2023年广东省广州市高中学业水平考试数学试卷及答案解析

2023年广东省广州市高中学业水平考试数学试卷

一、选择题。（本大题12题，每题5分，共60分）

1.（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（5分）若曲线0x2+"y2=l为焦点在X轴上的椭圆，则实数”,〃满足（）

ɪ1

A.a2>b2B.-<-C.0<a<bD.0<h<a

ab

3.（5分）已知/（x）=∙r3+αr2+（α+6）x+l既有极大值又有极小值，则a的取值范围为（）

A.a<-1≡ga>2B.-3<a<6C.-l<a<2D.“<-3或4>6

4.（5分）如图所示，用不同的五种颜色分别为A,B,C,D,E五部分着色，相邻部分不

能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则符合这些要求的不同着

色的方法共有（）

AB

CD

E

A.500种B.520种C.540种D.560种

X2V2

5.（5分）设双曲线一7—f=1（。>0,b>0）的一条渐近线与抛物线y=f+l只有一个公

azbz

共点，则双曲线的离心率为（）

5√5

A.-B.5C.—D.√5

42

6.（5分）下列语句不是命题的有（)

①/-3=0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3+1=5；（4）5χ-3>6.

A.①③④B.①②③C.①②@D.②③④

7.（5分）如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到一座灯塔P的南偏西75°距塔68

海里的M处，下午2时达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为（）

北

17√6

A.海；里/时B.34√δ海里/时

2

17√2

c∙F海里/时D.34√Σ海里/时

TT

8.（5分）若函数/（x）=AX+xcosx在区间（0,—）上单调递增,则k的最小值是（）

π

A.IB.-1D.一

CT2

9.（5分）抛掷一枚骰子，A表示事件：“出现偶数点”，8表示事件：“出现3点或6点”,

则事件A与3的关系是（）

A.互斥B.相互独立

C.既互斥又相互独立D.既不互斥又不相互独立

10.（5分）若椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成正三角形，则该椭圆的离心率是（）

1√2

A.B.一

22

√3

C.D.以上都不正确

2

11.（5分）下列说法不正确的是（）

A.回归分析中，相关指数网的值越大，说明残差平方和越小

B.若一组观测值（xι,yι）,（孙”），…，（X/?,如）满足》=如+。+⑹（i=l,2,,∙•,〃）,

若4・恒为0,则R2=1

C.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法

D.画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号

12.（5分）已知两圆Ci：（x+4）2+y2=2,Cr.（χ-4）2+√=2,动圆M与两圆Ci,。2都

相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）

22

Xyr

A.x=0B.————=I（X≥Λ∕2）

214、J

X2y2X2y2

C.---D.———=1或X=0

214214

二、填空题。（本大题4题，每题5分，共20分）

13.（5分）在aABC中，角A,B,C的对边分别是mb,c,若g,b,C成等差数列，B

3

=30°,Z∖ABC的面积为一,则b=

2

14.（5分）若等差数列｛如｝的图象是平行于尤轴的直线上的均匀分布的一群孤立的点，则数

列｛斯｝的公差d0（填或“=

15.（5分）从0,2,3,5这4个数字中选出2个不同的数字组成两位数，并按从小到大的

顺序把这些两位数排列起来，则52是第个数.

16.（5分）利用等式kCA=nCA=（l≤k≤n,k,n∈N*）可以化简

1∙C∖+2∙C^21+…+?1∙C^2nl=τιCn-ι+九∙^n-ι21+τι∙22+…+τι∙271-1=

ɪ1

n（l+2）n^1=n∙3n-1.等式kC^=有几种变式，如：工C，二：=Y；又如将〃+1

KTt

赋给〃，可得到上瑞+1=5+1）以-1,“・，类比上述方法化简等式：

ɛn∙I+Iɛn•（1）2+ɪɛn-（1）3+…+Vyɛn'（1）n+1=-

三、解答题。（本大题6题，17题10分，18-22每题12分，共70分）

Cm2+2m-15

17.（10分）是否存在实数m,使复数Z=（机2-,-）（——---------）/为纯虚数？若

π6+mz-4

存在，求出机的值，否则，请说明理由.

18.（12分）已知（√≡+∣）”的展开式中，只有第六项的二项式系数最大.

