2023年8月第一届“鱼塘杯”高考适应性练习数学参考答案和评分标准

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2023年8月第一届“鱼塘杯”高考适应性练习

数学参考答案和评分标准

本参考答案和评分标准共8页，22小题，满分120分.

注意事项：

1.本参考答案和评分标准第I卷部分提供了答案和解析，第II卷部分提供了标准解答和

评分标准.

2.第II卷部分每一题只给出了一种解答提供阅卷参考，如果出现新的解答，按照本参考

答案和评分标准的精神，划定步骤分评分.

3.如果考生发现自己的改卷结果和本参考答案和评分标准不一致，可在官方QQ群中©

任意一个管理员进行申诉，申诉时需要提供准考证号和自己的解答拍照.

4.本联考活动最终解释权归鱼塘杯联考命题组所有.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

本题主要考察基本知识和基本方法.

1.设集合4={刀|①(①一4)(,-5)=0},则集合4的非空真子集的个数是

A.5B.6C.7D.8

【答案】B.

【解析】注意到A={0,4,5},因此A的非空真子集个数为23-2=6.

2.如果a=(1,2),b=(3,z).若(a+b).a=0.则①的值是

A.2B.-2C.4D,-4

【答案】D.

【解析】注意到a+b=(4,2+0，所以0=(a+b)-a=4+2(2+/),解得z=—4.

3.已知线段则平面上全体满足\AP\2+\BP\2为定值C>丝E的点P的轨迹是

A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线

【答案】B.

【解析】考虑一个三角形4BC,。河为这个三角形的中线，那么在两个小三角形中，根据

\CM\2+\MA\2-\AC\2\CM\2+\MB\2-\BC\2

余弦定理，有2\CM\■\MA\+=0'因此|C71|2+|CB|2=

2\CM\■\MB\

2(|CM|2+\MA\2),因此若\PA\2+\PB\2为定值，其一定在AB中点M为圆心，确定半径

的一个圆上运动.

Y数学试卷(参考答案和评分标准)第1页(共8页)

4.设ZeC,满足三一2023eR,其中i为虚数单位.则在复平面内，2表示的点的轨迹不经

Z—1

过的象限是

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C.

【解析】考虑向量意义意思是说2023,i共线，这个直线过第一、二、四象

Z—1

限，不过第三象限.

5.已知二项式(1+2为13的展开式中第k项系数最大，则(2+z户展开式的二项式系数和是

A.210B.310C.29D.39

【答案】A.

【解析】用Tk表示二项式(1+2H尸3中第k项系数，若二项式(1+2》尸3中第k项系数最

大，则有鼻-《£》号+1,其中，=。髭12-1,解得卜=10,所以(2+x)k展开式的二项

式系数和为210.

43

6.如果sin(a+0)=工，sina=E，那么cos£所有取值的和是

00

AYB."C.空D.竺

25252525

【答案】C.

【解析】cos。=COS[(Q+G)—a]=cos(a+6)cosa+sin(a+0)sin£,然而cos(a+。)和

24

cosa都有正负两种取值，最终可以得到这些的和为宝.

10

7.函数f(x)满足：任意71£N*,f(n)》5n.且f(x+g)=f(x)+f(y)+Wxy,则£f(i)

i=l

的最小值是

A.1775B.1850C.1925D.2000

【答案】C.

【解析】注意f(x+y)-5(x+y)2=f(x)-5x2+f(y)-5y2,设g(x)=f(x)-5x2,那

么gO+y)=g(z)+g(v),因此g(")=g("-1)+g⑴=-=ng⑴=n[/(l)-5],因此

101010

/⑺=5n2+[/(l)-5]n》5n,取n=1,得到/(I)》5.所以£f(i)=5£i2+[/(l)-5]fi》

i=li=li=l

io

5£产=1925.设f(x)=5x2,等号成立!

1=1

8.已知G(0：，满足cosQ+g)+coscsinccosy—sinycosgsincW0、则下列关系式

一定成立的是

7T7T

A.c-g40B.x—y0C.+D.—x+y<TT

【答案】D.

