2023年高考全国Ⅰ卷模拟测数学试卷1（解析版）

2023年新高考全国I卷模拟测试卷01

数学

一、单选题

1.已知集合”={凡/-2万>。}和代={对11(》+1)>1},贝I]()

A.NQ.MB.MC.N

C.M7V=(e-l,4w)D.MN=(YO,0)_(e-l,同

K答案DD

2

K解析D.M=1x|x-2x>oj={-oo,0)o(2,+OO),N={x|ln(x+1)>l}=(e-l,+8),

，A、B选项错误；

：.MN=(2,”)，M7V=(^,0)(e-l,+^),故C错误，D正确.

故选：D.

•2023

2.已知复数2=32侬+三，i为虚数单位，则复数Z在复平面内所对应的点位于()

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

K答案》c

K解析H因为复数z=2产”+三=_2_!=_2_1=_2_手=_|*一：1,

1+11+1(1+1)(1-1)222

所以复数Z在复平面内所对应的点为,g，-；),该点位于第三象限.

故选：C.

3.已知多项式(x-2p+(X-1)6=%+4%+%12+…+火工5+〃616,则0产()

A.11B.74C.86D.-1

K答案HB

K解析U对于(尤-2)5,其展开通项公式为却1=《产'(-2)「，

令5—r=l,得/«=4,故4=C；x(—2『=80x,

A

对于(x-if,其展开通项公式为Tk+l=6d(_]),

令6-Z=l,得％=5,故(=C江(-1)'=-6尤，

所以q=80—6=74.

故选：B.

4.在如图的平面图形中，已知。例=1,0%=2,/用3/=120,8知=2攸4,。7=2乂4,则

BCOM的值为（）

C.-6D.0

K答案》c

工解析』如图所示，连结

由=2MA,CN=2NA可知点用,N分别为线段AB,AC上靠近点A的三等分点,

则BC=3MN=3（0N-0M）,

由题意可知：

0M'=I2=1'OMOA^=lx2xcosl20=-1>

结合数量积的运算法则可得：

BCOM=3（ON-OM）OM=30N0M-3OM2=-3-3=-6.

本题选择C选项.

5.已知函数/（x）=sin（2x+0）（0</<兀）的图象关于直线x=；对称，则。的值为（）

6

兀一兀一兀、2兀

A.—B.-C.-D.—

12633

K答案WB

K解析》由题得：/仁）=±1，故/9=也+］化eZ）,而0<°<加，所以9吟

故选：B.

6.三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神

树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼

器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如

图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体

的侧面，圆柱的高为12cm,圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球0上，则球。的

表面积为()

A.727tcm2B.1627tcm2C.216兀cm?D.2887tcm2

R答案HC

R解析』不妨设正方体的边长为2a,球。的半径为R,则圆柱的底面半径为小

因为正方体的体对角线即为球。直径，故2R=2g”，

利用勾股定理得：62+a2=R2=3a2,解得a=18,球的表面积为

S=4TIR2-471X3X18=21671.

故选：C.

7.已知数列｛《,｝的前〃项和为S“，4=1,若对任意正整数小5,田=-30向+4+3,

则实数。的取值范围是()

A.卜,|)B,[1,|)C,[2,|)D.(-2,3)

K答案UC

R解析2因为=-3a““+《,+3,a,=1

3

当〃=1时，5,=-3a,+a,+3,解得“2=7，

当“22时，S,=-3q,+%+3(“22),则%=-3。向+4%-%，

即21-q=；(〃-%),又2%-q=；,

所以｛2°,川-可｝是首项为｝,公比为3的等比数列，

所以21-q=5，则2"&“-24=1,又2%=2,

所以{2"凤}为首项为2,公差为1的等差数列，

贝U2"+1,则仆=竽，

所以S”+i+%+|=-2・^^+^^+3=3_g,又$+q=2=3一击，

则S,+4=3一击(〃eN*),XS„+a„>(-))"a,

所以3-击>(-l)"a,

当”为奇数时，3-击〉-a,而3-击*2,则2>-a,解得。>一2;

当〃为偶数时，3-击>a,而3-击zg,则a<g；

综上所述，实数〃的取值范围为,2,1]

故选：C

8.已知alna=l,e"=3"，a"=2。，则()

