2023-2024学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市汽开区九年级(上)期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.2s讥45°的值为()

A.72B.1C.CD.C

22

2.将二次函数y=x2—6x+2化成y=a(x—h)2+k的形式为()

A.y=(%—3)2+2B.y=(%—3)2—7C.y=(%+3)2—7D.y=(%—6)2+2

3.若点A在二次函数y=(%--4图象的对称轴上，则点”的坐标可能是()

A.(-5,0)B.(5,0)C.(0,4)D.(0,-4)

4.某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室.已知2021年该学校用于购买图书的费用为10000

元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元.设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为久，根据

题意可列方程为()

A.10000(1+%)2=14400B.10000(1+2%)=14400

C.10000(1+%)♦2=14400D.10000(1+%2)=14400

5.已知点人是。。外一点，且。。的半径为6,贝的长可能为()

A.2B.4C.6D.8

6.如图，某零件的外径为12CM,用一个交叉卡钳04c=8。)可测量零件的内孔直径DC

若04OC=OB：OD=2,且量得CD=5cm,则零件的厚度%为()

A.2cm

B.1.5cm

C.lcm

D.0.5cm112cm

7.如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子48的长为10米，梯子与地面形成的夹角为

^BAC=41°,则墙的高度8。为()

A.10cos410米

B.10s讥41°米A

8.如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面.具体操作如下：作。。的任意一条直径

FC,以点F为圆心、OF长为半径作圆，与。。相交于点E、4以点C为圆心、

OC长为半径作圆，与。。相交于点。、B；连结EF、凡4、BC、CD,得到两个

扇形，并裁剪下来.若。。的半径为10CM,则剩余纸板(图中阴影部分图形)的面

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9.关于久的方程/-2x+k=。有两个相等的实数根，贝心的值是o

10.抛物线y=3(x-2尸+9的顶点坐标为.

11.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直

线上的三个点4B、C都在横格线上.若线段48=2cm,则线段8c=cm.

12.如图，MN是。。的切线，”是切点，连结。M、ON.若NN=36。，则NMON的,一

大小为度.(/'

13.如图，48为半圆。的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点

P在半圆上，斜边过点B,一条直角边交该半圆于点。若力B=4,则弧BQ的长

为.

AOB

14.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线.如图是小冬与小雪将

绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立

点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是（0,1）.身高1.60米的

小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头顶,若身高1.75米的小伟站在这条绳子的正下

方，他距y轴小米，为确保绳子超过他的头顶，则小的取值范围为.

三、计算题：本大题共1小题，共6分。

15.解方程：x2-4x+1=0.

四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题6分）

现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案均为成都第31届世界大学生夏季运动会会徽（卡片分别

记为&,4，第三张卡片的正面图案为成都第31届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”（卡片记为B）,

卡片除正面图案不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回,

重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”

的概率.

CHENGDU

17.（本小题6分）

已知二次函数y=a/+.一2（。。0）的图象经过点（一1,一4）、（1,6）,求这个二次函数的表达式.

18.（本小题7分）

在汽开区中小学科技节会场上，一架无人机进行实时航拍.如图，无人机在空中4处的飞行高度为4C,地面

观测点B处观测无人机在空中4处的仰角a=18。，已知BC=70米，求此时无人机的飞行高度4C,(结果精

确到0.1米)

【参考数据：s讥18°b0,309,cosl8°«0.951,tanl8°«0.325]

19.(本小题7分)

图①、图②、图③均是6X6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上,

点。为A8的中点.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.

(1)在图①中AABC的边BC上确定一点E,连结DE,使

(2)在图②中△ABC的边4C上确定一点F,连结DF,使乙4尸。=NC.

(3)在图③中△ABC的边力C上确定一点G,连结DG,使乙4GD=NB.

如图，4B为O。的直径，点C、。都在。。上，且BD平分N48C,过点。作DE18C,交BC的延长线于点

E.

(1)求证：DE是。。的切线.

(2)延长ED交B4的延长线于点F.若NF=30°,AB=8,贝UBE的长为.

E

21.（本小题8分）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-：/+力%+c经过点/（一1,0）和点8（0,|）,顶点为C.

（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式.

（2）求顶点C的坐标.

⑶当yN割寸，直接写出x的取值范围.

JV

HV

22.（本小题9分）

【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：

P^）

图①图②

点4为O。内一定点，点P为O。上一动点，确定点P的位置，使线段4P最长.

【问题解决】以下是小华的方法：

如图①，连结4。并延长交。。于点P,点P为所求.

理由如下：在。。上取点P'（异于点P）,连结AP'、OP'.

