

【答案】2√2

【解析】

【分析】运用基本不等式求和的最小值即可.

【详解】'.'a>0,⅛>0,a+b=∖,

，2a+2h≥2√2α×2A=2yj2a'ib=2∖∣2，当且仅当2"=2,即α=6=；时取等号.

故答案为：2j∑.

13.如图，直三棱柱/8C-44C；的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC,侧面BCC圈是半球

底面圆的内接正方形，则直三棱柱ABC-AxBxCx的体积为.

【答案】也

2

【解析】

【分析】底面正方形的对角线即球的直径，利用直三棱柱的性质及勾股定理可以求得AG的面积，从

而求体积.

【详解】如图所示，由题意知，球心在底面8CG4的中心。上，故BG为截面圆的直径，

则BG=2,8C=√Σ,

取BC的中点M,连接AM,AO,C1O,

易知：底面6。。也中。/〃6瓦,。河=，6目=①，am1b∖c∖*

,212

则。M，面44G，即A4M。为直角三角形，由勾股定理可得：AM=y∣AO2-OM2=-.故

2

S"∖B∖G=3xBig×AM--

所以K=S∆J∣β∣C∣×551,=—ɔ

故答案为：包

2

14.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率为90%,乙厂产

品的合格率为80%,在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为；若在该

市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为.

9

【答案】①.0.18##—②.0.86##—

5050

【解析】

【分析】根据全概率公式和条件概率公式计算即可.

【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，

恰有一个是合格品的概率为C>0.9×0.1=0.18,

若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.6χ0.9+0.4χ0∙8=0.86∙

故答案为：0.18；0.86.

15.在平面四边形48Cz）中，|酢|=|元I=|西卜次•反=1,就•更=g,贝”就I=

Bbcb=.

【答案】®.11+T

【解析】

【分析】根据丽•元=；求出8的大小，从而可判断448C的形状，从而求出|太|；再求出比.就,

从而求出NXCQ的大小，再根据8Z)∙CZ)=(8C+CZ))∙CD即可求出丽.丽.

【详解】∙.∙画=函=|西=1廊炭=；,

又声•宓=|瓦矶元kosB=；,故cos8=g,

π

0<5<π»故B=一,

3

；.“BC为等边三角形,则I刀I=L

∙.∙cz)=ι,ʌC52=P又方/反=1，；•诙2=53皮，

得反"-百灰=反.(诙-网=反∙％=o,

AClCD,

根据以上分析作图如下:

则/8CO=I50°，

则而0=网+函).函=沅.函+函2^-CBCD+CD2

,f√3∖2+√i

-[1X]X_L1ɪ—________

2)2

2+√3

故答案为：1；

2

三、解答题：(本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.在“8C中，角4民C所对的边分别为4,6,c,且44=J5c,b=ll,cosC=1.

（1）求SirL4的值；

（2）求“的值；

（3）求CoS（N-2C）的值.

【答案】（D—

5

（2）5

⑶歧

25

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角及同角三角函数平方关系即可；

（2）由余弦定理即可解得；

（3）由条件及（1）根据余弦的差角及二倍角公式即可.

【小问1详解】

34

由于cosC=—,0<C<π,则sinC=—.

因为4。=y∕5c，由正弦定理知4sirυ4=J^SinC，

则SiM=@SinC=

45

【小问2详解】

因为4α=，b=11,

21ci1621[a~

112α+121a

由余弦定理，得Ca+b-c^^5ɪɪ-53,

2ab22。2a5

即Q2+6Q-55=0,解得Q=5（负值舍去）.

【小问3详解】

由（2）知,所以0<4<*.

由（1）得cos4=JI-Sin2/—.

247

sin2C=2si∏CcosC=―,cos2C=2cos2C-I=----,

2525

所以cos(√4-2C)=COSCoS2C+SirL4sin2C

17.如图，四棱锥P—力BCD中，平面尸/8J_平面

ABCD,ABHCD,ABLAD,AB=3,AD=区AP=CD=2,NPAB=60;M是CD中点，N是PB上

-*点.

(i)证明：儿加//平面2/。；

(H)求直线PM与平面P力。所成角的正弦值;

4PN

(2)平面与平面/MN夹角的余弦值为一，求一的值.

5PB

【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)—

4

(2)28+24病

487

【解析】

【分析】(l)(i)以A为坐标原点，48为X轴，ZD为y轴，过点A作面/8C。的垂线为Z轴，建立空

间直角坐标系，求平面P/。的法向量/和直线"N的方向向量，证得确而，即可证明"N//平面

尸/O；(ii)求直线尸”的方向向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.

⑵设丽=/而=(2,0,—Q)Je[0,1],求平面04)与平面ZMN的法向量，由二面角的向量公式可

求出/,即可求出空的值.

PB

【小问1详解】

解：如图建立空间直角坐标系，以A为坐标原点，/8为X轴，为V轴，过点A作

面ZBCZ)的垂线为Z轴,则由题意可得8(3,0,0),。(0,6,0),p(l,0,6),M(1,6。),

1—■1—•

由丽=(2,o,_@,两=e,6,—6),及PN=—PB&JPN=-PB,

可得丽=2,0,_包，丽=丽_丽=-,-√3,

I33)I3

(i)设平面PZ。的一个法向量为m=(x∕,z),

-ʌ/ɜz

令z=1,得前=卜百,0,1)是平面PZO的一个法向量.

因为MN-m=--------I-OH-------=0>

所以诉_1_而.又MVU平面尸力。，

所以AfN//平面P/。.

PM-m

(ii)由⑴可得COSqPM,m

所以直线PM与平面尸力。所成角的正弦值为变.