A.n<p<mB.p<n<mc.n<m<pD.fn<p<n

K答案XA

K解析Df{x}=x\nx,_f(x)=lnx+l=O,x=~,

e

令ra)>o,解得：x>~.令ra)<o,解得：o<x<~,

ee

所以/(x)在(o，j上单调递减，在+8)上单调递增，

』+a(1儿、

/(1)=0<1,/(e)=e>l,«In67=1,则〃w(l,e),m=Ge2,e2+c,

I/

w=aln3G(ln3,eln3),e2>e]n3，：.fn>nf排除D.

p\na=e\n2,则3=01112,p=ae\n2,eln2>In3,：.P>n,排除B.

a

比较住+"与"eln2大小，先比较与aln2大小，

cV

_L।_[

X2

/(x)=e-x--,xe(l,e),y-(x)=e'^-i,Xe(i,e)>

因为xe(l,e),所以/，(x)=e与一1>0

所以/(x)在(l,e)上单调递增，/(x)„,in>/(l)=e5-l-l>0,

a--1a-11

所以e2>a+—,所以e2>a+—>aln2+—>«ln2,

222

:.m>P,综上

故选：A.

二、多选题

9.下列命题中，正确的命题是()

A.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，

已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人

B.在”次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的

2

概率，若E(X)=30,D(X)=20,则p=：

C.设随机变量f服从正态分布N(0,l),若Pe>l)=p,则P(T<J<o)=g-p

D.己矢口P(BA)=0.34,尸(8)=0.71,则P(而)=0.37

K答案UACD

K解析》对于A选项：根据分层抽样可得高一抽取20人，高二抽取18人，高三抽取19

人，故A选项正确；

对于B选项：在〃次独立重复试验中，E(X)=〃p=30,D(X)=〃p(l-p)=2(),

21

1故B选项错误；

对于C选项：随机变量4服从正态分布N(o,l),若P(»=p,则20<兴1)=；-0，

因为正态分布的对称性关于J=0对称可得P(-l<片<0)=；-。，故C选项正确；

对于D选项：848K互斥，，「(8)=尸(54)+;>(8力=0.34+/2力=0.71,

P(BA)=0.37,故D选项正确.故选：ACD.

10.已知正数“，b满足"=a+b+l,则()

A.。+匕的最小值为2+2&B.必的最小值为1+应

C.』+」的最小值为2应_2D.2"+4"的最小值为16&

ah

K答案》AC

K解析力对于A,a+b+l=ab=>（a+b）~-4（a+b）-4>0^>a+b>2+2-j2,

当且仅当a=。时成立，A正确；

对于B,ah-l=a+h>2y[ah,即（7^）-2\[ah-\>0,可得7^21+及，

所以访N3+2&，当且仅当a=6时成立，B错误；

对于C,'+<=*色=^^=1L后=2叵-2,当且仅当时成立，C正确;

ahahahab工3+2：42

对于D,由a+8+1="分=4=（a—1）（2/>-2）=>a+2b>l,

当且仅当a=»-3,即a=2,2A=5等号成立，

所以2"+4〃22亚西22后=16夜，止匕时”=⑦，不能同时取等号，所以D错误.

故选：AC.

11.己知函数/（%）=5叩％+向，下列说法正确的有（）

A.〃x）在画）上单调递增

1l^rr

B.若〃亦/⑸方则…广丁eZ

C.函数〃x）的图象可以由y=cos2x向右平移。个单位得到

D.若函数>=/（皆）（0>0）在（0马上恰有两个极大值点，则小（7,1司

R答案XBD

K解析?令-1<2x+H，则即/（x）的单调增区间为,则/*）

2623oI30/

在（0弓）不单调，故选项A错误；

令/（工）=，，则2x+—=—+2ZTT^2X+—=—+2/：7C,即犬=依或二+E,AcZ,

266663

由/（3）=/（々）=；,则&-玉=]+E或kt,k&Z,即々一%=（3&；）兀或与,故选项

B正确；

y=cos2x向右平移g个单位变为y=cos2（尤-酊=cos（2x-寻]=sin（2x-〃x）,故选

项C错误;

对于D,/曰=sin(5+E>0<Y，

/(x)在(0,外上恰有两个极大值点，即卜但?<?+呆兀<殳+2、，

\66362362

即7<。413,故选项D正确.故选：BD.

