人教A版高中数学必修4学案第1章阶段综合提升第1课弧度制任意角三角函数

第一课弧度制、任意角三角函数[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]象限角及终边相同的角【例1】已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).[解](1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝eq\f(14,9)π，∴α＝－800°＝eq\f(14π,9)＋(－3)×2π.∵α与角eq\f(14π,9)终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z.又γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,2)＜2kπ＋eq\f(14π,9)＜eq\f(π,2)，k∈Z，解得k＝－1，∴γ＝－2π＋eq\f(14π,9)＝－eq\f(4π,9).1．灵活应用角度制或弧度制表示角．(1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用．(2)角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α·\f(180,π)))°，n°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n·\f(π,180)))rad.2．象限角的判定方法．(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．eq\o([跟进训练])1．在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角．[解](1)与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)．由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.弧度制下扇形弧长及面积公式的计算【例2】已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[解](1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，∴l＝αR＝eq\f(10π,3)cm.S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10－eq\f(1,2)×10×10×coseq\f(π,6)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(,3),2)))cm2.(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝eq\f(c－2R,R)，∴S扇＝eq\f(1,2)αR2＝eq\f(1,2)·eq\f(c－2R,R)·R2＝eq\f(1,2)(c－2R)R＝－R2＋eq\f(1,2)cR＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(c,4)))eq\s\up24(2)＋eq\f(c2,16).当且仅当R＝eq\f(c,4)，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是eq\f(c2,16).弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：1明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角；2涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.eq\o([跟进训练])2．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．[解]∵120°＝eq\f(120,180)π＝eq\f(2,3)π，∴l＝6×eq\f(2,3)π＝4π，∴eq\x\to(AB)的长为4π.∵S扇形OAB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝eq\f(1,2)×AB×OD＝eq\f(1,2)×2×6cos30°×3＝9eq\r(3).∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq\r(3).∴弓形ACB的面积为12π－9eq\r(3).任意角三角函数的定义【例3】(1)若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，则a的值为()A．4eq\r(3) B．±4eq\r(3)C．－4eq\r(3)或－eq\f(4\r(3),3) D.eq\r(3)(2)已知角α的终边经过点P(12m，－5m)(m≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．(1)C[因为角α的终边上有一点P(－4，a)，所以tanα＝－eq\f(a,4)，所以sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1)＝eq\f(－\f(a,4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)))eq\s\up12(2)＋1)＝eq\f(\r(3),4)，整理得eq\r(3)a2＋16a＋16eq\r(3)＝0，(a＋4eq\r(3))(eq\r(3)a＋4)＝0，所以a＝－4eq\r(3)或－eq\f(4\r(3),3).](2)r＝eq\r(12m2＋－5m2)＝13|m|，若m＞0，则r＝13m，α为第四象限角，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－5m,13m)＝－eq\f(5,13)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(12m,13m)＝eq\f(12,13)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－5m,12m)＝－eq\f(5,12).若m＜0，则r＝－13m，α为第二象限角，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－5m,－13m)＝eq\f(5,13)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(12m,－13m)＝－eq\f(12,13)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－5m,12m)＝－eq\f(5,12).利用定义求三角函数值的两种方法.1先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.2取角α的终边上任意一点Pa，b原点除外，则对应的角α的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝\f(b,a).当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.eq\o([跟进训练])3．已知角α的终边在直线y＝eq\r(,3)x上，求sinα，cosα，tanα值．[解]因为角α的终边在直线y＝eq\r(,3)x上，所以可设P(a，eq\r(,3)a)(a≠0)为角α终边上任意一点．则r＝eq\r(,a2＋\r(,3)a2)＝2|a|(a≠0)．若a＞0，则α为第一象限角，r＝2a，所以sinα＝eq\f(\r(,3)a,2a)＝eq\f(\r(,3),2)，cosα＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，tanα＝eq\f(\r(,3)a,a)＝eq\r(,3).若a＜0，则α为第三象限，r＝－2a，所以sinα＝eq\f(\r(,3)a,－2a)＝－eq\f(\r(,3),2)，cosα＝－eq\f(a,2a)＝－eq\f(1,2)，tanα＝eq\f(\r(,3)a,a)＝eq\r(,3).同角三角函数基本关系和诱导公式的应用【例4】(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝.(2)已知f(α)＝eq\f(sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).①化简f(α)；②若f(α)＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值；③若α＝－eq\f(47π,4)，求f(α)的值．思路点拨：先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．(1)eq\f(1,3)[由已知得－sinθ－2cosθ＝0，故tanθ＝－2，则eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(－2＋1,－2－1)＝eq\f(1,3).](2)[解]①f(α)＝eq\f(sin2α·cosα·tanα,－sinα－tanα)＝sinα·cosα.②由f(α)＝sinα·cosα＝eq\f(1,8)可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，又∵eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，∴cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0，∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(3),2).③∵α＝－eq\f(47,4)π＝－6×2π＋eq\f(π,4)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47,4)π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47,4)π))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47,4)π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(π,4)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)·sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).1．将本例(2)中“eq\f(1,8)”改为“－eq\f(1,8)”“eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)”改为“－eq\f(π,4)＜α＜0”求cosα＋sinα.[解]因为－eq\f(π,4)＜α＜0，所以cosα＞0，sinα＜0且|cosα|＞|sinα|，所以cosα＋sinα＞0，又(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))＝eq\f(3,4)，所以cosα＋sinα＝eq\f(\r(3),2).2．将本例(2)中的用tanα表示eq\f(1,fα＋cos2α).[解]eq\f(1,fα＋cos2α)＝eq\f(1,sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinα