2023年全国甲卷理数试题-普通高等学校招生全国统一考试（答案）

2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

理科数学

一、选择题

L设集合4=x=3k+\,k&Z},B={x\x=3k+2,ksZ},为整数集，Qj(ZU6)=

()

A.{x|x=3左，左eZ}B,{x|x=3左一1,左eZ}

C.{x|x=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【详解】因为整数集2=k|彳=3左,左£2}1]{8|》=3%+1,左eZ}U{x|x=3左+2,无eZ},

U=Z,所以，名(4U8)={x|x=3斤，无eZ}.

故选：A.

2.若复数(a+i)(l—ai)=2,aeR,则。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【详解】因为(a+i)(l-0)=4一4t+1+4=2a+(l-a?)i=2,

’2。=2

所以《，2c，解得：a-\.

l-a=0

故选：C.

3.执行下面的程序框遇，输出的8=()

n=l,A-\,5=2

A=A+B

B=A+B

n=n+\

/输嬴/

（结束）

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【详解】当〃=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，/=1+2=3,3=3+2=5,

〃=1+1=2；

当〃=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，4=3+5=8,8=8+5=13,

〃=2+1=3；

当〃=3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，4=8+13=21,5=21+13=34,

〃=3+1=4；

当〃=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出8=34.

故选：B.

4.向量|町=向=一1,©=播,且彳+5+1=。，则C0sS-13-J〉=（）

1224

A.一一B.一一C.-D.-

5555

【答案】D

【详解】因为3+[+仁=0,所以1+b=~c,

即/+庐+2展万=于，即1+1+2；）=2,所以展5=0.

如图，设况=%砺=B,反=5,

由题知,OA=OB=1,OC=6,AOAB是等腰直角三角形，

AB边上的高立,/。=交，

22

所以8=。。+。。=返+也=逑，

22

tanNACD=—cosNACD=

CD3M

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-l

2

故选:D.

5.已知正项等比数列｛4｝中,q=1,S”为｛叫前〃项和，55=553-4,则S4=()

A.7B.9C.15D.30

【答案】C

【详解】由题知l+q+/+/+q4=5(l+q+/)-4,

即/+/=4g+4q2,即/+g2_4q_4=0,即(q—2)(g+l)(q+2)=0.

由题知q>0,所以q=2.

所以邑=1+2+4+8=15.

故选:C.

6.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若

已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

【答案】A

【详解】报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40,

记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件8,

则P(/)=1^=*尸(/8)=404

707

4

-

气

明7

=-=8

所以尸(6|⑷尸⑷5

7

故选:A.

7.“siira+sin~，=l”是“5沦1+(:05£=0”的()

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

兀

【详解】当sin?a+sin?，=1时，例如a=5,4=0但sina+cos^w0,

即sin2a+sin2f5=1推不出sina+cos/?=0；

当sina+cos£=0时，sin2a+sin20=(-cosy3)2+sin20=1,

即sina+cos夕=0能推出sin2a+sin2B=\.

3

综上可知，sin2tz+sin2/=1是sina+cos/=0成立的必要不充分条件.

故选：B

8已知双曲线//叱。力＞。）的离心率为-其中一条渐近线与圆

（工一2）2+3—3）2=1交于48两点，则|[6|=（）

.175„245475

A.—Bn.——C.

555丁

【答案】D

【详解】由《=逐，则4=土之=1+1=5，

aa~a

解得2=2,

a

所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x,

则圆心（2,3）到渐近线的距离d=量-：=*,

所以弦长|481=21户—d?=2

故选：D

9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务,

则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）

A.120B.60C.40D.30

【答案】B

【详解】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e,

假设。连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服

务，共有A；=12种方法，

同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法,

所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5x12=60种.

故选：B.

10.已知/（X）为函数y=cos（2x+.）向左平移:个单位所得函数，则夕=/（x）与

y='彳一，的交点个数为（）

22

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

4

TT

【详解】因为yCOSX

=|2+£向左平移一个单位所得函数为

6

所以/(x)=-sin2x,

与,x=\^处/（X）与＞=的

大小关系,

当X暂时,3兀+41

kj

当》=四时,

4

当彳=乂时,

4

所以由图可知，/卜）与歹=!》一；的交点个数为3.

