【2023小升初】差不变原理（思维提高）-小升初数学思维拓展卷（通用版）

差不变原理

选择题（共3小题）

1.如图，四边形ABC。为长方形，四边形COE尸为平行四边形.下面四种说法中正确的是

()

A.甲的面积比乙的面积大

B.甲的面积比乙的面积小

C.只有当丙、丁两部分面积相等时，甲、乙两部分面积才相等

D.甲、乙两部分面积总是相等的，与丙、丁两部分面积的大小无关

2.如图，正方形ABCO的边长是10厘米，长方形EFGH的长为8厘米，宽为5厘米.则

阴影部分的甲与阴影部分乙面积的差是（）平方厘米.

A.40B.50C.60D.80

3.如图，线段BE将长方形ABCD分成M、N两个部分，如果M部分比N部分的面积小

180平方厘米，那么AE的长是（）

C.20厘米D.14厘米

二.填空题（共25小题）

4.三角形ABC是直角边长为4厘米的等腰直角三角形，将三角形ABC向左平移1厘米得

到三角形。EF,那么，图中两块阴影部分的面积差______平方厘米.

B

5.如图，长方形ABCD中，E,F分别是A。，BC上的点，满足AE=BF=13AO,AB=9

厘米，AD的长度是整数。4CG尸与AAEG的面积之差的值也是整数，并且是5的倍数。

则AD的最小值为______厘米。

6.图中给出了一个顶角120度，边长为6c机的等腰三角形，先以其顶点为圆心，腰长为半

径做出一个扇形，又以其底边为直径作出一个半圆，那么图中阴影部分面积之差为

C∕M2O（π=3.14）

7.图中给出了一个边长为6a”的正三角形，以其一顶点为圆心做出一个扇形，又以其一边

为直径作出一个半圆，那么图中两个阴影面积之差为Cm2。（π=3∙14）

8.边长为α+〃的正方形纸片有以下两种剪裁方法，按照“等量减等量差相等”的原则，阴

影部分所表示的三个小正方形的面积之间的关系可以用b.C表示为.

9.如图，边长为12c,"的正方形与直径为16CTO的圆部分重叠（圆心是正方形的一个顶点）,

用Si，S2分别表示两块空白部分的面积，则S1-S2=切,（圆周率11取3）.

10.如图，四个相叠的正方形，边长分别是9厘米、7厘米、5厘米、3厘米，灰色区与黑

色区的面积差是平方厘米.

11.图中，A8是圆。的直径，长6厘米，正方形BCZ）E的一个顶点E在圆周上，ZABE=

45°.那么圆。中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于

平方厘米（取π=3.14）

D

12.如图，已知正方形ABCQ的边长是8厘米，AAO尸的面积比aCEF的面积大12平方厘

13.小张有200支铅笔，小李有20支钢笔.每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支

钢笔.经过次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍.

14.如图，三角形ABC和三角形QEF分别是等腰直角三角形.已知。F=6,AB=5,EB

=2.6,则阴影部分的面积是.

D

/Me

15.如图,ABCQ是长方形，图中的数是各部分的面积数，则图中阴影部分的面积为.

D

!!

16.如图，ABCG是4X7的长方形，QEFG是2X10的长方形，那么三角形BCM的面积与

三角形DEM的面积之差是

17.如图，图中阴影的面积是

18.如图，大、小两个正方形拼在一起，比较图中两块阴影部分面积的大小：SAABES

&CDE-

19.图中，大正方形面积比小正方形面积多24平方米，求：小正方形的面积是平方

米.

M--M

2米

20.如图，以直角三角形的直角边长20厘米为直径画一个半圆，阴影部分①的面积比②的

面积小16平方厘米，则BC=______厘米.

C

(2)

AB

21.如图所示，扇形ABQ的半径是8厘米，阴影部分甲比阴影部分乙大26.24平方厘米,

则直角梯形ABCD的面积是平方厘米.

22.如图，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6〃广，则α=

23.如图所示，直角三角形直角边AB=20厘米，阴影面积I比阴影面积∏少7平方厘米,

则BC的长是____厘米。

24.有两根木条，第一根木条长28厘米，第二根木条长20厘米，两根木条都剪去同样长的

一段以后，第二根剩下的长度是第一根剩下的59,剪去一段的长度是___厘米.

25.两捆铁丝的长度相等，在第一捆用去30米后，第二捆用去64米后，第一捆余下的正好

是第二捆余下的5倍多2米.这两捆铁丝每捆原来长米.

26.如图所示，已知SAABC=1,FE=EC,AF=13AB,则阴影部分的面积为.

27.如图,大正方形比小正方形的面积大40平方厘米,大正方形的面积是平方厘米.