【解析】原不等式左侧=cosxcosy—sinxsiny+(cosx-siny)sinxcosy=sinxcosy

——tany4-cosx—sin7/^=sin优cosy[tan—力)+sin(^一力)一tang—sing].因为

Y数学试卷(参考答案和评分标准)第2页(共8页)

x，y£（°，万），所以sinxcosy》0.因此原不等式可变为tan一c）7T

+sin2~X(tany+

sing.设/（c）=tan①+sini,i€（。，］），易知/（二）在定义域上单调递增，且原不等式即为

（万7T一。\）W"切，故有-7T-x^y,即rc+y）万7T。由取值范围易知x+y<7T,所以

-7T^x+y<7T.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

本题主要考察基本知识和基本方法的适当扩展.

9.给定一组均为整数的样本.现在将这个样本同时加上a€Z,则下列说法正确的是

A.平均数增大a

B.方差不变

C.如果a是奇数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变

D.如果a是偶数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变

【答案】ABD.

【解析】A和B显然正确.如果a是奇数，和这组数据中的每一个相加，奇偶性替换，所以

是奇数的概率不一定不变；如果a是偶数，相加后奇偶性不变，所以奇数的概率不变.

10.已知数列｛%｝满足：an+l=al+2an,%=1,则下列说法错误的是

A.a4=255B.｛an+1｝是等比数列

C.｛^｝是递增数列D.若令加=a”+1,则bn=22时2

【答案】BD.

21

【解析】不妨令bn=an+1,则有b九+i=%=2'2\bi=%+1=2,故如=2",an=

8

a?*】一1.计算可得a4=2-1=256-1=255.

皿岑=22"、不为常数，所以｛册+1｝不是等比数列.

注意至U攀-1=点?2时，因为2"T>1,所以

说（"1）（22+1）

2九>2九T+1,所以22rl>22n-1+1=2•22rl一，所以n2n-（n+1）22"-1>22"-1.（n-1）>1,

所以*—l>0;n=l时空—l=5>0;综上，驾—l>0,驾>1,空>上,

谭2曲曾n+1n

故｛肾｝单调递增.

根据上述结论，鼠=22”一.

11.已知四面体ABCD,AC=BD=®AD=BC=V10,AB=CD=713,球。是四面体

A3。。的外接球，P,Q分别是直线上一动点，则下列说法正确的是

A,。“3=曳国

130

B.\PQ\的最小值为2

Y数学试卷（参考答案和评分标准）第3页（共8页）

C.球O的表面积为147r

D.若球0,与球。球心相同，半径为3,则球0'截直线BC的长为4^2

【答案】BCD.

【解析】作出一个长方体，其正面水平边长为3,侧面水平边长为2,高为1,取其左前上方

顶点为4,右后上方顶点为6，左后下方顶点为。，右前下方顶点为则即为四

面体ABCD的四个顶点.

AC2+BC2-AB2V2

首先有cosZ.ACB—

2AC-BC10

然后〔PQImin即为直线AD和直线BC之间的距离，即为长方体前后两平面距离，即为2.

因为长方体外接球过四面体四个顶点，所以四面体外接球即为长方体外接球。易知该球半

径为图，所以四面体ABCD外接球表面积为147r.

易知。点到BC距离为1,所以0,截直线BC的长度为2行』=4四.

12.已知△ABC内切圆半径为、现用斜二测画法画出其直观图的面

/Q

积是祟amc分别为AABC的三边边长，则下列说法正确的是

41Q

A.(a+6)-c的最大值是1B.—+-的最小值是£

a4-6c2

111

不+口+口＜DJ+R+4〉17

C.251—a1—b1—c

【答案】BC.

【解析】由于本题是全卷最难的一题，如果将解析全部放出，会减少解析的神秘感，所以本

题解析敬请期待讲评现场（讲评人的手稿会发送到群文件）.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

本题主要考察基本知识和基本方法的适当扩展.

13.现有一组数：22,17,69,34,29,66,58,40.这组数的上四分位数是▲.

【答案】62.

【解析】先排序，得到数据为17,22,29,34,40,58,66,69.再求上四分位数，也就是75%分

位数，由于8x75%=6,所以其为第6项和第7项的平均数，为62.

14.设正实数a满足{a}J矶a是等比数列，其中闷表示不超过a的最大整数，{a}=a-同,

则a的值是▲.

［答案］绚二.

【解析】设［a］=x,{a}=y,那么x+y=a,所以/=以①+妨=政+/</十］，也

就是/-z—ivo,得到①=0（等比数列，舍去）或；r=L因此1=?（1+切，最终得到

V5+1

a=x+y=---.

15.小鱼忘记了四位的iPad密码，他尝试了5次：6197,5073,0359,3925,2530,每次都有两

个数字是正确的，可是位置都不对.那么他iPad的密码是▲.