故选：C.

II.在四棱锥P—力88中，底面Z8C。为正方形，AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

则APBC的面积为（）

A.2V2B.3亚c.40D.572

【答案】C

【详解】法一：

连结交于。，连结尸。，则。为/C,8。的中点，如图，

5

因为底面N8C7)为正方形，48=4,所以AC=BD=4yR，则OO=CO=2J5，

又PC=PD=3,PO=OP,所以△尸£＞。三APCO,则NPOO=NPCO,

又PC=PD=3,4C=BD=46,所以APDB=APCA,则尸/=尸6,

在△&(7中，尸。=3,/。=4后,/尸。=45°,

则由余弦定理可得

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4—=17-

2

故PN=JI7，则尸B=JT7，

故在APBC中，PC=3,PB=后,BC=4,

/…PC2+BC2-PB29+16-171

所以cosZPCB=---------------------=-------------=-

2PCBC2x3x43

又。＜NPCB＜n,所以sin4PCB=Jl-cos24PCB=迪，

3

所以△PBC的面积为S=1pC.8CsinN尸C8=Lx3x4x4^=4万.

223

法二:

连结交于。，连结尸。，则。为NC,8。的中点，如图,

因为底面48CD为正方形，48=4,所以4。=8。=40，

在中，尸C=3,NPG4=45。，

则由余弦定理可得

6

5

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4>j2x3x—=17，故PA=历，

2

//2+尸。2一_17+9-32

所以cos//PC=

IPAPC_2x717x3

^4-PC=|ft4||pc|cosZJPC=V17x3x

不妨记PB=m,NBPD=e,

因为丽=；（秒+定）=；（而+而），所以（苏+正『=（而+而『，

即尸〃+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD'

则17+9+2x（-3）=加2+9+2x3xmcos6>,整理得加2+6〃zcos。-11=0①，

又在△尸8。中，BD2=PB~+PD~-2PB-PDcosABPD）即32=+9—6加cos6，

则m2-6mcos6-23=0②，

两式相加得2，〃2-34=0，故08=〃?=J万，

故在APBC中，PC=3,PB=y[H,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-171

所以cosNPC3=

2PCBC2x3x4-3

又0<NPCB<n,所以sinNPCB=J1—cos?NPCB=，

3

所以APBC的面积为5=工尸08。5出/。。8=1*3乂4*马2=4虚.

223

故选：C.

r2v23

12.己知椭圆二+\=1,小巴为两个焦点,O为原点，尸为椭圆上一点，cosN片尸6=-,

则|「。|=()

A2RV30r3nV35

•5252

【答案】B

【详解】方法一：设/月产8=2。,0<。<^，所以&-F=从tan3P&="tan6>,

2122

cos2^-sin20l-tan2^_31

由cosZFPF=cos26=一，解得：tan0=-,

}2cos26+sin201+tan2052

7

由椭圆方程可知，/=9,〃=6,02=/—〃=3,

所以，^=1x|^|xk|=|x2V3x|yp|=6x1)解得：斤=3,

即*=9*(1_讣：，因此吁心+片=6|=1.

故选：B.

方法二：因为忸用+忸用=2a=6①，|尸片『+|产用2一2归川尸用N片尸鸟=出E「,

即|尸用2+|尸尸2f一3尸用留切=]2②，联立①②，

解得：附归B|=T，附『+归可=21，

而用=；(历+电)，所以|。刈=|丽卜曰两+A司，

故选：B.

方法三：因为|尸用+|尸周=2a=6①，俨片「+|尸鸟「一2仍用归用/片//=出闾2,

即|尸用2+0用2_如尸用|尸周二口②，联立①②，解得：忸娟2+归周2=21,

由中线定理可知，(2[0尸|)2+|甲联=2(附『+归段2)=42,易知出国二26解得:

故选：B.

二、填空题

13.若y=(x-l)2+ox+sin(x+1^为偶函数，则。=.