（I）求该展开式中所有有理项的项数；

（11）求该展开式中系数最大的项.

19.（12分）（1）设集合A={M-2-α<x<α,«>0）,已知p：1∈Aq∙.2∈A,若p,q有

且只有

一个成立，求实数。取值范围；

（2）己知p：4x+m<0,0/-χ-2>0,且P是q的充分条件，求实数机的取值范围.

20.（12分）下表是关于某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y（万元）的几组统

计数据：

X23456

y2.23.85.56.57.0

（1）请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图;

（2）请根据散点图，判断y与X之间是否有较强线性相关性，若有求线性回归直线方程

y=bx+a；

（3）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？

2

（参考数值:∑f=1xiyi=112.3xi=80）

（参考公式：小士号产=金答箸：α”一⑻）

21∙(12分)已知/(x)是H上的单调递增函数，且/(q)÷∕(-⅛)>/(-«)+/(⅛).求

证：a>b.

22.(12分)已知圆Ci：(x+3)2+夕=1和圆C2：(χ-3)2+√=9,动圆/同时与圆CI及

圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.

2023年广东省广州市高中学业水平考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题。（本大题12题，每题5分，共60分）

1.（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：“不便宜”不一定能得到“好货”，

“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，

根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货”="不便宜”，

所以“不便宜”是“好货”的必要不充分条件，

故选：B.

2.（5分）若曲线or2+/；/=1为焦点在X轴上的桶圆，则实数小6满足（）

11

A.a72>b71B.-<-C.0<a<bD.0<b<a

ab

%2y2

【解答】解：由题意，曲线αx2+勿2=1可化为丁+缶=1.

ab

∙.∙曲线/+W=I为焦点在X轴上的椭圆，

11

，—>一>0，

ab

C.b>a>G,

故选：C.

3.（5分）己知八X）=X3+αr2+（α+6）x+l既有极大值又有极小值，则”的取值范围为（）

A.“V-1或α>2B.-3<a<6C.-∖<a<2D.n<-3或α>6

【解答】解：若F（X）=x3+αx2+（α+6）x+1既有极大值又有极小值，

则（X）=3x1+2ax+（α+6）=0有两个不等的实根

即△=（2«）2-12（α+6）>0

解得-3或a>6

故选：D.

4.（5分）如图所示，用不同的五种颜色分别为A,B,C,D,E五部分着色，相邻部分不

能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则符合这些要求的不同着

色的方法共有（）

AB

CD

E

A.500种B.520种C.540种D.560种

【解答】解：先涂A,则A有5种涂法，再涂3,因为3与4相邻，所以3的颜色只要

与4不同即可，有4种涂法

同理C有3种涂法，。有3种涂法，E有3种涂法

由分步乘法计数原理可知，符合这些要求的不同着色的方法共有为5X4X3X3X3=540

故选：C.

%2V2

5.（5分）设双曲线直一言=1（α>0,⅛>0）的一条渐近线与抛物线y=∕+l只有一个公

共点，则双曲线的离心率为（）

5√5-

A.-B.5C.—D.√r5

42

22

【解答】解：双曲线，一底=1（40,b>0）的一条渐近线为产/

_b

由方程组y=RX,消去y,

,=/+1

X2--x+1=0有唯一解，

a

所以Δ=（-）2-4=0,

a

所以T=2,e=W=6^=Jl+02=底

故选：D.

6.（5分）下列语句不是命题的有（）

①/-3=0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3+1=5；④5χ-3>6.

A.①③④B.①②③C.①②@D.②③④

【解答】解：①？-3=0,无法判断真假，故①不是命题；

②由命题的概念知，命题不能是疑问句，故②不是命题；

③3+1=5,这个语句不成立，因为这个语句能判断真假，故③是命题；

④5χ-3>6,无法判断真假，故④不是命题.

故选：C.

7.（5分）如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到一座灯塔P的南偏西75°距塔68

海里的M处，下午2时达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为（）

C.-------海里/时D.34√Σ海里/时

2

【解答】解：由题意知NMPN=750+45o=120o,NPNM=45；

√3_

在aPMN中，由正弦定理，得MN=68x∙⅛=34遥.

√2

ɪ

又由M到N所用时间为14-10=4（小时），

...船的航行速度V=学=苧（海里/时）；

故选：A.

8.（5分）若函数fG）=Ax+xcosx在区间（0,一）上单调递增，则k的最小值是（

2

π

A.1B.-1C」D.一

J22

π

【解答】解：f’(x)=4+CoSX-XSinJGxE(0,一),

2

令，（X）>0,得：女>xsirtv-COSX,

π

令g（X）=xsinx-cosx,xE（0,—）,

.∙.g'（X）=2sinx+xcosx>0,

Tr

：.g（x）在（0,一）单调递增，

2

πT1

:Bg（-）=2»

故选：D.

9.（5分）抛掷一枚骰子，A表示事件：“出现偶数点”，8表示事件：”出现3点或6点”,

则事件A与8的关系是（）

A.互斥B.相互独立

C.既互斥又相互独立D.既不互斥又不相互独立

【解答】解：因为抛掷一枚骰子，A表示事件：“出现偶数点”，8表示事件：“出现3点

或6点”，

当出现点数是“6"时，A与B能同时发生，故A与8不互斥，

又事件A={2,4,6},事件B={3,6},A∩B={6},则P（A）=∣,P（B）=∣,P（AB）

则事件A与8是相互独立事件，

故选:B.

10.（5分）若椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成正三角形，则该椭圆的离心率是（）

1√2

A.-B.一

22

√3

C.—D.以上都不正确

2

【解答】解：根据题意，如图所示，椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成正三角形，

即AAQ乃是等边三角形，

分析可得AFl=α=2c,

则椭圆的离心率e=^=∖,

故选：A.

II.（5分）下列说法不正确的是（）

A.回归分析中，相关指数W的值越大，说明残差平方和越小

B.若一组观测值（亢1，yι）,（X2>”），…，（X%）满足%=如+α+ej（i=l,2,…,n）9

若4・恒为0,则W=I

C.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法

D.画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号

【解答】解：A,回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小，正确；

B,一组观测值（xι,yι）,（X2，”），…，（XrI，y∏）满足y=bx汁α+e,∙（i=l,2,∙∙∙,n）,

若0恒为0,则#=1,正确.

C,回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，正确；

D,画残差图时•，纵坐标为残差，横坐标不一定是编号，故。错误，

故选：D.

2

12.（5分）已知两圆Ci：（x+4）2+/=2,c2:（x-4）+√=2,动圆M与两圆Ci,。2都

相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）

X2y2I-

A.x=0B.-=IQ≥√2）

214、7

χ2y2χ2y2

C.---=1D.——一一=1/=0

214214

【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆Ci：（Λ-+4）2+y2=2,

2

C2:（χ-4）+√=2,动圆M与两圆Cι,C2都相切，

Λ∣MC∣∣=∣MC2∣,即M点在线段G，C2的垂直平分线上

又Ci,C2的坐标分别为（-4,0）与（4,0）

其垂直平分线为y轴，

动圆圆心M的轨迹方程是x=0

②若一内切一外切，不妨令与圆C∣:（X+4）2+y2=2内切，与圆C2：（χ-4）2+）2=2外

切，则有用到（4,0）的距离减到（-4,0）的距离的差是2近，由双曲线的定义知，

点M的轨迹是以（-4,0）与（4,0）为焦点，以鱼为实半轴长的双曲线，故可得b2

22

22

=c-a=14f故此双曲线的方程为一一二=1

214

X2y2

综①②知，动圆M的轨迹方程为一--=l^x=0

214

应选D.

二、填空题。（本大题4题，每题5分，共20分）

13.（5分）在AABC中，角A,B,C的对边分别是4,b,c,若α,b,C成等差数列，B

3L

=30°,ZiABC的面积为一，则b=√3+l.

2——

【解答】解：∙.∙”,b,C成等差数列

∙*∙2b=4+c（J）

3

又∙.∙"C的面积为5

Λ-acsinB=√2）

•∙ac=6

又∙∙∙c°sB=的萨=空③

Λ由®@③知"）2-2αc*=3^-12=√3

2ac122

：.b2=4+2√3=（√3+I）2

又∙”>0

b=√3+1

故答案为：√3+l

14.（5分）若等差数列｛斯｝的图象是平行于X轴的直线上的均匀分布的一群孤立的点，则数

列1即1的公差〃=0（填或“=

【解答】解：根据题意，等差数列｛斯｝的图象是平行于X轴的直线上的均匀分布的一群

孤立的点，

则该等差数列为常数列，故数列｛即｝的公差d=0,

故答案为：0.

