高考数学人教B版一轮复习测评8-5空间直角坐标系空间向量及其运算

核心素养测评四十二空间直角坐标系、空间向量及其运算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知a=(2,3,4),b=(4,3,2),b=QUOTEx2a,则x等于 ()A.(0,3,6) B.(0,6,20)C.(0,6,6) D.(6,6,6)【解析】选B.由b=QUOTEx2a,得x=4a+2b=(8,12,16)+(8,6,4)=(0,6,20).2.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足||=||,则P点坐标为 ()A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0,3)【解析】选C.设P(0,0,z),则有QUOTE=QUOTE,解得z=3.3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角θ为 ()A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】选C.因为(2a+b)·b=0,所以2a·b+b2=0,所以2|a||b|cosθ+|b|2=0,又因为|a|=|b|≠0,所以cosθ=QUOTE,所以θ=120°.4.已知点A,B,C不共线,对平面ABC外一点O,在下列条件下,点P与A,B,C共面的是 ()A.QUOTE=2QUOTE2QUOTEQUOTEB.QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE=3QUOTEQUOTED.QUOTE+QUOTE=4QUOTE+QUOTE【解析】选C.C项可变形为QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE,因为QUOTE+QUOTE+QUOTE=1,所以点P,A,B,C共面;其他项不可以.5.在空间四边形ABCD中,QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE= ()A.1 B.0 C.1 D.不确定【解析】选B.如图,令QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c,则QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=a·(cb)+b·(ac)+c·(ba)=a·ca·b+b·ab·c+c·bc·a=0.【秒杀绝招】选B.如图,在空间四边形ABCD中,连接对角线AC,BD,得三棱锥ABCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体,因为正四面体的对棱互相垂直,所以QUOTE·QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=0.所以QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知a=(x,4,1),b=(2,y,1),c=(3,2,z),a∥b,b⊥c,则c=________.

【解析】因为a∥b,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得x=2,y=4,此时a=(2,4,1),b=(2,4,1),又因为b⊥c,所以b·c=0,即6+8z=0,解得z=2,于是c=(3,2,2).答案:(3,2,2)7.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________. 导学号

【解析】设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E1,1,QUOTE.所以QUOTE=(0,0,a),QUOTE=1,1,QUOTE.由cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE,所以QUOTE=aQUOTE·QUOTE,所以a=2,所以E的坐标为(1,1,1).答案:(1,1,1)8.如图,已知在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为________. 导学号

【解析】设QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c,由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,<a,b>=90°,<b,c>=90°,<a,c>=60°,|QUOTE|2=|QUOTE+QUOTE+QUOTE|2=|c+b+a|2=a2+b2+c2+2a·b2a·c2b·c=68,则|QUOTE|=2QUOTE.答案:2QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,=a,=b,=c,点M,N分别是A1D,B1D1的中点.(1)试用a,b,c表示;(2)求证:MN∥平面ABB1A1【解析】(1)因为==ca,所以=QUOTE=QUOTE(ca).同理,=QUOTE(b+c),所以==QUOTE(b+c)QUOTE(ca)=QUOTE(b+a)=QUOTEa+QUOTEb.(2)因为=+=a+b,所以=QUOTE,即MN∥AB1,因为AB1⊂平面ABB1A1,MN⊄平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB110.已知空间中三点A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设a=,b=.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值.(2)若ka+b与ka2b互相垂直,求实数k的值.【解析】(1)因为a=(1,1,0),b=(1,0,2),所以a·b=(1,1,0)·(1,0,2)=1,又|a|=QUOTE=QUOTE,|b|=QUOTE=QUOTE,所以cos<a,b>=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即向量a与向量b的夹角的余弦值为QUOTE.(2)方法一:因为ka+b=(k1,k,2).ka2b=(k+2,k,4),且ka+b与ka2b互相垂直,所以(k1,k,2)·(k+2,k,4)=(k1)(k+2)+k28=0,所以k=2或k=QUOTE,所以当ka+b与ka2b互相垂直时,实数k的值为2或QUOTE.方法二:由(1)知|a|=QUOTE,|b|=QUOTE,a·b=1,所以(ka+b)·(ka2b)=k2a2ka·b2b2=2k2+k10=0,得k=2或k=QUOTE.(15分钟35分)1.(5分)已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则QUOTEQUOTE+QUOTE等于 ()A.QUOTE B.3QUOTE C.3QUOTE D.2QUOTE【解析】选B.QUOTEQUOTE+QUOTE=QUOTE(QUOTEQUOTE)=QUOTE=3QUOTE.2.(5分)已知非零向量QUOTE与QUOTE满足QUOTE+QUOTE·QUOTE=0且QUOTE·QUOTE=QUOTE,则△ABC为 ()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形【解析】选D.由QUOTE+QUOTE·QUOTE=0知:∠A的平分线垂直于BC,所以△ABC为等腰三角形;由QUOTE·QUOTE=QUOTE知∠A=60°,所以△ABC为等边三角形.3.(5分)如图,已知在直三棱柱ABCA1B1C1中,有下列三个条件:①A1B⊥AC1;②A1B⊥B1C;③B1C1=A1C1.试利用①、②、【解析】设QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c,由A1B⊥AC1⇔QUOTE·QUOTE=0⇔(ba+c)(ca)=0,所以a·b=|a|2|c|2,①由A1B⊥B1C⇔QUOTE·QUOTE=0⇔(ba+c)(cb)=0,所以a·b=|b|2|c|2,②由B1C1=A1C1得|a|2=|b|2由①②③不难看出①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.答案:①②⇒③(或①③⇒②;②③⇒①)4.(10分)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:(1)QUOTE·QUOTE.(2)QUOTE·QUOTE.(3)EG的长.(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.【解析】设QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c.则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,QUOTE=QUOTE=QUOTEcQUOTEa,QUOTE=a,QUOTE=bc,(1)QUOTE·QUOTE=QUOTEcQUOTEa·(a)=QUOTEa2QUOTEa·c=QUOTE.(2)QUOTE·QUOTE=QUOTE(ca)·(bc)=QUOTE(b·ca·bc2+a·c)=QUOTE.(3)QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTEa+ba+QUOTEcQUOTEb=QUOTEa+QUOTEb+QUOTEc,|QUOTE|2=QUOTEa2+QUOTEb2+QUOTEc2QUOTEa·b+QUOTEb·cQUOTEc·a=QUOTE,则|QUOTE|=QUOTE.(4)QUOTE=QUOTEb+QUOTEc,QUOTE=QUOTE+QUOTE=b+QUOTEa,cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE,由于异面直线所成角的范围是0,QUOTE,所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为QUOTE.5.(10分)如图,在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系(1)写出点E,F的坐标.(2)求证:A1F⊥C1(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:QUOTE=QUOTE+QUOTE.【解析】(1)E(a,x,0),F(ax,a,0).(2)因为A1(a,0,a),C1(0,a,a),所以QUOTE=(x,a,a),QUOTE=(a,xa,a),所以QUOTE·QUOTE=ax+a(xa)+a2=0,所以QUOTE⊥QUOTE,所