新教材数学人教A版作业5-4-2第1课时正弦函数余弦函数的性质

第五章5.4.A组·素养自测一、选择题1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(D)2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是(B)[解析]由题意，f(x)是周期为2的应为偶函数，故选B.3．对于函数y＝cos(eq\f(π,2)－2x)，下列命题正确的是(D)A．函数是周期为2π的偶函数B．函数是周期为2π的奇函数C．函数是周期为π的偶函数D．函数是周期为π的奇函数[解析]因为函数y＝cos(eq\f(π,2)－2x)＝sin2x，T＝eq\f(2π,2)＝π，且y＝sin2x是奇函数，所以y＝cos(eq\f(π,2)－2x)是周期为π的奇函数．4．函数y＝4cos(2x＋π)的图象关于(C)A．x轴对称 B．原点对称C．y轴对称 D．直线x＝eq\f(π,4)对称[解析]因为y＝4cos(2x＋π)＝－4cos2x，所以y＝4cos(2x＋π)为偶函数，其图象关于y轴对称．5．函数y＝sin(2x＋eq\f(5π,2))的一个对称中心是(B)A．(eq\f(π,8)，0) B．(eq\f(π,4)，0)C．(－eq\f(π,3)，0) D．(eq\f(3π,8)，0)[解析]y＝sin(2x＋eq\f(5π,2))＝cos2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有(eq\f(π,4)，0)符合要求，故选B.6．函数f(x)＝eq\f(sinx,1＋cosx)的奇偶性是(A)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数[解析]因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝eq\f(sin－x,1＋cos－x)＝－eq\f(sinx,1＋cosx)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.二、填空题7．已知函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝－1.[解析]因为T＝2，则f(x)＝f(x＋2)．又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，且x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，所以f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.8．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是π(答案不唯一).[解析]因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sinφ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)．9．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝－sinx(x<0).[解析]设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，∵f(x)为R上偶函数，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)＝－sinx，(x<0)．三、解答题10．已知函数f(n)＝sineq\f(nπ,4)，n∈Z.求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)的值．[解析]∵f(x)＝sineq\f(xπ,4)，∴T＝eq\f(2π,\f(π,4))＝8，又f(1)＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，f(2)＝sineq\f(π,2)＝1，f(3)＝sineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(2),2)，f(4)＝sinπ＝0，f(5)＝sineq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，f(6)＝sineq\f(3π,2)＝－1，f(7)＝sineq\f(7π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，f(8)＝sin2π＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，又2020＝252×8＋4，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝252[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝eq\f(\r(2),2)＋1＋eq\f(\r(2),2)＋0＝eq\r(2)＋1.11．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝sinx.(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；(3)求当f(x)≥eq\f(1,2)时x的取值范围．[解析](1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∵当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝sinx，∴当x∈[－eq\f(π,2)，0]时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.又∵当x∈[－π，－eq\f(π,2)]时，x＋π∈[0，eq\f(π,2)]，f(x)的周期为π，∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx.∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx.(2)如右图．(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝eq\f(1,2)时，x＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)，∴在[0，π]内，f(x)≥eq\f(1,2)时，x∈[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]．又∵f(x)的周期为π，∴当f(x)≥eq\f(1,2)时，x∈[kπ＋eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(5π,6)]，k∈Z.B组·素养提升一、选择题1．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(D)A．y＝cos|2x| B．y＝|sin2x|C．y＝sin(eq\f(π,2)＋2x) D．y＝cos(eq\f(3π,2)－2x)[解析]y＝cos(eq\f(3π,2)－2x)＝－sin2x，满足既是奇函数，又是最小正周期为π的周期函数．故选D.2．函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0,2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝xcosx中，奇函数的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①③④是奇函数，故选C.3．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(AC)A．y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＋1B．y＝cos(2x＋eq\f(π,2))C．f(x)＝eq\r(1＋sin2x)＋eq\r(1－sin2x)D．y＝eq\r(2)cos(2x＋eq\f(π,4))[解析]由y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＋1＝cos2x＋1知，y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；由y＝cos(2x＋eq\f(π,2))＝－sin2x知，y＝cos(2x＋eq\f(π,2))为奇函数，故B不满足条件；对任意x∈R，－1≤sin2x≤1，∴1＋sin2x≥0,1－sin2x≥0.∴f(x)＝eq\r(1＋sin2x)＋eq\r(1－sin2x)的定义域是R，关于原点对称．∵f(－x)＝eq\r(1＋sin－2x)＋eq\r(1－sin－2x)＝eq\r(1＋sin2x)＋eq\r(1－sin2x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且周期为π，故C满足条件；y＝eq\r(2)cos(2x＋eq\f(π,4))是非奇非偶函数，故D不满足条件，故选AC.4．(多选题)下列关于函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法错误的是(AD)A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数B．存在φ，使f(x)是偶函数C．存在φ，使f(x)是奇函数D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数[解析]φ＝0时，f(x)＝sinx是奇函数；φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝cosx是偶函数，所以B、C中的说法正确，A、D中的说法错误，故选AD.二、填空题5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,6))(0<ω<2)，若f(eq\f(2π,3))＝1，则函数y＝f(x)的最小正周期为4π.[解析]因为f(eq\f(2π,3))＝sin(ω·eq\f(2π,3)＋eq\f(π,6))＝1，所以ω·eq\f(2π,3)＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，由此可得ω＝3k＋eq\f(1,2)(k∈Z)．又因为0<ω<2，所以令k＝0，得ω＝eq\f(1,2)，所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝4π.6．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝eq\f(1,fx)，且f(1)＝eq\f(1,2)，则f(2020)＝2.[解析]∵f(x＋3)＝eq\f(1,fx)，∴f(x＋6)＝eq\f(1,fx＋3)＝f(x)，故f(x)为周期为6的周期函数．f(2020)＝f(336×6＋4)＝f(4)＝f(1＋3)＝eq\f(1,f1)＝2.7．已知函数f(x)＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4)＋φ)是奇函数，则φ∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]时，φ的值为－eq\f(π,4).[解析]∵函数f(x)＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4)＋φ)是奇函数，∴eq\f(π,4)＋φ＝kπ，解得φ＝kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，又∵φ∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]．∴k＝0时φ＝－eq\f(π,4).三、解答题8．已知函数y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．[解析](1)y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x∈[2kπ，2kπ＋πk∈Z，,0，x∈[2kπ－π，2kπk∈Z.))函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.9．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝1－s