接下来只需证明AP>4P'.

请你补全小华的证明过程.

【类比结论】点4为。。外一定点，点P为O。上一动点，设O。的半径为r,4。的长为小，则线段4P长度

的最大值为，线段4P长度的最小值为.(用含r、山的代数式表示)

【拓展延伸】如图②，在半圆。中，直径的长为10,点D在半圆。上，AD=6,点C在命上运动，连结

AC,”是4C上一点，且ADHC=90。，连结在点C运动的过程中，线段长度的最小值为.

23.(本小题10分)

如图，在△ABC中，ZX=90°,AB=5,4C=10,点D为边AC的中点，动点尸从点4出发，沿折线4B-

BC向点C运动，点P在AB上以每秒1个单位长度的速度运动，在BC上以每秒，^个单位长度的速度运动，在

点P运动过程中，连结PD,将△2PD沿PD翻折得到△4PD.设点P的运动时间为t秒(0<t<10).⑴求BC的

长.

(2)用含t的代数式表示线段BP的长.

⑶当△"?£)与A4BC相似时，求t的值.

(4)当四边形4PA。为中心对称图形时，直接写出t的值.

24.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+n久+几经过点a(4,-6).点P是该抛物线上一点，其横坐标为TH.以

4P为对角线作矩形2BPC,4Bly轴.

(1)求抛物线所对应的函数表达式.

(2)当抛物线在矩形ABPC内部的点的纵坐标y随久的增大而减小时，小的取值范围为.

(3)设抛物线在矩形ABPC内部的图象(包括边界)的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为h时，求八与小

之间的函数关系式.

(4)设这条抛物线的顶点为D,△APD的面积为S.当S=6时，直接写出租的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：2sin45°=2x=/2.

故选：A.

根据特殊角的正弦值解决此题.

本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的正弦值是解决本题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：y-x2-6x+2

=x2—6x+9—9+2

=(x-3)2-7,

故选：B.

利用配方法把一般式化为顶点式，判断即可.

本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：二次函数y=(%-5)2-4图象的对称轴为x=5,

•.•点4在二次函数y=(x—5)2—4图象的对称轴上，

・••点4的横坐标为5,

故选：B.

根据函数解析式可确定对称轴为刀=5,点a在对称轴上，因此a的横坐标为5,进而可得答案.

此题主要考查了二次函数的性质，关键是正确确定抛物线的对称轴.

4.【答案】A

【解析】解：由题意可得，

10000(1+%)2=14400.

故选：A.

根据题意和题目中的数据，可以列出方程10000(1+x)2=14400,然后即可判断哪个选项符合题意.

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型

的增长率问题.

5.【答案】D

【解析】解：,点/是O。外一点，

•••0A>6,

。4的长可能为8.

故选：D.

根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径6可对各选项进行判断.

本题考查了点与圆的位置关系：若半径为r,点到圆心的距离为d,则有当d>r时，点在圆外；当d=r

时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.

6.【答案】C

【解析】解：0C=OB：0D=2,乙AOB=4C0D,

■■.AAOB-ACOD,

AB：CD=2,

AB：5=2,

AB-10(cm),

：外径为12cm,

10+2%=12,

x—l(cm).

故选：C.

求出AAOB和AC。。相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出48,再根据外径的长度解答.

本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出x的长.

7.【答案】B

【解析】解：在Rt△力BC中，AB=10米，ZSXC=41°,

•••sinZ-BAC—维，

AB

：.BC=AB-sin^BAC=10s出41°(米)，

故选：B.

根据正弦的定义计算，得到答案.

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：连接EB,AD,

EF,4F的面积与弓形E。，4。的面积相等，弓形CD,BC的面积与弓形。£»,

。8的面积相等，

・••图中阴影部分的面积=S扇形ED。+S扇形ABO,

0E=0D=4。=OB=OF=0C=10cm,

••.△ED。、△ZOB是正三角形，

2

・•・阴影部分的面积=处四上x2=—(cm2).

3603vJ

故选：B.

连接E8,AD,将图中阴影部分面积拼补为扇形ED。与扇形40B面积之和，进一步利用扇形的面积公式从

2

而求出阴影部分的面积=6。畛1°X2,即可求解.

360

本题考查扇形的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键.

9【答案】1

【解析】解：••・关于久的方程/-2x+k=0有两个相等的实数根，

；.△=(-2)2-4xlxfc=0,

解得：k—1.

故答案为：L

根据根的判别式4=0,即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值.

本题考查了根的判别式，牢记“当△=()时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键.