BE=70m,S阴-SMFH=I20〃/,则//B=

≡.解答题（共32小题）

29.如图，正方形ABCQ边长是6厘米，三角形AFO是正方形的一部分，三角形FCE的面

积比三角形AFO大6平方厘米，求CE长多少厘米.

30.如图，已知等腰aABC中，AB=AC=25厘米，AD±BC,P为底边BC延长线上的任

意一点，PElAC,PFA.AB,AO=24厘米，BC=14厘米，问PF与PE的差是否不变？

若差不变请求出这个差；若不是请说明理由.

31.如图，BQ是梯形ABC。的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰。C平行，AE与BD

相交于0点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且

EC=25BC.求梯形ABCQ的面积.

32.水桶中装有水，水中插有A、B、C三根竹竿，露出水面的部分依次是总长的13,14,

15.三根竹竿长度总和为98厘米，求水深.

33.有两条纸带，一条长21厘米，另一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段后,

发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的813,剪下的一段有多少厘米?

34.柳树的棵数是杨树的5倍，如果两种树再各利I4棵，那么柳树的棵数是杨树的3倍.柳

树和杨树原来各有多少棵?

35.甲、乙两堆煤，甲堆有120吨，乙堆有90吨，两堆都卖出同样多的煤以后，乙堆剩下

的是甲堆剩下的14,甲堆卖出多少吨？

36.如图，求阴影部分面积之差.（单位：Cm）

37.如右图，正方形ABCD的边长是8厘米，三角形AoF的面积比三角形CEF的面积小6

平方厘米.求CE的长.

38.有两根绳子，第一根长35米，第二根长75米，各用去同样长的一段后，第二根剩下的

长度是第一根剩下长度的5倍，两根绳子各剩下多少米？

39.如图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？

6厘米

40.甲、乙两人分别带150元、70元去买东西，两人买了同样的东西后，剩下的钱数甲是

乙的5倍，问：甲、乙两人身上各剩多少钱？每人花了多少钱?

41.已知下图大圆的半径为4C〃7,小圆的半径为3c〃?，求两个圆阴影部分的面积的差.

42.计算图中BE的长度.

43.如图：以AB为直径作半圆，三角形A8C是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的

面积小28平方厘米，AB长40厘米.求BC的长度.（π取3.14）

44.如图，平行四边形BCE尸中，BC=8厘米，直角三角形中，4C=10厘米，阴影部分面

积比三角形AO”的面积大8平方厘米.求A”长多少厘米?

45.甲厂人数比乙厂少540人，若从两厂各走600人，乙厂人数恰好是甲厂人数的4倍，求

甲厂原有多少人?

46.佳佳和乐乐有一些钱，佳佳的钱数是乐乐的5倍，现在给佳佳和乐乐每人各90元，现

在佳佳的钱数就是乐乐的3倍，请问现在佳佳和乐乐各有多少钱?

47.小明的童话书的数量是小敏的3倍，当两人再各买5本，则小明的童话书就是小敏的2

倍，原来两人各有多少本童话书？

48.两根绳子，第一根长24米，第二根长30米.当两根绳子剪去同样长的一段后，第一根

剩下的长度是第二根剩下的58,每根剪去多少米？

49.如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度.

50.小张所有的铅笔支数是小李的6倍，如果两人各再买2支，那么小张所有的支数是小李

的4倍，两人原来各有铅笔多少支？

51.甲、乙两种商品原价比是5：4,如果两种商品都降价20元，这时甲、乙两种商品现价

比是9：7,求现在甲、乙两种商品的价格是多少？

52.有大、小两桶酒，大桶有酒120千克，小桶有酒90千克，两桶卖出同样多的酒后，大

桶剩下的酒正好是小桶剩下的酒的4倍，两桶各剩下多少千克酒，各卖出多少千克酒？

53.图中ABCD是长方形,三角形EFD的面积比三角形48尸的面积大6cv∏2,其中BC=6cm,

AB=4cm,求EQ的长.

54.甲仓库存粮840千克，乙仓库存粮640千克，当两仓库运出同样多后，甲仓库剩下的存

粮是乙仓库存粮的3倍，两仓库各运出多少千克？

55.如图所示，阴影①的面积比阴影②的面积大28平方厘米，AB=40厘米，求BC的长。

56.今年小亮的年龄是小英的2倍，6年前小亮的年龄是小英的5倍.小英和小亮今年各多

少岁？

57.两根绳子，第一根长40米，第二根长30米，两根绳子各剪去同样长的一段后，发现第

二根绳子剩下的长度是第一根剩下长度的35,两根绳子各剪去多少米？

58.如图，长方形的长为12厘米，宽为5厘米.阴影部分甲的面积比乙的面积大15平方厘

米.求Ez）的长.