15.（5分）从0,2,3,5这4个数字中选出2个不同的数字组成两位数，并按从小到大的

顺序把这些两位数排列起来，则52是第8个数.

【解答】解：从0,2,3,5这4个数字中选出2个不同的数字组成两位数，并按从小到

大的顺序把这些两位数排列起来，

①当十位上的数字为2时，两位数的个数为3,

②当十位上的数字为3时，两位数的个数为3,

③当十位上的数字为5时，两位数的个数为3,

即从0,2,3,5这4个数字中选出2个不同的数字组成两位数，并按从小到大的顺序把

这些两位数排列起来，共有9个数，

又53是其中最大的数，

则52是第8个数，

故答案为：8.

16.（5分）利用等式人第=n瑞二≤k≤n,k,neN*）可以化简

n112n1

1•禺+2∙CQl+∙∙∙+n∙C^2-=nC°-1+n-C^12+n-C^2+∙∙∙+n∙C^2-=

ɪɪ

n(l+2)n-1=n∙3n~1.等式ACA=TICA二;有几种变式，如：工。£二；=一。：；又如将〃+1

KTl

赋给〃，可得到"5+1=(n+I)CtT,…，类比上述方法化简等式：

c°∙l+lcn∙φ2+lcn∙φ3+∙→⅛cn∙⅛n+1=-⅛[⅞)n+1-ʧ--

【解答】解：峰•扛加•鼾+匏•鼾+…+击制.(扔+】

=⅛("+1)×Cθ×∣+∣(n+l)c⅛×(∣)2+∣(M+1)鬣X鼾+…+制X4产]

n+1

=系[盘+1×∣+‰X鼾+CMIX(1)3+...+C需X(∣)]

=各(l+>+j]

=⅛(∣)"+Jι∙

-16

故答案为：——[(-)n+'-1].

n÷l5

三、解答题。(本大题6题，17题10分，18・22每题12分，共70分)

17.(10分)是否存在实数如使复数Z=("/_〃?一6)÷(――y——)i为纯虚数？若

mz-4

存在，求出相的值，否则，请说明理由.

【解答】解：假设存在实数机使Z是纯虚数，则

m2—m—6=0

m2+2m—15≠0，

m2—4≠0

由根2--6=0,解得m=-2或m=3.

当m=-2时，/?/2-4m=O,

当m=3时,τn2+2τn-15=0,

故不存在实数m使Z是纯虚数.

18.(12分)已知(近+负)〃的展开式中，只有第六项的二项式系数最大.

(I)求该展开式中所有有理项的项数；

(H)求该展开式中系数最大的项.

n

【解答】解：(I)由题意可知一+1=6,解得〃=I0,

10-r10-5r

r2rr--

Λ7V+ι=Cf0X22x^=Cf02x2,(0≤r≤10,且厂∈N),

要求该展开式中的有理项，只需令一^―ez,

Λr=O,2,4,6,8,10,...有理项的项数为6项;

（∏）设第Tki项的系数最大,

or、rr-lɔr-l

(GprZGLr211-r

则I10—10即

r1r+1

{C[02≥C^2

解不等式可得可≤r≤y

7z

,展开式中的系数最大的项为7⅛=C∕02%^=15360尤竽

19.（12分）（1）设集合A={x∣-2-a<x<n,α>0},已知/IeAq：2∈A.若p,q有

且只有

一个成立，求实数。取值范围；

（2）已知p：4x+∕π<0,q：Λ2-JC-2>0,且P是q的充分条件，求实数，”的取值范围.

【解答】解：（1）解p,q有且只有一个成立

.∙.当P真4假时有［:,ɑvivɑ,故i<αW2

当P假4真时有（_2_αyVa，故花。

综上：l<α≤2;

（2）由/-X-2>0,得x>2或x<-l,

令A={x∣x>2或x<-1}；由4X+ZM<0,得XV一空

令8={4rV一空}.因为0是q的充分条件，所以BSA,

于是一半≤T,得后