12.已知偶函数y=f(x)与奇函数y=g(x)的定义域均为R,且满足/(x)—g(x+l)=l,

g(x)+/(5-x)=3,则下列关系式一定成立的是()

A.”x+2)-g(x+3)=lB./(1)=3

C.g(x)=-g(x+3)D.1/(x+8)=/(x)

K答案UAD

R解析2由/(x)—g(x+l)=l,将X换为X+2知/(x+2)—g(x+3)=l,故A对；

/(x)-g(x+l)=l,奇函数y=g(x)中g(0)=0,

则/(—i)—g(o)=i，；"(T)=1，由y=f(x)为偶函数，.."(i)=i，故B错；

/(x)=g(x+l)+l,.-./(5-x)=g(6-x)+l,

又g(x)+J(5-x)=3,;.g(x)+g(6-x)+l=3,

:.g(x)+g(6-x)=2,.•.g(3)=l,g(0)=0,g(0)W-g(3),故C错,

/(x)-g(x+l)=l,则/(x—l)—g(x)=l,即g(x)=/(x—l)-l.

g(x)+〃5-x)=3,.•J(x-l)-l+〃5-x)=3,

.•./(x-l)+/(5-x)=4,即“x)+"4_x)=4,

/(x)为偶函数，.・J(-X)+F(T+4)=4,

.-./(x+4)+/(x)=40,.-./(x+8)+/(x+4)=4@

由①②知〃x+8)=/(x),故D对.故选：AD.

三、填空题

13.过氧化氢(凡0?)是一种重要的化学品，工业用途广泛，通过催化H?和O?直接合成

也。2目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中，已

知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由16。，18。及也，2H，3H五种原子中

的几种构成的过氧化氢分子，则分子种数最多为.

K答案218

K解析D过氧化氢分子中有2个氧原子和2个氢原子，共4个原子.

构成过氧化氢分子的氧原子可以从2种不同的氧原子中选出1种或2种，取法共有

G+C”3(种)；

构成过氧化氢分子的氢原子可以从3种不同的氢原子中选出1种或2种，取法共有

C；+C；=6(种).

因此构成的过氧化氢分子的种数最多为3x6=18.

故K答案U为：18.

14.已知/(幻是定义域为R的奇函数，且当xvO时/(x)=e3贝Ij/(ln2)=.

K答案H

R解析》由ln2〉0,得—ln2<0,又当x<0时/(x)=e',所以了,；卜=g.由/(x)

是奇函数，得/(-x)=_/(x),

所以/(In2)=-/(-In2)=-/^ln^=-1.

故K答案』为：-万.

22

15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x-l)2+y2=2,0C2:(x-a)+(y->/2)=12.

若圆G上存在两点A，B,且圆G上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数,

的取值集合是.

K答案U{6,0,2,-4}

R解析》设尸(4,几)，OP中点网蓝或，。也是AB中点，AB=OP=《x：+y；,

因为。也是AB中点，所以GQLA8,

C,D=

因为。在圆G内，所以CQe[0,血)，.•.0Mx：+$48,

又因为G（1,O）,。俘曾，所以CQ=径一ij+手=卜££,

（或>—I）+）o=3>

在（x-»+y2=3上，P又在圆G上，满足条件的尸恰好有一个点，

，两圆有且仅有一个公共点，

；•1（1-4+2=6+26或J（l-4+2=26-5

。=6或T或0或2,所以。的取值集合{6,0,2,7}.

故K答案U为：{6,0,2,-4}.

16.如图，在正方体A88-A4GA中，点P在线段8G上运动，有下列判断:

①平面平面AC2；

②平面ACA

③异面直线AP与4R所成角的取值范围是（05;

④三棱锥Dt-APC的体积不变.

其中，正确的是（把所有正确判断的序号都填上）.

K答案H①④

K解析D对于①，根据正方体的性质，易得：AC,平面平面8BQ,

.•.4CLBQ,同理可得：4。，80,且4。|AC=A,.^.4。_L平面4CA；

且BQu平面P8Q,所以平面尸平面ACR,①正确；

由①知，平面4CR,8/不平行于BQ,所以耳P不垂直于平面AC。，②错误;

AD\"BC\,所以异面直线AP与AR所成角，即Af与BG所成角,

当P与线段8G的中点重合时，所成角为90，故③错误；

三棱锥D,-APC的体积等于C-APR的体积，

因为C到平面APDt的距离不变，且三角形APR的面积不变

所以三棱锥2-4PC的体积不变，④正确

故K答案》为：①④

四、解答题

17.在①迎二啜”=岛，②壮以吗+1),③csin5=bcos(c—g这三个条件

sinCb2VtanB)16J

中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在一ABC中，内角A、B、C的对边分别为。，b,c,且满足.