10.【答案】(2,9)

【解析】解：••・抛物线y=3(x-2)2+9,

•••该抛物线的顶点坐标为(2,9),

故答案为：(2,9).

根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标.

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以写出顶点坐标.

n.【答案】6

【解析】解：如图，过点4作4E1CE于点E,交BD于点D,

••・练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等,

AB__AD_

~BC~~DE

n即n一2=一2，

BC6

BC=6cm.

故答案为：6.

过点力作力E1CEE",交加于点。，根据平行线分线段成比例可得需=募代入计算即可解答.

本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键.

12.【答案】54

【解析】解：rMN是。。的切线，M是切点,

0M1MN,

•••4OMN=90°,

•••NN=36°,

•••乙MON=90°-36°=54°.

故答案为：54.

根据切线的性质得到NOMN=90°,然后利用互余计算出NMON的度数.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.

13.【答案】兀

【解析】解：连接OQ，

AoB

•・•乙P=45°,

・•・(QOB=24P=90°,

vAB=4,

OB=2,

•••弧BQ的长=片等=7T.

loU

故答案为：71.

连接。Q,根据圆周角定理可得出NQOB=2NP=90。，根据弧长公式即可得出结论.

本题考查的是圆周角定理，掌握弧长公式是解答此题的关键.

14.【答案】1.5<小<2,5

【解析】解：由题意，设解析式为y=aQ—2)2+k,

又由小丽的坐标(1,1,6),且过(0,1),

1,9

d=——,/c=~.

••・解析式为y=-1(x-2)2+1.

又令y=L75时,

•••x=2.5或％=1.5.

1.5<m<2.5.

依据题意，设解析式为y=-2/+%，再由小丽的坐标(1,1.6),且过(0,1),求出a,k,最后令y=

1.75时，求出K，进而表示出m的范围.

本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键在于数值运算，为基础题.

15.【答案】%2-4%+1=0,

解：%2-4x=-1,

产—4%+4=—1+4,

(%-2)2=3,

x-2=

与=2+到=2-V-3-

【解析】本题主要考查解一元二次方程的知识，解答本题的关键是知道运用配方法解一元二次方程的方

法，先把久2一4%+1=0配方成(％-2)2=3,然后再求出方程的解.

16.【答案】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：

开始

A,A2B

/T\

A、k2BA〕A?BA(A2B

共有9种等可能出现的结果，其中两张卡片上的图案都是“蓉宝”的只有1种，

所以两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率为今

【解析】用树状图表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行解答即可.

本题考查列表法活树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键.

17.【答案】解：把(-1,-4)、(1,6)分别代入数y=a%2+bx-2得｛:；:二箕/，

解得｛、；，

所以这个二次函数解析式为y=3比2+5x-2.

【解析】把2个已知点的坐标分别代入y=ax2+bx-2中得到关于a、6的方程组，然后解方程组即可.

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的

条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了二次函数图象上点的坐标特征.

18.【答案】解：在RtAACB中，BC=70米，^ABC=a=18°,

AC

tana=―,

DC

AC—BC-tana—70tanl8°«70x0.325~22.8米)，

答：无人机的飞行高度AC约为22.8.

【解析】根据正切的定义求出4C.

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

19.【答案】解：(1)如图1中，线段DE即为所求；

(2)如图2中，线段DF即为所求；

(3)如图3中，线段DG即为所求.

BB

图①图②图③

【解析】(1)利用网格特征作出BC的中点E,连接DE即可；

(2)利用网格特征作出线段4C的中点F,连接DF即可；

(3)利用平行线分线段成比例定理作出线段4G=孚，连接DG即可.

本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题.

20.【答案】6

【解析】(1)证明：连结。D,如图,

•••BD平分N48C,

Z.OBD=乙EBD,

OB=OD,

Z.ODB=Z-OBD,

z.ODB=Z.EBD,

OD//BE,

•・,DE1BE,

・••DE1OD,

・•••DE是。。的切线；

(2)解：•••4B=8,

OA=OB=OD=4,

OD1EF,

・•・乙ODF=90°,

在R”。。尸中，

•・•乙F=30°,

OF=2OD=8,

・•.BF=OF+OB=8+4=12,

BE1EF,

・•・乙E=90°,

在Rt△EFB中，

•・•ZF=30°,

.­.BE=^BF=6.

故答案为：6.

(1)连结。D,如图，先证明NODB=NEBD得到。D〃BE,再利用DE1BE得到DE1。£),然后根据切线的

判定方法得到结论；

(2)根据含30度角的直角三角形三边的关系，先在Rt△ODF中计算出。F=8,则BF=12,然后在RtA

EFB中可计算出BE的长.