59.原来学校书法组的人数是美术组人数的23,这学期书法组和美术组各增加了5人，现

在书法组的人数是美术组的57.原来书法组和美术组各多少人？

60.哥哥所有的铅笔的支数是弟弟的7倍，如果两人各再买2支，那么哥哥所有的支数是弟

弟的5倍，两人原来各有铅笔多少支？

差不变原理

参考答案与试题解析

一.选择题（共3小题）

1.如图，四边形ABCQ为长方形，四边形CZ）EF为平行四边形.下面四种说法中正确的是

（）

CD

FEBA

A.甲的面积比乙的面积大

B.甲的面积比乙的面积小

C.只有当丙、丁两部分面积相等时，甲、乙两部分面积才相等

D.甲、乙两部分面积总是相等的，与丙、丁两部分面积的大小无关

【分析】因为四边形ABC。为长方形，所以BC=A。，AB=CD,因为四边形CQEF为平

行四边形，所以CO=EF所以AB=E凡两边同时加上BE,所以BF=AE;根据等底等

高的三角形的面积相等，所以得出三角形CBF的面积=三角形DAE的面积，因为丁是

公共部分，所以甲、乙两部分面积总是相等的，与丙、丁两部分面积的大小无关；由此

即可判断.

【解答】解：四边形ABCo为长方形，所以8C=AO,AB=CD,

因为四边形CZ）EF为平行四边形，所以CD=EF,所以AB=EF,

两边同时加上BE,所以BF=AE;根据等底等高的三角形的面积相等，

所以得出三角形CBF的面积=三角形DAE的面积，

则：三角形CBF的面积-丁的面积=三角形D4E的面积-丁的面积，

所以甲、乙两部分面积总是相等，与丙、丁两部分面积的大小无关；

故选：Do

【点评】明确等底等高的三角形的面积相等，是解答此题的关键.

2.如图，正方形ABe。的边长是10厘米，长方形EFGH的长为8厘米，宽为5厘米.则

阴影部分的甲与阴影部分乙面积的差是（）平方厘米.

A.40B.50C.60D.80

【分析】甲-乙=（甲+空白）-（乙+空白）=正方形ABC。的面积-长方形EFGH的

面积

【解答】解：

10×10-8×5=60（平方厘米）

故选：Co

【点评】此题运用的是差不变原理，被减数和减数同时加上或减去同一个数，差不变.

3.如图，线段BE将长方形A8CZ）分成M、N两个部分，如果M部分比N部分的面积小

180平方厘米，那么AE的长是（）

At-----十——

yN20厘米

B^—————IC

30厘米

A.24厘米B.21厘米C.20厘米D.14厘米

【分析】根据题意可得到等量关系式：N部分的面积加上历部分的面积等于长方形的面

积，可设N部分的面积为X,那么M部分的面积为X-180,将未知数代入等量关系式进

行解答即可得到N部分的面积；再根据梯形的面积公式求出ED的长，最后用AD-ED

=AE.

【解答】解：设N部分的面积为X,那么〃部分的面积为X-180,

x+（χ-180）=30X20

Zr-180=600

2x=600+180

2x=780

x=390;

N部分的面积是390平方厘米.

设梯形的上底为y,

（y+30）×20×12=390

Ioy+300=390

Ioy=90

y=9；

AE=30-9=21（厘米）；

故选：B。

【点评】解答此题的关键是根据M部分与N部分和长方形的面积之间的关系，求出N部

分的面积，进一步求解即可.

二.填空题（共25小题）

4.三角形A8C是直角边长为4厘米的等腰直角三角形，将三角形A8C向左平移1厘米得

到三角形。ER那么，图中两块阴影部分的面积差上一平方厘米.

【分析】左侧空白部分是公共部分，所以图中两块阴影部分的面积差就等于长方形4BEZ）

与三角形EFD的面积差，据此求出两者的面积再作差即可.

【解答】解：4×4÷2-4×l

=8-4

=4（平方厘米）

故答案为：4.

【点评】本题考查差不变原理的灵活应用，这种类型的问题常常转化为其它两个容易求

出的图形的面积差.

5.如图，长方形ABCD中，E,F分别是A。，BC上的点，满足AE=BF=13A。，AB=9

厘米，AQ的长度是整数。^CGF与AAEG的面积之差的值也是整数，并且是5的倍数。

则AD的最小值为10厘米。

【分析】利用差不变的原理，将ACGF的面积减去aAEG的面积转化成与已知条件A3、

AO相关的式子，然后根据差值是5的倍数求出答案。

【解答】解：利用差不变原理，我们有：

SΔCGF-SΔAEG

=SWii®CDEF~S∕∖ADC

=23s长方形ABC£>-12S长方形ABCD

=I6s长方形ABCD

=16×AB×AD

=32Ao

由于这个差值是5的倍数，并且是整数,

所以3A。是10的倍数，

则AO的最小值为10厘米。

故答案为：10。

【点评】解答本题的关键是掌握差不变原理，将两个三角形的面积差转化为易求面积的

图形的面积差是本题解题的关键。

6.图中给出了一个顶角120度，边长为6a”的等腰三角形，先以其顶点为圆心，腰长为半

径做出一个扇形,又以其底边为直径作出一个半圆,那么图中阴影部分面积之差为4.71

2

CWo（π=3.14）

【分析】中间空白部分是两个阴影部分的公共部分，所以图中两个阴影面积之差就等于

扇形的面积与半圆的面积差，据此根据圆和扇形的面积公式解答即可。

【解答】解：扇形的面积：62π×120360=12π（平方厘米）

半圆的面积：（62-32）π÷2≈13.5π（平方厘米）

面积差：13.5π-1如=4.71（平方厘米）

答：图中两个阴影面积之差为4.71sΛ

故答案为：4.7k

【点评】本题考查了差不变原理的灵活运用，关键是转化为求扇形的面积与半圆的面积

差。

7.图中给出了一个边长为6C7〃的正三角形，以其一顶点为圆心做出一个扇形，又以其一边

为直径作出一个半圆，那么图中两个阴影面积之差为4.71Cm2。（π=3.14）

【分析】中间空白部分是两个阴影部分的公共部分，所以图中两个阴影面积之差就等于

半圆的面积与扇形的面积差，据此根据圆和扇形的面积公式解答即可。

【解答】解：扇形的面积：62π×60360=6π（平方厘米）

半圆的面积：32π÷2=4.5π（平方厘米）

面积差:6π-4.5π=4.71（平方厘米）

答：图中两个阴影面积之差为4.71C7"20

故答案为：4.71«

【点评】本题考查了差不变原理的灵活运用，关键是转化为求半圆的面积与扇形的面积

差。

8.边长为α+6的正方形纸片有以下两种剪裁方法，按照“等量减等量差相等”的原则，阴

影部分所表示的三个小正方形的面积之间的关系可以用α,b.C表示为亦=/+层.

【分析】按照“等量减等量差相等”的原则，两个图的面积相减为0,故可以把所有图形

的面积加起来，算出总面积，再列出关系式.

【解答】解：根据分析，大正方形的面积=（α+b）2,第1个图中，有：（a+b）2=12x

a×b×4+c2=2ab+c2↑

第2个图中，有：（.a+h）2=a×b×2+al-+b1=2ab+a2'+b1,

根据“等量减等量差相等”的原则，有一：（4+6）2-（α+⅛）2=2ab+c2--（2α⅛+αW）

=O=C2-a2-b2,

故:c1=a2+b2

故答案是：J=/+。？

【点评】本题考查了差不变原理，本题突破点是：运用等量减等量差相等的原则，不难

求得a,氏c的关系式.

9.如图，边长为12cm的正方形与直径为16Cm的圆部分重叠（圆心是正方形的一个顶点），

用S1,S2分别表示两块空白部分的面积，则SLS?=485?（圆周率π取3）.

【分析】根据图意可得：Si-52=（Sι+S阴）-（S2+S阴）=S固-5正=3X（16÷2）2-

122=192-144=48（平方厘米）；据此解答.

【解答】解：3×（16÷2）2-122

=192-144,

=48（平方厘米）；

答:Si-S2=48cm2.

故答案为：48.

【点评】本题考查了差不变面积问题和重叠问题的灵活应用，重点是明确把重叠部分从

整体上去考虑.

10.如图，四个相叠的正方形，边长分别是9厘米、7厘米、5厘米、3厘米，灰色区与黑

色区的面积差是48平方厘米.

【分析】空白部分是两个相邻正方形的公共部分，所以两个相邻正方形的面积差不变，

所以根据正方形的面积公式求出面积再求出面积差即可.

【解答】解：（9X9-7X7）+（5X5-3X3）

=32+16

=48（平方厘米）

故答案为：48.

【点评】本题考查了差不变原理的灵活应用，关键是明确数量之间的关系.

11.图中，AB是圆。的直径，长6厘米，正方形BCz）E的一个顶点E在圆周上，ZABE=

45°.那么圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于10.26

平方厘米（取n=3.14）

【分析】连接EO,圆O中非阴影部分的面积-正方形BCDE中非阴影部分面积=（圆

O中非阴影部分的面积+阴影部分面积）-（正方形BsE中非阴影部分面积+阴影部分

o

面积）=S∣∕-SiE.然后，根据，ZABE=45可得正方形的边长等于圆的半径，进而推

导出BE?=/=（6÷2）2义2,再根据前面的关系式代入数据解答即可.

