青海省西宁市海湖中学2020-2021学年高二上学期第一阶段测试数学试题

绝密★启用前西宁市海湖中学2020—2021学年度第一学期高二数学第一阶段测试题时间：120分钟满分：100分单选题1.某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上()A.乐、新、快B.快、新、乐C.新、乐、快D.乐、快、新2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C13.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A.122πB.12πC.82πD.10π4.等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为（）A.14πB.18πC.12πD.16π5.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中错误的是（）A.FM∥A1C1B.BM⊥平面CC1FC.三棱锥B﹣CEF的体积为定值D.存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D6.如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()

A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C17.已知三棱锥ABCD的顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，AB=CD=1，BD=2BD=2，则球O的表面积为()A.π2B.πC.2πD.4π8.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为（）.A.30o‍B.45oC.60oD.90o‍9.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A.8-B.8-C.8-2πD.2π10.设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A.若a∥α，b∥α，则a∥bB.若a⊥α，a∥b，则b⊥αC.若a⊥α，a⊥b，则b∥αD.若a∥α，a⊥b，则b⊥α11.已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，以下有三种说法：

①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；

③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，，则n∥β．

其中正确命题的个数是()A.3个B.2个C.1个D.0个12.水平放置的△ABC，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的△A＇B＇C＇，其中O＇A＇=O＇B＇=1，O'C'A.23B.4C.2D.4填空题13.在三棱锥B﹣ACD中，BA，BC，BD两两垂直，BC＝2，BD＝4，三棱锥B﹣ACD的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为_______．14.已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_______．15.在正方体ABCDA1B1C1D1中，六个面内与BD成60o角的对角线共有_______条．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有______个面，其棱长为_______．三、解答题17.如图(1)，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．

（10分）(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；（5分）(2)在四棱锥PABCD中，求PA的长（5分）18.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1.

（12分）(1)求异面直线A1B与B1C所成的角；（6分）(2)求证：平面A1BD∥平面B1CD1．（6分）19.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线SC垂直于圆O所在的平面，D，E分别是SA，SC的中点．

（12分）(1)证明：DE∥平面ABC；（6分）(2)平面SAC⊥平面SBC.（6分）20.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点。

(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；

(Ⅱ)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱锥C－A1DE的体积。

（12分）21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（12分）(1)求证：PA∥平面EDB；（6分）(2)求证：PB⊥平面EFD．（6分）22.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB中点，PO⊥平面ABCD，PO＝CD＝DA＝12AB＝4，M是PA中点．

（12分）(1)证明：平面PBC∥平面ODM（6分）；(2)求点A到平面PCD的距离（6分）．

BDBADDDDABAB13.29π14.115.816.262117.如图(1)，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．

（12分）(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；（5分）【正确答案】解：该四棱锥的俯视图为边长为6cm的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36cm2．

解：该四棱锥的俯视图为边长为6cm的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36cm2．【答案解析】该四棱锥的俯视图为边长为6cm的正方形(内含对角线)，如图，即可得出面积．(2)在四棱锥PABCD中，求PA的长（7分）【正确答案】

解：由侧视图可求得．

由正视图可知AD=6且AD⊥PD，

所以在Rt△APD中，．

解：由侧视图可求得．

由正视图可知AD=6且AD⊥PD，

所以在Rt△APD中，．

【答案解析】

利用勾股定理即可得出．

21.

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（10分）(1)求证：PA∥平面EDB；（4分）【正确答案】

证明：

连结AC、BD，交于点O，连结OE，

∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，

∵点E是PC的中点，∴OE∥PA，

∵OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，

∴PA∥平面EDB．证明：

连结AC、BD，交于点O，连结OE，

∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，

∵点E是PC的中点，∴OE∥PA，

∵OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，

∴PA∥平面EDB．【答案解析】连结AC、BD，交于点O，连结OE，推导出OE∥PA，由此能证明PA∥平面EDB．(2)求证：PB⊥平面EFD．（6分）【正确答案】

解：∵PD=DC=1，点E是PC的中点，∴DE⊥PC，

∵底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥BC，CD⊥BC，又PD∩DC=D，

∴BC⊥平面PDC，∴DE⊥BC，

∵PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB，

∵EF⊥PB，EF∩DE=E，

∴PB⊥平面EFD．解：∵PD=DC=1，点E是PC的中点，∴DE⊥PC，

∵底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥BC，CD⊥BC，又PD∩DC=D，

∴BC⊥平面PDC，∴DE⊥BC，

∵PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB，

∵EF⊥PB，EF∩DE=E，

∴PB⊥平面EFD．【答案解析】推导出DE⊥PC，PD⊥BC，CD⊥BC，从而DE⊥BC，进而DE⊥平面PBC，DE⊥PB，再由EF⊥PB，能证明PB⊥平面EFD．

18.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1.

（12分）(1)求异面直线A1B与B1C所成的角；（6分）【正确答案】

解：连接A1D、DB．由正方体可得A1B1∥DC，A1B1=DC，

∴对角面A1B1CD是一个平行四边形，∴B1C∥A1D．

∴∠BA1D或其补角即为异面直线A1B与B1C所成的角，

∵△A1BD是一个等边三角形，

∴∠BA1D=60°即为异面直线A1B与B1C所成的角；解：连接A1D、DB．由正方体可得A1B1∥DC，A1B1=DC，

∴对角面A1B1CD是一个平行四边形，∴B1C∥A1D．

∴∠BA1D或其补角即为异面直线A1B与B1C所成的角，

∵△A1BD是一个等边三角形，

∴∠BA1D=60°即为异面直线A1B与B1C所成的角；【答案解析】通过平移先作出异面直线所成的角，进而求出即可；(2)求证：平面A1BD∥平面B1CD1．（6分）【正确答案】

证明：由(1)可知：A1D∥B1C，而A1D⊄平面B1CD1，B1C⊂平面B1CD1，

∴A1D∥平面B1CD1，

同理可得A1B∥平面B1CD1，

又∵A1D∩A1B=A1，∴平面A1BD∥平面B1CD1．证明：由(1)可知：A1D∥B1C，而A1D⊄平面B1CD1，B1C⊂平面B1CD1，

∴A1D∥平面B1CD1，

同理可得A1B∥平面B1CD1，

又∵A1D∩A1B=A1，∴平面A1BD∥平面B1CD1．

【答案解析】利用线面、面面平行的判定定理即可证明．19.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线SC垂直于圆O所在的平面，D，E分别是SA，SC的中点．

（12分）(1)证明：DE∥平面ABC；（4分）【正确答案】

证明：∵D，E分别是SA，SC的中点，∴DE∥AC，

又∵DE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC；证明：∵D，E分别是SA，SC的中点，∴DE∥AC，

又∵DE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC；【答案解析】由D，E分别是SA，SC的中点，可得DE∥AC，从而得到DE∥平面ABC．(2)平面SAC⊥平面SBC.（8分）【正确答案】

解：∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC，

∵SC垂直于圆O所在的平面，∴SC⊥AC，

而BC∩SC=C，∴AC⊥平面SBC，

∵DE∥AC，∴DE⊥平面SBC，

又DE⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面SBC．解：∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC，

∵SC垂直于圆O所在的平面，∴SC⊥AC，

而BC∩SC=C，∴AC⊥平面SBC，

∵DE∥AC，∴DE⊥平面SBC，

又DE⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面SBC．【答案解析】由AB为圆O的直径，得AC⊥BC，再由SC垂直于圆O所在的平面，得SC⊥AC，可得AC⊥平面SBC，结合DE∥AC，得DE⊥平面SBC，从而得到平面SAC⊥平面SBC．20.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点。

(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；

(Ⅱ)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱锥C－A1DE的体积。

（12分）【正确答案】

(Ⅰ)

见解析，(Ⅱ)1【答案解析】解：(Ⅰ)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．

又D是AB的中点，连结DF，则BC1∥DF。

因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD。

(Ⅱ)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD，由已知AC＝CB，D为AB的中点，的以CD⊥AB。又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A。

由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝得

故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D．

22.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB中点，PO⊥平面ABCD，PO＝CD＝DA＝12AB＝4，M是PA中点．

（12分）(1)证明：平面PBC∥平面ODM；（6分）【正确答案】

证明：由题意，CD∥BO，CD＝BO，

∴四边形OBCD为平行四边形，∴BC∥OD．

又∵AO＝OB，AM＝MP，∴OM∥PB

又OM⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，

∴OM∥平面PBC

同理，OD∥平面PBC，

又OM∩OD＝O，

∴平面PBC∥平面ODM．证明：由题意，CD∥BO，CD＝BO，

∴四边形OBCD为平行四边形，∴BC∥OD．

又∵AO＝OB，AM＝MP，∴OM∥PB

又OM⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，

∴OM∥平面PBC

同理，OD∥平面PBC，

又OM∩OD＝O，

∴平面PBC∥