2022-2023学年高一下数学：复数（附答案解析）

2022-2023学年高一下数学：复数

一.选择题（共10小题）

I.（2021秋•湖南期中）已知复平面内向量而（。为坐标原点）的坐标为（-2,1）,则向

量而对应的复数为（）

A.-2+iB.2+iC.1-IiD.1+2Z

7C909I秋•主台KfiH未）在隽平而内.售痂.i对应的巨位于（)

1+i

A.第一象限B.第二象限c.第三象限D.第四象限

3.（2021秋•嘉兴期末）复数Z满足Z（I-/）+1=0,贝!IIZI=()

D.返

A.IB.√2C.ɪ

22

4.（2021秋•巍山县校级期末）已知复数Z满足上至=1-3则I=()

Z

ʌ-44iB.J■工c∙f4iD.2工

551551

5.（2022•宝鸡模拟）复物一-2的虚部（)

1+i

A.iB.-zC.1D.-1

6.（2021秋•市中区校级期中）已知复数Z=2+i则Z-IZl在复平面内对应的点所在的象限

l-i

为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（2021秋•莲湖区校级期中）i是虚数单位，计算（红）2021+（上工产21等于（）

1-i1+i

A.-2iB.0C.2zD.2

8.（2021秋•浙江期中）复数z=α+（2-α）i（a€R,i为虚数单位）在复平面内所对应的

点在直线y=x上，则匕I=（）

A.√2B.2C.√1QD.10

9.（2021秋•无锡期中）设复数Z满足2z+1=3+6i,则Z等于（）

A.1+2ZB.1+6/C.3+2/D.3+6/

10.（2021春•枣庄期中）瑞士著名数学家欧拉发现公式/=COSX+isinxM为虚数单位），它

将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数

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2021

论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.根据欧拉公式可知，e-4一表示

的复数在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二.填空题(共4小题)

11.(2021春•鼓楼区校级期中)若复数T一,则复数Z在复平面内对应的点在第

j2021+2

象限.

12.(2020春•重庆期中)已知Z=(∕n+l)+(∕n2-4)i在复平面内对应的点在第二象限，

则实数m的取值范围是.

13.(2021秋•屯溪区校级期中)已知复数z=x+W,且∣z-2i∣=√5则工的取值范围

X

是.

14.(2021春•阜宁县期中)若复数Z满足∣z-2∣≤1,贝收+1-i∣的最大值减最小值为.

Ξ.解答题(共4小题)

15.(2021春•秦州区期中)实数机分别取什么数值时，复数Z=(W2+5W+6)+(m2-Im

-15)i.

(1)与复数2-12,相等；

(2)与复数12+16,互为共辄复数；

(3)对应的点在X轴上方.

16.(2017秋•朝阳区校级期末)已知复数Z=(⅛2-3A-4)+(⅛-1)i(⅛∈R):

(1)若复数Z在复平面上对应的点位于第二象限，求上的取值范围；

(2)若复数z∙zER,求复数Z的模团？

17.(2021春•启东市期中)在①z2=-16；②Z为纯虚数；③2z=(l+z)6,其中i为虚数

单位，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

已知复数Z=(W2--3)+("?-3)3若___.

(1)求实数机的值；

(2)在复平面内，若复数，vJ⅛应的点在直线x+y=0上，求实数a的值.

3-ai

18.(2021春•枣庄期中)已知复数ZO=(α2-4α+3)+(α2-3α+2)i为虚数单位，a∈R)

为纯虚数，ZO和实数6是关于X的方程χ2-(3+2i)x+6i=0的两个根.

(1)求α,b的值；

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（2）若复数Z满足闾=∣α+N,说明在复平面内Z对应的点Z的集合是什么图形？并求该

图形的面积.

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2022-2023学年高一下数学：复数

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2021秋•湖南期中）已知复平面内向量而（O为坐标原点）的坐标为（-2,1）,则向

量而对应的复数为（）

A.-2+iB.2÷zC.1^2/D.1+2/

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】转化思想；定义法；转化法：数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

【解答】解：：复平面内向量^δ?（O为坐标原点）的坐标为（-2,1）,

OP=(-2,

，向量6?对应的复数为-2+i.

故选：A.

【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

2.（2021秋•丰台区期末）在复平面内，复数二一对应的点位于（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应的坐标得答案.

..I=1-i=1-i=1.

【解答】解:1

'Td(l+i)(1-i)=12,i2~^2~^2

•••在复平面内，复数二一对应的点的坐标为（工，-1）,位于第四象限.

l+i22

故选：D.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是

基础题.

3.（2021秋•嘉兴期末）复数Z满足Z（1-/）+1=0,则IZl=（)

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D噌

A.IB.√2c,2

【考点】复数的模.