【解答】解：

如图，连接EO,S,E=EB×EB=EO2+BO2=(6÷2)2×2=18C∕M2

所以圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差：

π×（6÷2）2-18=10.26（平方厘米）；

答：圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于10.26平方厘

米.

故答案为：10.26.

【点评】本题考查了图形面积中差不变问题，关键是求正方形的面积.

12.如图，已知正方形ABC。的边长是8厘米，厂的面积比ACEP的面积大12平方厘

【分析】根据AAOF的面积比ACE尸的面积大12平方厘米，因为梯形ABCF是公共部

分，所以正方形ABCD的面积比aABE的面积大12平方厘米，求出正方形ABCD的面

积，即可求出aABE的面积，然后根据直角三角形的面积公式求出BE的长，进而求出

CE的长.

【解答】解：XADF的面积比的面积大12平方厘米，正方形ABCD的面积比4

ABE的面积大12平方厘米；

正方形ABC。的面积是：8X8=64（平方厘米）

所以AABE的面积是：64-12=52（平方厘米）

又SAABE=ABXBE+2,所以BE的长是：

52×2÷8=13（厘米）

CE的长是：13-8=5（厘米）

故答案为：5.

【点评】本题考查差不变原理的灵活应用，本题解决的关键是找出图中正方形和直角三

角形的面积之间的关系求出三角形形的面积.

13.小张有200支铅笔，小李有20支钢笔.每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支

钢笔.经过四次这样的交换后,小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍.

【分析】首先根据200和20的数量是10倍，枚举法即可找到符合题意的次数.

【解答】解：依题意可知：

当第一次过后，小张剩余194只铅笔，小李剩余19只钢笔.

当第二次过后，小张剩余188只铅笔，小李剩余18只钢笔.

当第三次过后，小张剩余182只铅笔，小李剩余17只钢笔.

当第四次过后，小张剩余176只铅笔，小李剩余16只钢笔.正好是11倍.

故答案为：四

【点评】本题考查对差不变的理解和运用，关键问题是枚举过程次数较少，简单易懂,

问题解决.

14.如图，三角形ABC和三角形。EF分别是等腰直角三角形.已知。F=6,AB=5,EB

=2.6,则阴影部分的面积是9.78.

Λc

ZBPC

【分析】因为aABC和ADE尸都是等腰三角形，所以有EF=O尸=6,BC=A8=5,又因

为NE=NC=45°,所以∕EHC=90°,由此∕AGH=45°,又NEGB=NAGH=45°,

因此，三角形EBG也是等腰直角三角形，同理三角形4G”、E/C都是等腰直角三角形，

有EB=BG=2.6,AG=IA,由此可以求阴影部分的面积.

【解答】解：S∆AGH=12×2.4X2.4×12=1.44；

又因为BF=EF-E8=3.4,所以FC=BC-BF=5-34=1.6；

S∆FC∕=12×1.6×1.6=1.28；

所以阴影的面积为：

S阴影=SZXABC-S∕∖AGH-SXFCl

=12×5×5-1.44-1.28

=12.5-1.44-1.28

=9.78；

答：阴影部分的面积是9.78.

故此题答案为：9.78.

【点评】此题主要考查等腰直角三角形的特点，进行合理的图形拼组是解决此题的关键.

15.如图，ABCD是长方形，图中的数是各部分的面积数，则图中阴影部分的面积为85.

【分析】(1)如图所示，由题意可知：①+②+70=①+③+65,从而得出：③-②=5,

即③=②+5(1)；又因20+②+50+15+70=65+①+③，可得到：①+③-②=90(2),将

(1)代入(2),就能求出①，也就是阴影部分的面积.

υ

H

【解答】解：由题意可知：①+②+70=①+③+65,

从而得出：③-②=5,即③=②+5(1)；

又因20+②+50+15+70=65+①+③，

可得到：①+③-②=90(2),

将(1)代入(2)得：

①+②+5-②=90,

①+5=90,

①=85；

答：阴影部分的面积是85.

故答案为：85.

【点评】解答此题的主要依据是：三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一

半，从而推论得解.

16.如图，ABCG是4X7的长方形，Z)EFG是2X10的长方形，那么三角形8CM的面积与

三角形DEM的面积之差是

【分析】如下图：延长BC交EF于N.三角形BCM与三角形。EM的面积差=三角形

BNE与长方形EDCN的面积差；由此根据三角形的面积公式与长方形的面积公式解答即

可.

【解答】解：延长BC交EF于N.

三角形BCM与三角形DEM的面积差=三角形BNE与长方形EDCN的面积差

12×(10-7)×(4+2)-(10-7)×2

=12×3×6-3×2

=9-6

=3；

答：三角形BCM的面积与三角形力EM的面积之差是3.

故答案为：3.

【点评】关键是添加辅助线，得出三角形BCM与三角形DEM的面积差=三角形BNE与

长方形EnaV的面积差.

17.如图，图中阴影的面积是3.

【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，再减去2个直角

边长是4和1的直角三角形的面积，据此计算即可解答问题.

【解答】解：4×4-3×3-4×l÷2×2

=16-9-4

=3

答：图中阴影的面积是3.

故答案为：3.

【点评】解答此题的关键是：弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积和或差求出.

18.如图，大、小两个正方形拼在一起，比较图中两块阴影部分面积的大小：SMRE=S

4CDE∙

【分析】如图所示，三角形CD4和三角形BD4等底等高，则它们的面积相等，分别去

掉公共部分（三角形AEZ））,则剩余部分的面积相等，即三角形ABE和三角形CDE的面

积相等；据此解答.

【解答】解：如图：

CD

连接A。，则可以得出：

三角形CD4和三角形BDA等底等高，则它们的面积相等，分别去掉公共部分（三角形

AE。），则剩余部分的面积相等，即三角形ABE和三角形COE的面积相等；

故答案为：—.

【点评】由题意推出：三角形CQA和三角形BD4等底等高，则它们的面积相等，是解

答本题的关键.

19.图中，大正方形面积比小正方形面积多24平方米，求：小正方形的面积是平方

H--M

2米

【分析】由图可知，设小正方形的边长为X米，则大正方形的边长为（X+2）米，根据大

正方形的面积减去小正方形的面积等于24平方米，求出小正方形的边长，从而求出小正

方形的面积.

【解答】解：设小正方形的边长为X米，则大正方形的边长为（Λ+2）米，

（X+2）2-X2-24,

X2+4+2×2X-X2=24,

4x+4=24,

4x=20,

x—5,

5×5=25（平方米），

答：小正方形的面积是25平方米.

故答案为：25.

【点评】此题的关键是设小正方形的边长为X米，大正方形的边长用含有X的式子来表

示，然后根据等量关系列出方程求解即可.

20.如图，以直角三角形的直角边长20厘米为直径画一个半圆，阴影部分①的面积比②的

面积小16平方厘米，则BC=17.3厘米.

C

(2)

（pʃʌ

AB

【分析】根据差不变原理，从图中可以看出阴影部分①加上空白部分的面积是半圆的面

积，阴影部分②加上空白部分的面积是三角形ABC的面积.又己知①的面积比②的面积

小16平方厘米，故半圆面积比三角形ABC的面积小16平方厘米.半圆面积为3.14×（20

÷2）2÷2=157（平方厘米），三角形ABC的面积为157+16=173（平方厘米）.然后根

据三角形的面积公式解答即可.

【解答】解：半圆面积为3.14X（20÷2）2÷2=157（平方厘米），

三角形ABC的面积为：157+16=173（平方厘米）.

BC的长为：173X2÷20=17.3（厘米）.

故答案为：17.3.

【点评】此题考查了差不变原理的灵活应用，以及三角形以及圆的面积公式及其应用，

同时考查了学生观察图形的能力.

21.如图所示，扇形ABD的半径是8厘米，阴影部分甲比阴影部分乙大26.24平方厘米，

则直角梯形ABCD的面积是56平方厘米.

【分析】阴影部分甲比阴影部分乙大26.24平方厘米，即扇形的面积比三角形ABC的面

积大26.24平方厘米，先求出扇形的面积，再求出三角形ABC的面积，进而求出三角形

的底8C,再根据梯形的面积公式解答即可.

【解答】解：3.14×82÷4-26.24=24（平方厘米）

24X2÷8=6（厘米）

（8+6）×8÷2=56（平方厘米）

故答案为：56.

【点评】本题关键是根据差不变原理，把不规则图形面积时，转化成一个容易求得的图

形进行解答.

22.如图，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6m2,则α=1cm.

4cm

【分析】由题意可知：三角形甲比三角形乙面积大6平方厘米，实际上也是正方形ABCo

的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米，依据三角形和正方形的面积公式，列式即可

求解.

【解答】解：4X4=16（平方厘米）

16-6=10（平方厘米）

10×2÷4-4

=5-4

=1（厘米）

答：“的长度是1厘米.

故答案为：1.

【点评】此题主要考查差不变原理，关键是通过转化得出正方形A8C。的面积比三角形

ABE的面积大6平方厘米.

23.如图所示，直角三角形直角边AB=20厘米，阴影面积I比阴影面积∏少7平方厘米,

则BC的长是15厘米。

【分析】由“阴影I的面积比阴影∏的面积少7平方厘米”，根据差不变原理可知：半圆

的面积就比三角形ABC的面积大7平方厘米，求出圆的三角形的面积，再求出BC的即

可。

【解答】解：3.14×（20÷2）2÷2

=3.14×100÷2

=157（平方厘米）

（157-7）×2÷20

=15O÷1O

=15（厘米）

答：BC的长度是15厘米.