【小问2详解】

设丽=廊=(2r,0,-G)∕∈[0,l],

则前=涯+丽=(l+2t,0,√I-何，

设〃=(xQ],zJ是平面AMN的一个法向量,

n∙AM=x∣+ʌ/ɜv.=0

则V_,

、[n∙^v=(l+2r)x1+√3(l-r)z,=0

¾x1=√3(z-l),则I=-1),1-/,27+1)是平面/MN的一个法向量,

_∣3-3∕+2∕+l∣_4

则CoS(〃?,〃

2√3(Z-l)2+(l-02+(2∕+l)25,

解得,=28+24质或公28-24版（舍去）.

487487

所以PN=28+24倔

PB487

22

18.已知々,鸟是椭圆C：=+「=l（a>b>0）的两个焦点，过g（l,0）的直线/交C于P,。两点，当/垂

a^b^

直于X轴时，且巴的面积是万.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆。的左顶点为A,当/不与X轴重合时，直线力产交直线加：x=2a于点若直线〃?上存在

另一点N,使瓦而∙EN=O,求证：4。,N三点共线.

【答案】（1）Ξt+Z=ι

43

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据已知条件及椭圆的定义求得。、〃的值即可.

（2）设直线PQ方程，联立其与椭圆方程可得K+M，乂%,联立直线4尸的方程与直线机方程可得点”

坐标，求出月M的斜率，得到直线EN的斜率，求出直线6N的方程，得到点N坐标，再证明上也=以N

即可.

【小问1详解】

依题意知，c=l,所以/=/+1.

31I3

因为△尸片用的面积是,即］χ2χ∣尸用=：,解得IPEl=1，

所以附I=JKT+4=不

从而2α=IMl+|尸石|=4,解得〃=2,

所以∕=3,椭圆的标准方程为《+广=1.

43

【小问2详解】

由（1）知，力（一2,0）.

依题意，设直线/方程为X=吵+1,尸（国,乂）,0（4，8），

X=my+∖,消去X得Q∕√+4)y2+6my-9=0,

由

3x+∙,y—12,

-6m-9

π则l乂

3MJ2+4

必乂

直线NP的斜率七J=,直线ZP的方程：y=(x+2),

X1+2X1+2

6凹、

而直线加：工=4,所以M4,

I1+2,

直线EM的斜率_x,+2_2y,

勺泌―彳了一卡1

而即，与

F)ΛL∕∙ZF,N=O,44N,

.x+2

所以直线5N的斜率/加=一片l］.

x∣+2（7,则点U

因此直线居N的方程：V=-U—

2乂

所以直线力N的斜率心2%_否+2.

KAN

4-(-2)4凹

y

又直线/0的斜率左险2

X9+2

2)歹必+加

y,my↑+3m+43(M+%)+9

则^AQ一AN%-----2-----1---------

4凹

X2+2I^l)my2+344/(秋+3)

-9(w2+4-6m∙3m

而(加2+4)必8+3”?(乂+%)+9=+2+9=0，即^AQ~，

2>m^+43W+4

所以4。,N三点共线.

19.已知等差数列｛%｝的首项为1,前〃项和为S“，单调递增的等比数列｛b,｝的首项为2,且满足

b2+S2=7也+S?=14.

(1)求｛%｝和也｝的通项公式；

⑵证明：3Sn=anSn+,-(a,,-1)5„(n∈N*)；

nTs1

(3)记低｝的前〃项和为北，证明：E十ʃ<£〃(〃+1)(〃+2).

/=1½ʒ

【答案】(1)an=n,bn=2"

(2)证明见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据条件，列出关于巩"的方程组，即可求解；

(2)根据数列的前〃项和S“与。”的关系，集合等差数列的通项公式，即可证明；

=；〃(〃+1)(〃+2).

TsI

(3)首先化简并放缩不等式，ɪʃ</(/+I)=-[∕(z+1)(/+2)-(z-l)z(/+1)],再利用裂项相消求和,

即可证明.

【小问1详解】

由题意，设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛〃｝的公比为q(qkl),

S⅛b2+S2=7也+S3=14,

2q+d+2=7,/=5,

所以《即

2g2+3d+3=14,3d=11.

4=2,

解得《q；=L:(舍去)，或

d=3d=1,

所以=2".

【小问2详解】

∕j(∕7+l)

由(I)知s“

2-

所以%S,,M—(α“一1)S“=aπ(5n+‰)-(α,,-l)ξ,

=Sn+α,4+∣=S,,+〃(〃+1)=3Sn.

【小问3详解】

2∙(1-2H),

由(1)知—------<=2,,+l-l-

1-2

所以T1S1_(2*'τ)∙^y^_(2J)∙i(i+l)

<i(i+l)

42i

=；口(，+1)(，+2)-(，T)，C+1)]

/rΓC11

所以X-t^L<[[L(1+1)(1+2)-(1-1)∙1∙(1+1)]+[[2∙(2+1)(2+2)-(2-1)∙2∙(2+1)]

Z=I½35

+…+:](〃-

1)«(«+1)-(n-2)(1-1)«]+g["O/7+1)(77+2)-G-],H+1]

nTq1

即E十<¥〃(〃+1)(〃+2)

/=Jbj3

20.已知函数/(x)=χ2-2(α+l)x+2alnx(αeR).

(1)当。=2时，求曲线y=∕(x)在点(IJ⑴)处的切线方程;

(2)若函数/(x)有极大值，试确定。的取值范围；

(3)若存在Xo使得/(x0)+(InXo—2a)<1工。？一(万。+2卜+了ɑ?+二成立，求。的值.

【答案】(1)y+5=0

(2)(0,l)∪(l,+∞)

1

(3)a=-

5

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义，求曲线的切线方程；

(2)首先求函数的导数，W=2(XTXX?),再讨论叫判断函数的单调