【专题】计算题；转化思想：转化法；数系的扩充和复数：数学运算.

【分析】通过复数的运算将Z化简为a+4的形式，再利用几何意义求∣Z∣∙

【解答】解:由题得Z=一ɪ=一一k⅛------=JA=Hj,

l-i(l-i)(l+i)222

所以IZU)2+(+2噂

故选：D.

【点评】本题考查复数的运算及几何意义，属于基础题.

4.(2021秋•巍山县校级期末)已知复数Z满足上N=I-3则()

【考点】复数的运算.

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】推导出z=」_,利用复数的运算法则求出z,由此能求出

2-i

【解答】解：∙.∙复数Z满足上N=I-3

Z

/.1-z=(ɪ-z)z,

・KI=2+i一=2.1,

2-i(2-i)(2+i)55，'

•二=21∙

^,5T1-

故选：D.

【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

5.(2022•宝鸡模拟)复数z」一的虚部()

1+1

A.iB.-iC.1D.-1

【考点】复数的运算.

【专题】转化思想：数系的扩充和复数.

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.

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【解答】解：复数z」_=,2J?）、=17的虚部为-1.

1+i（l+i）（l-i）

故选：D.

【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于

基础题.

6.（2021秋•市中区校级期中）已知复数ZNiL则Z-IZI在复平面内对应的点所在的象限

l^i

为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】复数的运算：复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】先化简复数，然后求出复数模，再求出Z-IZl的关系式，根据象限定义即可求

解.

［解答］解：因为复数Z=2±=,2+i）0+i）上gj_=工总i，

1-i（1-i）（1+i）222

因为耳道<O,∣>0,

所以Z-IZl在复平面内对应的点所在的象限为第二象限,

故选：B.

【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的除法运算法则以及复数模以及象限

问题，属于基础题.

7.（2021秋•莲湖区校级期中）i是虚数单位，计算（±七）2021+（上工）2021等于（）

1-i1+i

A.-2/B.OC.2/D.2

【考点】复数的运算.

【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据复数的运算性质计算即可.

【解答】解：（/严21f（考_严21

=∕2021+（_i）2021

=计（-力=0,

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故选:B.

【点评】本题考查了复数的运算，是基础题.

8.（2021秋•浙江期中）复数z=。+（2-α）i（α6R,i为虚数单位）在复平面内所对应的

点在直线y=x上，则团=（）

A.√2B.2C.√10D.10

【考点】复数的模.

【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】先结合复数的几何意义求出。，然后结合复数的模长公式可求.

【解答】解：因为Z="+（2-4），.在复平面内所对应的点在直线V=X上，

所以a=2-a,即α=l,

所以z=1+3∖z∖=y∕2∙

故选：A.

【点评】本题主要考查了复数的几何意义及复数模长公式的应用，属于基础题.

9.（2021秋•无锡期中）设复数Z满足2z+^=3+63则Z等于（）

A.1+万B.1+6/C.3+2zD.3+6/

【考点】复数的运算.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合共规复数的概念，以及复数相等性准则，即可求解.

【解答】解：设z=α+b3a,6∈R,

,•*z=a-bi,

∙..2z+z=2（a+bi）+（a-bi）=3+63

.∙.[3a=3,解得α=],b=6,

∖b=6

.∙.z=l+6z.

故选：B.

【点评】本题主要考查共甄复数的概念，以及复数相等性准则，属于基础题.

10.（2021春•枣庄期中）瑞士著名数学家欧拉发现公式声=COsx+isinxM为虚数单位），它

将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数

2021

论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.根据欧拉公式可知，e-4一表示

的复数在复平面内对应的点位于（）

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A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；欧拉公式.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据欧拉公式，将原式化为coJ°217τ+sin2021jτ「再结合三角函数的诱

JUOΛ'ɔɪɪɪΛɪ

44

导公式和复数的几何含义，即可求解.

cos（504兀+兀sin（504兀+兀+-j-）i

=π.π√2√2.

-eosɪ-smɪi

2021r-r-

：.e-4一表示的复数在复平面内对应的点（「空，工2）,位于第三象限.

故选：C.

【点评】本题主要考查了欧拉公式，以及三角函数的诱导公式和复数的几何含义，属于

基础题.

二.填空题（共4小题）

11.（2021春•鼓楼区校级期中）若复数T----则复数Z在复平面内对应的点在第一

i2021+2

象限.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标得答案.

解答

i2021+2(j4)505.j+22+i

i(2-i)rl⅛i1

22

(2+i)(2-i)-2+I-5

.∙.复数Z在复平面内对应的点的坐标为（工，2）,在第一象限.

55

故答案为：一.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是

基础题.

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12.（2020春•重庆期中）已知Z=（w+l）+（W2-4）i在复平面内对应的点在第二象限,

则实数m的取值范围是m<-2.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】由题意结合复数的几何意义即直接求解.