Y数学试卷（参考答案和评分标准）第4页（共8页）

【答案】9702.

【解析】由于3和5在每个位置都出现过了，所以密码一定不含3或5.接下来通过每一位

的一一验证可以得到密码为9702.

16.设AB是。。的直径，取圆上在AB不同侧的P,Q两点，连AP,AQ,BQ.设AP交BQ

于F,设NPAB=a/QAB=仇满足tana+」=+J,这样的点F的轨迹为

tanptan(a—p)

双曲线，其离心率是4.

【答案】g

【解析】由正切联想到斜率，由于F轨迹是AP.BQ交点，故推测kAP-kBQ为定值，下给出

证明与计算：设/.QBA=7，则)=5一。，且kAP=tana,=tan7,tan7=tan-6)=

春tan(a—f)=tan(a+)—§=%(二+力因为:㊀11。+康=gn(二一£)'所

/、tana+tan7,,c口左、1/

以nrtana+tan7=—tan(a+7)=—-------------,a艮nk-K=tanatan7=2,易知刍

1—tanatan7APRO

7T

a->0时，7->2-此时F—B,同理FTA也存在，即4,5在双曲线上，由%)对称性

可知，A,B两点对称，再结合双曲线第三定义可知：e2—l=Aup/BQ，所以e=g.即双曲

线离心率为g

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知一组独立重复的试验，每次试验成功的概率为P，失败的概率为q=l-P，将试验进

行到出现r次成功为止，以随机变量X表示所需试验次数，X的概率分布为P{X=fc).

(1)若p=0.5,r=2,求P(X=4);

(2)如果不要求第r次成功时停止这组试验，记前卜次成功的次数为随机变量丫，证明：

</丫=『)

<k.

、P(X=k)

本题主要考察对排列组合与概率的结合、二项分布概率公式的运用.

【解析和评分标准】

Q

(1)P(x=4)=C；x(0.5)1x(1-0.5)3-1x0.5=—.........................(3分)

(2)先求P(X=给,即前七一1次试验中有r-1次成功，且第k次试验成功.

所以P(X=k)=最二;,p=pTq-r.........................(5分)

然后求P(Y=r),易知y满足上次，p为成功概率的二项分布...................(6分)

故P(y=r)=C初V-r=-------prqk-r........................................(7分)

r'.(k—r)\

--------nrak~r

P(y=r)r!(fc—r)!fc!(k—r)!(r—1)!k

P(X=k)=(fc-1)!不=r!(fc-r)!(A:-1)1-=7.........

(fc-r)!(r-1)!P9

Y数学试卷(参考答案和评分标准)第5页(共8页)

又因为瓦r分别为试验次数和成功次数，所以且......................（9分）

所以即.......................................（1。分）

18.（12分）

设函数/（re）=x2—6x+2Inx.

（1）讨论/（口的单调区间；

（2）若/（勺）+/（g）=5,证明：a：!+x2>7.

本题主要考察导数的求法和运用、切线不等式、二次不等式和整体思想.

【解析和评分标准】

2272-6T-4-2

（1）/⑶的定义域是（0,+8）,/'（H）=2z-6+-=-----:................（1分）

XX

令［3）=0解得在定义域内，%=上=亘........................（2分）

当0<Z<二^时，f⑺>0,f⑺单调递增；当<X<\守时，产（工）<0,

f⑸单调递减；当Z>q吏时，13）>o,f（x）单调递增....................（3分）

因此/（x）的增区间为（o,号'），（弯2+°°），减区间为（三"，加衿）.分）

（2）根据题意，有21x12122+若+谴一6%—672=5.......................（5分）

11—t

设以力）=Int—1+1,定义域（0,+oo）,^（t）=--1=—j—....................（7分）

当0（力<1时，（t）>0,以。单调递增；当1>1时，，⑴<0.3（t）单调递减，因此9（%）

的最大值是M1）=0.所以Int《七一1对任意t>0恒成立......................（10分）

令£=勺+g，有5=2Inxrx2+若+W—6%—6ar242ar1a;2—2+说+若一6%—6x2=

Qi+%）2—6（叼+g）—2.................................................（11分）

因此产一6t—720,也就是（力+1）（力-7）》0,解得必+/227...............（12分）

19.（12分）

设数列｛%J满足：a„是区间［0,1）内小数部分不含偶数数字的n位小数的个数.

