2022-2023学年湖南省郴州市博文实验中学高二数学理期末试题含解析

2022-2023学年湖南省郴州市博文实验中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知变量x，y之间具有良好的线性相关关系，若通过10组数据得到的回归方程为，且，，则（

）A.2.1 B.2 C.-2.1 D.-2参考答案：C【分析】根据回归直线过样本点的中心，可以选求出样本点的中心，最后代入回归直线方程，求出.【详解】因为，所以根本点的中心为，把样本点的中心代入回归直线方程，得，故本题选C.【点睛】本题考查了利用样本点的中心在回归直线方程上这个性质求参数问题，考查了数学运算能力.2.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.784 B．0.648 C．0.343 D．0.441参考答案：A【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．【解答】解：该同学通过测试的概率等于投中2次的概率加上投中3次的概率，即为?0.72?0.3+?0.73=0.441+0.343=0.784，故选：A．3.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，则b=（）A．4 B．4 C．2 D．3参考答案：A【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】首先利用正弦和余弦定理转化出2（a2﹣c2）=b2，结合a2﹣c2=2b，直接算出结果．【解答】解：sinAcosC=3cosAsinC，利用正、余弦定理得到：解得：2（a2﹣c2）=b2①由于：a2﹣c2=2b②由①②得：b=4故选：A【点评】本题考查的知识要点：正、余弦定理的应用及相关的运算问题．4.函数y＝f(x)是R＋上的可导函数，且f(1)＝－1，f′(x)＋，则函数g(x)＝f(x)＋在R＋上的零点个数为

A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：C∵x≠0时，f′(x)＋，，则讨论f(x)＋＝0的根的个数转化为求xf(x)＋1＝0的根的个数．设，则当x＞0时，F′(x)＝x·f′(x)＋f(x)＞0，函数F(x)＝xf(x)＋1在(0，＋∞)上单调递增，故F(x)在R＋上至多有一个零点，又F(1)＝1·f(1)＋1＝1×(－1)＋1＝0，即x＝1为函数F(x)的零点，这是函数F(x)的唯一零点，所以选C．考点：函数的零点与方程根的联系，导数的运算．5.命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为(

)

A.若a＞b，则有2a≤2b－1.

B.若a≤b，则有2a≤2b－1.

C.若a≤b，则有2a＞2b－1.

D.若2a≤2b－1，则有a≤b.参考答案：B略6.已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，则（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）为减函数 D．f（x）为增函数参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=xexf（x），g′（x）=ex[（x+1）f（x）+x′（x）]，可得函数g（x）在R上单调递增，而g（0）=0即x＞0时，g（x）=xexf（x）＞0?f（x）＞0；x＜0时，g（x）=xexf（x）＜0?f（x）＞0；在（x+1）f（x）+xf'（x）＞0中取x=0，得f（0）＞0．【解答】解：构造函数g（x）=xexf（x），g′（x）=ex[（x+1）f（x）+x′（x）]，∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）=ex[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，故函数g（x）在R上单调递增，而g（0）=0∴x＞0时，g（x）=xexf（x）＞0?f（x）＞0；x＜0时，g（x）=xexf（x）＜0?f（x）＞0；在（x+1）f（x）+xf'（x）＞0中取x=0，得f（0）＞0．综上，f（x）＞0．故选：A．7.在R上定义运算⊙：，则满足的实数的取值范围为（）A.（0，2） B.（－2，1） C. D.（－1，2）参考答案：B8.（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数）．aR（1）当a=1时,求函数的最小值；（2）若函数f(x)在上存在极小值，求a的取值范围；（3）若，证明：．参考答案：（1）解：∵，∴．令，得．∴当时，，当时，．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴当时，有最小值1．…………4分(2)∴在上递增，若函数f(x)在上存在极小值，即在有解，a的取值范围是…………8分（3）证明：由（1）知，对任意实数均有，即．令（），则，∴．即．∵∴．∵，∴．．…………14分略9.用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数z=2+3i的实部是2，所以复数z的虚部是3i”．对于这段推理，下列说法正确的是（）A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误 D．推理没有问题，结论正确参考答案：A【考点】演绎推理的基本方法．【分析】复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，这个说法是错误的，即大前提是错误的．【解答】解：复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，这个说法是错误的，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，∴在以上三段论推理中，大前提错误．故选：A．10.方程的图象是

(

)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，则线段PD的中点M的轨迹方程为

．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】设出M的坐标为（x，y），利用中点坐标得出P的坐标为（x，2y），P点在圆上，带入可以M的轨迹方程．【解答】解：由题意，设M的坐标为（x，y），x轴的垂线段PD，M是线段PD的中点，∴P的坐标为（x，2y）点P在圆x2+y2=16上，∴x2+4y2=16即．故答案为：．【点评】本题考查了轨迹方程方程的求法，利用到了中点坐标的关系．属于基础题．12.=（n∈N+）参考答案：i略13.边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则的取值范围是

．参考答案：

14.如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为

▲

．参考答案：64略15.行列式的最大值是

参考答案：16.已知数列{an}满足，则数列{an}的通项公式an=_______．参考答案：【分析】先对式子进行变形得到可知为等差数列，从而可得通项公式.【详解】因为，所以所以是以1为首项和公差的等差数列，所以，故.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，通过构造等差数列求解数列的通项公式，如何构造等差数列是求解这类问题的关键，一般是根据递推关系式的特点，结合等差数列的定义形式来进行构造，侧重考查转化与化归的数学思想.17.已知数对满足，则的最大值是___________.参考答案：6_略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题8分）已知函数在（）处的切线方程为。（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？参考答案：解：（Ⅰ）因为，1分而函数在处切线为，所以

3分即解得所以即为所求。4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可知，的单调增区间是。5分所以，

7分所以。所以当时，函数在区间上单调递增。8分19.甲乙两班级进行数学测试，每班45人，统计学生成绩，乙班优秀率为20%，甲班优秀人数比乙班多三人.（1）根据所给数据完成下列2×2列联表；

优秀不优秀总计甲班

乙班

总计

（2）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为成绩与班级有关系？参考公式：：，其中；临界值表供参考：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：（1）见解析（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”，详见解析【分析】（1）先根据乙班优秀率求出乙班优秀人数，进而可得甲班优秀人数，从而可得列联表；（2）先根据数据求出卡方，结合临界值可得结论.【详解】（1）根据所给数据完成下列列联表；

优

秀

不优秀

总

计

甲

班123345

乙

班93645

总

计216990

（2）假设“成绩与班级无关”，据列联表计算，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”．【点睛】本题主要考查独立性检验及列联表的完善，独立性检验结论的获得主要依赖卡方公式计算的结果.20.某市公用电话（市话）的收费标准为：分钟之内（包括分钟）收取元；超过分钟部分按元/分钟加收费。设计一个程序，根据通话时间计算话费。参考答案：解析：

21.（本小题12分）．点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。参考答案：设，则即，当时，；当