故答案为：15。

【点评】分析题意，得出“半圆的面积比三角形ABC的面积大7平方厘米”是解答本题

的关键。

24.有两根木条，第一根木条长28厘米，第二根木条长20厘米，两根木条都剪去同样长的

一段以后，第二根剩下的长度是第一根剩下的59,剪去一段的长度是厘米.

【分析】两根木条都剪去同样长的一段以后，长度差不变，即28-20=8厘米，相当于

第一根剩下的1-59=49,用8除以49求出第一根剩下的长度，再与28作差即可.

【解答】解：（28-20）÷（1-59）=18（厘米）

28-18=10（厘米）

故答案为：10.

【点评】解决此题利用差不变原理和剩下的长度关系，求出剪下后第一根剩下的长度是

解决问题的关键.

25.两捆铁丝的长度相等，在第一捆用去30米后，第二捆用去64米后，第一捆余下的正好

是第二捆余下的5倍多2米.这两捆铁丝每捆原来长72米.

【分析】第一捆再多用去2米，则余下的正好是第二捆余下的5倍，这时两捆铁丝的长

度的差是64-（30+2）=32米，相当于第二捆余下的5-1倍，根据差倍公式即可求出

现在第二捆的长度，然后再加上64即可解决问题.

【解答】解：64-（30+2）=32（米）

32÷（5-1）=8（米）

8+64=72（米）

故答案为：72.

【点评】此题属于差不变原理和差倍问题的综合应用，运用关系式：和÷（倍数+1）=1

倍数（较小数），1倍数（较小数）X倍数=几倍数（较大数）.关键是找到数量和与它对

应的倍数和.

26.如图所示，已知SAABC=1,FE=EC,AF=13AB,则阴影部分的面积为14.

√4

BDC

(分析］先过E点作AB的平行线，GH交AC于“点，G"交BC于G点，再根据SAEDC

=SAECH=SAAEH,从把要求的阴影部分的面积转化到了一个大的梯形AFEH中，然后根

据梯形的面积公式进行计算，计算过程中是用字母表示长度的，从而找出了梯形面积和

大三角形A8C的关系，最后根据SMBC=I整体代入，从而求出阴影部分的面积.

【解答】解：过E点作AB的平行线，GH交AC于H点、,GH交BC于G点、,如下图所

示：

因为G//平行于A3,且FE=EC,所以EH=I2AF,AH=12AC,

可见：SAEDC=SQECH=S/MEH，

所以阴影部分的面积等于梯形AFEH的面积，

根据题意知SAABC=I,所以：ABX£2=1,

SM=S抑AFEH=(13AB+13AB÷2)×12Λ÷2,

=12ABX12∕z÷∙2,

=14(ΛB×Λ÷2),

=14×1>

=14,

故答案为：14.

【点评】此题的关键一是作辅助线后，用字母代入公式计算，二是把SOBC=I整体代入，

这是本题的两个难点.

27.如图,大正方形比小正方形的面积大40平方厘米，大正方形的面积是42.25平方厘米、

121平方厘米或110.25平方厘米.平方厘米.

【分析】据题意可知，大正方形的面积-小正方形的面积=40平方厘米，由此可设大正

方形的边长为X厘米，小正方形的边长为y厘米，则根据正方形的面积公式可得等量关

2

系式：Λ-y2=4o.然后根据公式廿=(K-×(α-⅛)推出大小正方形的边长后

即能求出大正方形的面积是多少平方厘米.

【解答】解：设大正方形的边长为X厘米，小正方形的边长为y厘米，可得方程：

X2-y2=40

(x+y)(X-y)=40

据此可知：

由于40=5X8=2X20=1X40,因此可从三个方面进行分析：

φ5×8=40,

x+y=8,X-y=5.则：

(x+y)+(χ-y)=8+5=13,

2x=13

x=6.5

所以，大正方形的面积为：6.5×6.5=42.25(平方厘米).

②2X20=40,

则x+y=20,X-y—2,

x=lby=9,

所以大正方形的面积为：11X11=121(平方厘米).

③1×40=40,

贝!∣x+y=20,X-y—\,

x=10.5,y=9.5.

所以大正方形的面积为：10.5X10.5=110.25(平方厘米).

此是X+)，、X为整数时的情况，其实只要符合(x+y)(χ-y)=40都成立，

即x、y的取值可有无数个.

答：根据其边长的不同，大正方形有面积可为42.25平方厘米、121平方厘米、110.25平

方厘米.

故答案为：42.25平方厘米、121平方厘米、110.25平方厘米.

【点评】完成本题要在了解公式序=(α+⅛)X(a-b)及简单的二元一次方程解法

的基础上进行.