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经

过切点的半径.

21.【答案】解：(1)•••抛物线y=~^x2+bx+c经过点4(—1,0)和点B(0,|),

(1

-h+c=0

5，

、c=2

(b=2

解得「_5,

2

这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y=-1%+2%+1;

151o9

(2)•・•y=--xn2+2x+-=--(x-2)2+-,

••・顶点C的坐标为(2,今；

(3)•.•y=|时，乂=0或4,

根据图象得当y2£时，0W*W4.

【解析】(1)把4点和B点坐标代入y=-^/+6x+c中得到关于从C的方程组，然后解方程组求出b、c即

可；

(2)把(1)中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解.

(3)根据二次函数的性质求解即可.

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的

条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般

式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来

求解；当已知抛物线与X轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性

质.

22.【答案】m+rm-r-3

【解析】解：【问题解决】如图①，连结4。并延长交。。于点P，点P为所求.

理由如下：在。。上取点P'（异于点P）,连结AP'、0P'.

在△aop'aop中，OA+OP'>APAP',

OP=OP',

.­.OA+OP>AP',

即4P>AP'-,

【类比结论】如图，线段4。交O。于点P',4。的延长线交于点P,

由【问题解决】知，此时4P长度最大为。4+OP=m+r,

当点P在P'位置时，4P长度最小为。A-OP'=m-r,

二线段力P长度的最大值为巾+r,线段4P长度的最小值为机-r,

故答案为：m+r；m-r；

【拓展延伸】解：如图②，取力D的中点M,连接BD,HM,BM.

.­.AAHD=90°,

.•.点H在以M为圆心，MD为半径的OM上,

1

...MH=MD=^AD=3,

・•・当M、H、B共线时，BH的值最小,

•••4B是直径,

.­.AADB=90°,

BD=7AB2—AD2=V102-62=8,

BM=7BD?+MD2=V82+32=/73,

的最小值为BM-MH=/73-3,

故答案为：V73-3.

【问题解决】根据三角形三边关系求解即可;

【类比结论】结合【问题解决】求解即可;

【拓展延伸】取4。的中点连接BD,HM,BM.由题意点H在以M为圆心，MD为半径的OM上，推出当

“、H、B共线时，的值最小.

本题是圆的综合题，考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线并能够根据点的运动情况确定H点的运动轨迹是解题的关键..

23.【答案】解：(1)ZX=90°,AB=5,AC=10,

BC=y!AB2+AC2=V52+102=5<5>

BC的长为56；

(2)当0<tW5时，P在AB上，BP=5—t；

当5<tW10时，P在BC上，BP=<5(t-5)=/5t-5/5;

(0<t<5)

BP=

5/5(5<t<10)；

⑶•・•△4PD是将△4PD沿PD翻折得至ij,

.•.当△A'PD^A28C相似时，AAPD与AABC相似;

当P在AB上时，如图:

•••AB=5,AC=10,

AP_AB_5_1日n”_1

ADAC10252

解得4P=I，

*AP5

•••t=——=-：

12

当P在BC上时，如图:

止匕时N4DP=ABAC=90°,—=—=1.

ADAC2

PD//AB,

・・•。为AC中点，

：.P为BC中点,

...BP/BC=亨

再隼=g零竺；

1/51十后2

综上所述，t的值为冷瑞；

(4)•四边形力P4O为中心对称图形，

••・四边形4PAD是平行四边形，

•••AP=A'P,

••・四边形力P4O为菱形；

当P与B重合时，如图：

此时4P=48=5=4P=AD=A'D,S.Z,BAC=90°,

••・四边形apAD为正方形，是中心对称图形，满足条件,

此时"牛=5；

当P在BC上，四边形4P&D为菱形时，过4作2H18C于H,如图:

•••AP^AD=5=AB,AH1BC,

BH=PH,

2s—BC=AB-AC=BC,AH,

・ALT—_5x10_

「AH-BC~5^5-，75,

BH=ylAB2-AH2=J52_(2四2=片

PH=

BP=2<5>

t=-AB-"F,-B^P==5L+,2c=7r；

综上所述，t的值为5或7.

【解析】(1)由勾股定理可得BC的长为5"；

(2)分两种情况：当0<tW5时，P在2B上，BP=5—t；当5<tW10时，P在BC上，BP=<5(t-5)=

⑶当AAPD与ANBC相似时，AAPD与AaBC相似；分两种情况：当P在48上时，喘=*=1=；,即

AD/IC1±UZ

空=:，可得得”当P在BC上时，可求出8