2

【解答】解：Z=（w+l）+（w-4）i在复平面内对应的点在第二象限，

一［m+l<0

所以I9，

m'-4>0

解得加<-2.

故答案为：m<-2.

【点评】本题主要考查了复数的几何意义，属于基础题.

13.（2021秋•屯溪区校级期中）已知复数Z=Xty3且∣Z-2,1=√E,则工的取值范围是（-

X

∞,-2/ɪiu［2/ɪ,+8）.

33

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算.

【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】由己知可得点>）在以（0,2）为圆心，以√W为半径的圆上，令工=t，则

X

tv-y=O,再由圆心到直线的距离等于半径求得3即可得到工的取值范围.

X

【解答】解：z≈x+yi9且∣z-2i∣=∣x+Cy-2）Z|=V3»

Λx2+（y-2）』3,则点（x,歹）在以（0,2）为圆心，以血为半径的圆上，

令工=t，则y=a，即比-y=0,

X

由上2=L=y,解得f=+返.

历"3

••.X的取值范围是（-8,-亨U［喙，+8）.

故答案为：（-8,-争U［亨，+8）.

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，考查直线与圆

位置关系的应用，是基础题.

14.（2021春•阜宁县期中）若复数Z满足∣z-2∣≤1,则∣z+l-4的最大值减最小值为

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【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】转化思想：转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合复数的几何含义，即可求解.

【解答】解：∙.∙∣z-2∣=l,

.∙.z在复平面内对应点轨迹是圆心为（2,0）,半径为1的圆，

：|z+l-i∣表示复数点到（7,1）距离，

又：圆心（2,0）到（-1,0）的距离为｛32+]2=Jγd

-Λ+,

・.djnin⅛ax∕TO1

∙'∙d∣nax-dmin=>∕10+ɪ~（Λ∕10-1）=2

故答案为：2.

【点评】本题主要考查复数的几何含义，以及转化的思想，属于基础题.

三.解答题（共4小题）

15.（2021春•秦州区期中）实数机分别取什么数值时，复数Z=（m2+5m+6）+（.m2-2m

-15）i.

（1）与复数2-12,相等；

（2）与复数12+16i互为共轨复数：

（3）对应的点在X轴上方.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】方程思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数.

f2

【分析】（1）根据复数相等的充要条件得m+5m+6=2解之可得.

f2_

（2）根据共转复数的定义得，m+5m+6=12解之可得.

（3）根据复数Z对应的点在X轴上方可得"2.2"?-15>0,解之可得.

f2

πf

【解答】解：（1）根据复数相等的充要条件得+5m+6=2解之，得ZW=_ɪ.

f

m2r∙_π

（2）根据共扼复数的定义得J+5"6=12解之，得WJ=L

.ι∏2-2m-15=T6.

（3）根据复数Z对应的点在X轴上方可得机2-2"?-15>0,解之，得机V-3或机>5.

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【点评】本题考查了复数相等的充要条件、共轨复数的定义、几何意义，考查了推理能

力与计算能力，属于基础题.

16.（2017秋•朝阳区校级期末）已知复数Z=（Λ2-3⅛-4）+（A-I）i（⅛∈R）:

（1）若复数Z在复平面上对应的点位于第二象限，求％的取值范围；

（2）若复数z∙i∈R,求复数Z的模团？

【考点】复数的模：复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数.

【分析】（1）利用复数所在象限，列出不等式组，求解即可；

（2）化简复数为α+bi的形式，通过复数是实数，求出我,然后求解复数的模.

【解答】解：（1）依题意得：［k2-3k-4<0…（2分）

k-l>0

f-l<k<4

得Jκ*…（4分）

k>l

Λl<⅛<4∙∙∙（6分）

（2）z∙i=（J⅛2-3⅛-4）I-（⅛-1）•••（9分）

又∙.∙z∙i∈R.∙.F-33-4=0…（10分）

".k=-1或k=4

当¢=-1时，Z=-2i,.∙.∣z∣=2

当左=4时，z=3i,.∙.∣z∣=3…（12分）.

【点评】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查计算能力.

17.（2021春•启东市期中）在①z2=-16；②Z为纯虚数；③2z=（l+z）6,其中i为虚数

单位，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

已知复数Z=（m2-2m-3）+（机-3）i,若___.

（1）求实数的值；

（2）在复平面内，若复数，v∙对应的点在直线x+y=0上，求实数。的值.

3-ai

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算；虚数单位i、复数.

【专题】转化思想：转化法：数系的扩充和复数：数学运算.

【分析】（1）选①，结合复数的运算法则，即可求解.选②，结合纯虚数的概念，即可

求解.选③，结合复数的运算法则，即可求解.

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(2)根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即