2

28.如图所示，已知A8=80m,BE=70m,Sm-SΔEFW=120∕M,则HB=36.5厘米.

【分析】因为SM-SMFH=120〃，，又因为图形中空白的梯形，是三角形A8E和平行四

边形ABCD的公共部分，根据差不变原理，那么平行四边形ABCD的面积-三角形ABE

的面积=120WJ2;三角形ABE的面积=80X70÷2=2800平方厘米，则平行四边形ABCO

的面积=三角形ABE的面积+120=2800+120=2920平方厘米；那么平行四边形ABCD

的高HB=2820÷80=36.5厘米，据此解答即可.

【解答】解：因为S阴-SAEFH=120,"2,又因为图形中空白的梯形，是三角形ABE和平

行四边形ABCO的公共部分，

所以，平行四边形ABCD的面积-三角形ABE的面积=120,J;

三角形ABE的面积：80X70÷2=2800（平方厘米），

所以，平行四边形ABC。的面积是：2800+120=2920（平方厘米）；

所以，平行四边形ABCD的高”8是：2820÷80=36.5（厘米）.

答：的长度是36.5厘米.

【点评】本题考查了差不变原理在组合图形面积问题中的综合应用，本题关键是根据差

不变原理得出平行四边形ABCD的面积与三角形ABE的面积差不变还是120平方厘米，

然后根据三角形和平行四边形的面积公式解答即可.

Ξ.解答题（共32小题）

29.如图，正方形ABCQ边长是6厘米，三角形4下£＞是正方形的一部分，三角形FCE的面

积比三角形A/7）大6平方厘米，求CE长多少厘米.

【分析】根据三角形乙的面积比三角形甲的面积大6平方厘米，则根据图形可得：三角

形ABE的面积比正方形ABCD的面积大6平方厘米，由此可得三角形ABE的面积等于

正方形的面积加上6平方厘米，求得三角形4BE的面积后，再利用三角形的面积公式求

出BE的长后即可求得CE的长.

【解答】解：三角形乙的面积比三角形甲的面积大6平方厘米，

根据图形可得：三角形ABE的面积比正方形ABC。的面积大6平方厘米，

所以三角形ABE的面积为：6×6+6=42（平方厘米），

又因为A8=6厘米，

所以BE的长度是：42X2+6=14（厘米），

所以CE的长度为：14-6=8（厘米），

答：CE的长度是8厘米.

【点评】此题考查了差不变原理的灵活应用，这里根据题干得出三角形ABE与正方形的

面积之差是6平方厘米是解决问题的关键.

30.如图，已知等腰aABC中，AB=AC=25厘米，ADlBC,尸为底边BC延长线上的任

意一点，PElAC,PFLAB,AO=24厘米，BC=14厘米，问PF与PE的差是否不变？

若差不变请求出这个差；若不是请说明理由.

【分析】由三角形全等求得尸E=PM,再根据四边形FNCM是矩形得到eW=CN,最后

根据三角形的面积可得PF-PE=CN=33625.

【解答】解：过点C作CMLQ,CNLAB,

,:PFA.AB,

：.AB//CM.

：.ZMCP^ZB.

'：AB=AC,

：./ACB=NB.

又,：ZACB=ZECP,

：.NMCP=NECP.

又,：ZCMP=4E,PC=PC,

：.4CMP9XCEP.

：.PE=PM.

又,.∙NFNC=/NFM=ZFMC=90°,

•••四边形EVCM是矩形.

.'.FM=CN.

S.ABC=12*BCXAD=12义AB义CN,

,CN=33625.

:.PF-PE=CN=3362S.

【点评】本题考查了全等三角形、矩形的判定与性质以及三角形的面积公式，综合性较

强.

31.如图，BO是梯形的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰。C平行，AE与8。

相交于0点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且

EC=25BC.求梯形48C。的面积.

【分析】先由SABOE-SΔAOD=4平万米，得至I」SΛABE-S^ABD=4平万米，再把EC=25BC

转化为AD=23BE,得到SAABD=8平方米，SAABE=12平方米即可得解.

【解答】解：因为SABOE-SzsA0D=4平万米，所以SAABE-S∙MBD=4平万米.

因为EC=25BC,ΛD=EC,所以AD=23BE.

因为aABE与AABD对应于BE、Ao边上的高相等，所以AABO的面积占BE面积的

23.于是有

SΔΛBD=4÷（32-1）=8（平方米），SΔΛBE=8X32=12（平方米）.

所以梯形ABC。的面积为12+8X2=28（平方米）.

答：梯形面积是28平方米.

【点评】解答本题的关键是进行两次转化：（1）转化面积差：把已知条件“a80E的面

积比AAOO的面积大4平方米”，转化为“AABF的面积比