(1)求C；

(2)若A8C的面积为1()6，。为AC的中点，求BO的最小值.

解：(1)选①时，3(b-*sA)=o,利用正弦定理得：

sinC

有

sin-sinCeosA=—2-sinAsinC,

3

由于3=兀一(4+。，所以sin5=sin(A+C),故sinAcosC=3sinAsinC,

3

又Ae(0,兀),sinAwO,整理得tanC=\/5,

Tt

0<C<7i,故c=—.

3

选②时，股+1],利用正弦定理得：sinA_1（sinCcosB+1_sin（B+C）

b21tan8)sinB2vcosCsinBJ2cosCsinB

由于A+C+8=7l,所以sin(8+C)=sinA,即2sinAcosCsin3=sinBsinA,

i兀

又Aw（0,;r）,sinAwO,BG（0,^）,sinBwO,故cosC=w，0<C<7i»故。=一.

23

选③时，csinB=/?cosfc-^-1,利用正弦定理得：sinCsinB=sin3cos〔C一己）

又6G(0,兀)，sinBwO,整理得sinC=cosjc—C]=@cosC+，sinC.

I6J22

/-a—7t

所以sinC=GcosC,整理得tanC=6，0<C<7C,故C=§.

（2）由于，13c的面积为loVL所以，；"sinC=g"-*=10g,解得必=40.

在△BCO中，由余弦定理得：

BD2=a2+-——abcosC=a2+------^-ab>2a--■^-ab=—ab=20,BD>2后,

442222

当且仅当a=：。，即a=26，b=4后,BO的最小值为26.

18.已知数列｛q｝,｛4｝满足q=-2伉=4,且｛4｝是公差为1的等差数列，｛%+“｝是公

比为2的等比数列.

（1）求｛4｝，｛2｝的通项公式；

（2）求｛同｝的前〃项和7“.

解：（1）因为｛4｝是公差为1的等差数列，4=4,所以q=〃+3.

又｛4+"｝是公比为2的等比数列，a,+4=2,所以见+a=2",

故么=2"-4=2"-“-3.

（2）因为%-4=2"-1>0,所以也｝为递增数列,

又b、=-2,々=-1,a=2,故当“23时，恒有4>0,

〃+3-2",〃<3,

故hi=,

2n-n-3,n>3.

记也｝的前〃项和为S“,

则S.=(2、22++2>(4+5++〃+3)=2(J2")_^±Z)=2向，卬〃士4

1—222

当〃<3时，7；=_S“=_2"i+'r+7〃+4；

2

+,n+7n8

当”23时,7；=-4-、+%+d+-+bn=-S2+S„-S2=Sn-2S2=2"--.

_2"+i++7〃+4

,〃<3,

综上，T„=-

n2+7/?-8

,n>3.

2

19.三棱柱ABC-ABC中，AB=ABi=AAl=AC=2,ZBAC=120,线段的中点为

M,S^BC±AM.

BL

（1）求A4与8C所成角的余弦值；

（2）若线段4G的中点为p,求二面角尸-A的余弦值.

解：（1）在线段8c上取一点N,使CN=g3C,

在三棱柱ABC-A耳G中，A8〃A4,

在△44A中，因为4B1=AA，M是4向的中点，

所以，

所以40_LAB,

因为AM_LBC,BCoAB=B,BC,ABu平面ABC,

所以AM_L平面ABC.

在；A3N中，由余弦定理得：

AN2=AB2+BN2-2ABxBNxcos30=-,

所以=3N?,所以AB_LAN,

以A为原点，AB,AN,AM所在直线分别为x轴，y轴,

建立如图所示的空间直角坐标系。-Wz,

A（O,O,O）,B（2,O,O）,Bl（l,O,73），A（-hO,73）,C（-l,^,O）,设c"x,y,后卜

因为8C=BGn（-3,Mo）=（x-1,y,0）=C,（-2,底也）

所以例=卜1,0,@,8C=卜3,A0）,

设直线AA与8c所成的角为，

AABC

所以cose=|cos<A4］，BC>|,,

11AA^BC4

（2）因为线段Bg的中点为乙

所以P-g等，右］

设平面丛4的一个法向量〃i=（与,加4）,

因为"=一;耳,同,明=（1,0,回

几IJLAP

所以

勺±AB]

令4=1,贝!|%=-V3,y=—3,

所以/=卜百，-3,1）.