（1）设数列｛&｝满足bn=tan（log5（an））-tan（log5（an+1））,且数列｛Tn｝为数列｛bn｝前n

项之和组成的数列，求数列｛空.｝的通项公式；

（2）若数列｛S”｝满足：S”是区间［0,1）内小数部分所有不含偶数数字的n位小数的和，证

明：—<1-

an9

为了防止歧义，特别说明：本题中n位小数指的是［0,1）内有几位有效数字的小数.

本题主要考察计数原理、数列和数列求和尤其是等比数列求和的基本方法、数列不等式的

基本证明.

【解析和评分标准】

（1）由于冗位小数的每一位都有5种选法，所以%=5八（2分）

所以鼠=tan（n）tan（n+1）=嗡*雪"）一】•……（4分）

Y数学试卷（参考答案和评分标准）第6页（共8页）

所以二电

4%+++=（6分）

tan1

(2)由于5n是区间［0,1)内所有小数部分不含偶数数字的n位小数的和，注意到在小数的

第，位上出现1,3,5,7,9的数各有571T个...........................................................................（8分）

所以邑=（1+3+5+7+9）x51x（*.♦.++）=5"+】................（10分）

\JLUJLU/i//X±V

nn

Sn5x（10-1）,5x105

屋-—9x10”-<9x10"-9.............................................................................（12分）

20.（12分）

7T11

设四面体ABCD满足ABAC=cosACAD=cosADAB=AB=2,AC=

JJ4

3,AD=2.

（1）设G是△BCD的重心，求\AG\-,

（2）求四面体ABCD在底面BCD上的高hA_BCD.

本题主要考察重心的定义、空间向量的基本运算、点到平面的距离公式和解决立体几何问

题的基底法.

【解析和评分标准】

211

（1）取CD中点M.注意到AG=AB+BG=AB+-BM=AB+-BC+BD=

33r3

AB++^AD-IAB=+]-AC+]-AD...........................................................（1分）

JJJJJJ

2222

因此|70|2=+'AC+AD）=|（|AB|+|AC|+\AD\+2\AB\\AC\cosZBAC+

i29

2\AC\\AD\cosACAD+2\AD\\AB\cosAB）=-x（4+9+4+6+4+2）=§・・・・（3分）

所以|AG|=|而|=孥.........................................................................................................（4分）

o

（2）设平面BCD的一个法向量是n=小同+g冠+zLW.那么有0=n・或=%（而一

AB）=（xAB+yAC+zAD）•（AC-AB）...........................................................................（6分）

所以有0=3a:+9y+2z—4ar-3y—z=—a:+6y+z,同理有2a:+7y—2z=0,令z=l,得

x—l,y—0..............................................................................................................................（8分）

因此n=AB+AD,由于|n|=y/\AB\2+\AD\2+2\AB\\AD\cosABAD=x/10....（10分）

而且AB•■n=4+l=5.........................................................................................................⑴分）

,,瓯旬5VW

scr（分）

所以hA_BCD==-^==—.............................................................................12

21.(12分)

设△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c.且有3=2c.

(1)若a=2,证明b-c<1;

(2)若&2>c2+4c,比较a+2c和的大小关系，说明理由.

本题主要考察解三角形的基本定理和基本方法和不等式的证明.

【解析和评分标准】

(1)因为sin?B—sirF。=g(cos2C—cos2B).............................................................(1分)

Y数学试卷(参考答案和评分标准)第7页(共8页)

又因为cos2C_cos2B=2sin(5+C)cos(5-C),且B+C=开一4,5=2C,所以sii?B-

sin2C=sinA•sinC..............................................................(2分)

又由于正弦定理，皿4=¥=圾£,所以广一。2=加......................(4分)

abc

所以户—C2=2C,(C+1)2=62+1>62,所以b—c<l..........................(6分)

(2)由于J/2=+QC>°2+4c,所以a>4..................................(7分)

@2/Q\2

又因为砂+了=(c+5)>62+4...............................................(9分)

又因为*+4》4b,所以jc+])2>4b..........................................(11分)

所以a+2c>4班.........................................................(12分)

22.（12分）

在平面直角坐标系力。沙中，4（—1,0）.P在J轴上运动，以P为圆心，P。为半径的圆与

直线AP交于设的轨迹为r.

M,,M2

（1）求T的方程；

（2）考虑抛物线。：/=一4,—4上任意一点B,B不在立轴上，过B作。的切线（.与

r交点的集合为证明：一定存在点xe