由（1）40，平面ABC,AMu平面44片,

所以平面平面A8C,

又平面AAB/平面ABC=45

又ABLAN,ANu平面ABC,4V<Z平面AA/

所以平面AAA，

所以AN为平面AA瓦的一个法向量，

而AN在）'轴上，

UUU

所以取平面44用的一个法向量AN=（O,l,O）,

设二面角P-ABt-A的平面角为a,

III/i3折

|cos«|=cos（n„n2）=—vj—=——）

'1司|«213

由图可知：a为锐角，所以cosa=^3.

13

所以二面角P-Aq-A的余弦值为曲.

13

20.人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端

科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本

原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再

根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相

同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个

白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸

出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或

乙袋的概率均为;（先验概率）.

（1）求首次试验结束的概率；

（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调

整.

①求选到的袋子为甲袋的概率，

②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案

一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案

第二次试验结束的概率更大.

解：（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件A，“取到乙袋”为事件4,“试验结果为红球”为

事件印，“试验结果为白球”为事件显，

⑴尸（4）=尸⑷P（4⑷+尸⑷尸（4|4）=；*+3/=4

41KJL1vz

所以试验一次结果为红球的概率为蒜.

O

（2）①因为耳，也是对立事件，P（B2）=1-P（B,）=^,

11

所以P（A历）_/（4&）,闻A）P（A）_0」

所/（引6反）一尸（鸟）一2一9，

20

所以选到的袋子为甲袋的概率为"

7

1Q

②由①得尸⑷员）=i-p（A闯=1-

所以方案一中取到红球的概率为：

1QO2S

6=P（A隹）P（4|A）+P⑷8"⑻4）=3，？+方正=五,

方案二中取到红球的概率为：

oO1237

2=尸（4闯尸（耳⑷+P（A区）P（瓦⑷=/记+不正=行,

375

因为2＞弓，所以方案二中取到红球的概率更大♦

4518

21.已知双曲线C:：-4=1（“力＞0）的实轴长为4,左、右顶点分别为A，4,经过点

a'b-

8（4,0）的直线/与C的右支分别交于M,N两点，其中点M在x轴上方.当/_Lx轴时，

\MN\=2y/6

k

（1）设直线〃A，“的斜率分别为占，a求才的值；

（2）若N8&N=2/34M,求.的面积.

解：（1）法一：

因为2。=4,所以。=2,令x=4得y2=382,

所以|河川=2技=2后，解得/,=应，

，■＞

所以C的方程为三-工=1

42

显然直线MN与）‘轴不垂直，设其方程为x=0+4,

x=ty+4

联立直线MN与C的方程*),2,消去X得，2一2卜2+89+12=0,

[42

当广工2时，A=16产+96>0,

Qf12

设M(X，M)，N(毛,必),则My防=-p-i-

因为人=等？e=1x2+2

2%

所以&=(-2+2)=@+6乂仇+6)

K2yly2

⑵248产“

二产弘必+6/(。+K)+36/_2-J_2+一

2yM一

“-2

法二：

22

•・•双曲线c的方程为

设MN方程为x=阳+4,M(百,y),N(电,%),A(-2,o),A,(2,0),

x=阳+4

联立可得(〃?2_2)、2+8加)，+12=0,加2关2,

x2-2y2=4

),9Of/Z1X.

A=64/n-4(/n-2)x12=AW+6>0,X+%=-----%，X%=-o-----

"一2m~-2

.k-k.%

X]+2x?—2

.殳=NNX|+2=%(，孙+6)="%y?+6%

一k、x,-2%(/ny,+2)ylmyxy2+2{y,+y2)-2y2

12m/

T°+6%

m-2

12—16/n.-Am八

2上1+门一2%T。-2%

m-2

(2)法一:

因为/BA2N=2/BA[M,

2tan/8AM

所以tan/B%N=tan2/BA^M

l-tan2^B4M

又因为Z]=tan/841M/2=-tan/BA?N,

72匕72k.

所以一的=/，即&2=正）,(X)

将七=-3k,代入（※）得-3仁=,

因为M在X轴上方，所以匕=等，所以直线“4方程为y=

+2),

y=*(x+2)

联立C与直线"A方程2,，消去)'得，X2-8X-20=0.

土上1

I42

解得x=10或x=-2（舍），所以“（10,4g）,

代入了=0+4,得t=@,所以直线MN方程为x=^y+4,

22

[6