【答案】2

【详解】因为y=/(x)=(x-l)2+ax+sin(x+5)=(x-l『+ax+cosx为偶函数，定

义域为R，

8

/\2/\2

则兀。=|四+1---1=2兀，故a=2,

此时/（x）=（x-l）2+2X+COSX=X2+1+COSX,

所以/（一X）=（-》）2+1+COS（-X）=/+1+COSX=/（X）,

又定义域为R，故/（X）为偶函数，

所以a=2.

故答案为：2.

-2x+3y<3

14.设工，y满足约束条件<3》-2歹43,设z=3x+2y,则z的最大值为

x+y>l

【答案】15

【详解】作出可行域，如图，

、

\//-2x+3v=3

，°x\,

/4\\'

、、

X、

、、

3z

由图可知，当目标函数yn-'X+s过点A时,Z有最大值,

-2x+3y=3x=3

由，、c.、可得＜,,即4（3,3）,

3x-2y-3尸3

所以Zmax=3x3+2x3=15.

故答案为：15

15.在正方体—中，E,尸分别为8,4与的中点，则以班■为直径的球

面与正方体每条棱的交点总数为

9

【答案】12

【详解】不妨设正方体棱长为2,中点为O,取中点G,M,侧面84GC的

中心为N,连接FG,EG,OMQN,MN,如图，

由题意可知，。为球心，在正方体中，EF=^FG2+EG1=A/22+22=2A/2-

即R=-^2,

则球心。到BB]的距离为OM=y]0N2+MN2=712+I2=VI，

所以球。与棱8片相切，球面与棱84只有1个交点，

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，

所以以£尸为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.

故答案为：12

16.在ABC中，AB=2,NBAC=60。凤=痛,D为BC上一点,为48ZC的

平分线，则.

【答案】2

如图所示：记AB=c,AC=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+b2_2x2x6xcos600=6,

因为b>0,解得：6=1+JL

由S“BC=S.ABD+S^ACD可得，

10

—x2x/)xsin60°=—x2x^Z)xsin30°+—x/Z)xbxsin30°,

222

/_2匈1+码

2

解得:而-3+百

2

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，22+〃-2x2xbxcos60°=6,因为6>0,解得：b=l+G，

由正弦定理可得，4—=上=?_,解得：sin8=C+后,sinC=--

sin60°sinBsinC42

因为1+百>&>&，所以。=45°，6=180。-60°—45°=75°，

又NBAD=30°，所以NZ06=75°，即/D=/8=2.

故答案为：2.

三、解答题

17.已知数列｛4｝中，生=1，设S”为｛/｝前〃项和，2S,,=nan.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛专4)的前〃项和

【答案】(1)an=n-\

⑵7；=2-(2+〃)()

【小问1详解】

因为2s“，

当”=1时，2a[=%,即q=0；

当〃=3时，2(1+%)=3%，即。3=2，

当〃22时,2s1)%,所以2(S,—=(〃—1)%=24,

化简得：(〃-2)。“=(〃-I)。,一，当〃23时，罩」=巴4=...=2=1,即4=〃一1,

n-\〃一22

当〃=1,2,3时都满足上式，所以a,,=〃-l(〃eN*).

【小问2详解】

因为空长所以骞=唱+2哂+3x1)+…+咽,

11

61出）+2x[]+…+（〃—l）x]£|+娱）,

两式相减得，

1

2

2

=1-（1+与）0'即1=2-（2+〃）（；），«eN,.

18.在三棱柱48C-44C|中，幺4=2,4c，底面力5C,ZACB=90°,4到平面

8CG4的距离为1.

（2）若直线AA,与BS,距离为2,求/耳与平面BCCE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵巫

13

【小问1详解】

如图，

8

；4。，底面48。，8Cu面Z8C,

A.CA.BC,又8C_L4C,4C,NCu平面,AxCoAC=C,

12

，8C_L平面/CCA，又BCu平面BCC/i，

，平面NCG4，平面8。。隹，

过4作4。，CC,交CG于。，又平面ACCXA{A平面5CC,B,=cq,A.0U平面

ACC,A,,

4。J•平面BCGA

•••4到平面BCC[B1的距离为11%。=1,

在RtA^CC,中，4。J_4cl,CC|=AA1—2,

设CO=x,则C0=2—x,

­•^A.OC,AApC},A4CC,为直角三角形，且C£=2,

222

co+/02=4c2,A,O+oc；=CM：,4c2+A,C~=c,c,

.-.1+X2+1+(2-X)2=4,解得x=l,

AC=Atc=4G=V2,

/.AC-4c

【小问2详解】

-：AC=4£,BC14C,BCYAC,

RtA^C5^RtA4C5

/.BA-BA},

过8作交于。，则。为Z4中点，

由直线/4与距离为2,所以8。=2

VA1D=1,BD=2,：.AiB=AB=y/5,

在RtAASC，BC=JAB?-AC?=6，

延长4C,使/C=CM,连接G"，

由CM〃4G，CA/=4G知四边形4CM£为平行四边形，

.•・G河〃4C，•••£/，平面Z8C,又⑷Wu平面NBC,

C.M±AM

22

则在RtA^C,M中，AM2AC,C{M=&C,AC,=yl(2AC)+AiC，

在Rt△力4G中，/G=J(2/c>+4c2,B\G=BC=6

AB,=J（2扬2+（&y+（百y=岳,

又A到平面BCC}B}距离也为1,

所以力用与平面5CC.B,所成角的正弦值为―三=二士.

V1313

19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加

药物）和实验组（加药物）.

（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望；

（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）

对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

（i）求40只小鼠体重的中位数加，并完成下面2x2列联表:

<m>m

对照组

实验组

（ii）根据2x2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

参考数据：

0.100.050.010

尸伊次）2.7063.8416.635

【答案】（1）分布列见解析，E（X）=1

（2）（i）加=23.4；列联表见解析，（ii）能

【小问1详解】

依题意，X的可能取值为0,1,2,

贝”(X=0)=等=呆尸(X=l)=*4,尸(X=2)=*=卷

所以X的分布列为:

X012

14

192019

P

7178

ML八八c19,20-19

故E(X)=0x1-1x--F2x—=1.

783978

【小问2详解】

(i)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20

位与第21位数据的平均数，

由于原数据己经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，

可得第11位数据为14.4,后续依次为

17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…，

故第20位为23.2,第21位数据为23.6,

23.2+23.6

所以加==23.4

2

故列联表为:

<m>m介讣

对照组61420

实验组14620

合计202040

(ii)由(i)可得，K=40x(6x6~14xl4r=6.400>3.841，

20x20x20x20

所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

20.已知直线x-2y+l=0与抛物线C:/=2px(p>0)交于48两点，且|45|=4A后.

(1)求2：

(2)设C的焦点为尸，M,N为C上两点，赤.而=0，求面积的最小值.

【答案】(1)p=?

(2)12-872

【小问1详解】

设2(/，以)，8(%,%)，

x-2y+l=0

由2c可得，^--4勿+2。=0，所以y“+歹8=4，，y，歹8=2。，

y=2px

15

2

所以I『+Ef）2=指|一1=后x^（yA+yB）-4yAyB=4715，

即2p2—p—6=0,因为p>0,解得：p=2.

【小问2详解】

因为尸（1,0）,显然直线MN的斜率不可能为零，

设直线MV：x=my+n,M（x,,y,）,7V（x2,y2）,

2

[y=4x7

由<可得，/-4m7-4/7=0,所以，M=4加，必歹2=-4〃，

[x=my+n

A=167772+16〃>0=>0，

因为赤•标=0,所以（2—1）（12—1）+必先=0，

即（冲]+〃一1）（〃92+〃—1）+M、2=0，

亦即（〃广+1）V必+〃?（拉-1）（必+%）+（〃-I）二。，

将必+%=4m,必必二-4〃代入得,

4加2=〃2一6〃+1，4（/+〃）=（〃-1）->0,

所以〃#1,且〃2—6〃+120，解得〃23+2式或〃<3-2加・

设点尸到直线的距离为d,所以“二〃一,，

Jl+m2

\MN\=｛（再-/I+（必-歹2）2-|必一%|二Jl+〃/J16〃22+16〃

=2，1+川,4（〃2一6"+1）+16"=2”4-/W2|^-1|»

1..1\n-\\

所以4MNF的面积S=--x[MN1xd=彳x.-x2yl\+m2|n-l|=（M-l）~,

22,1+加2

而〃23+2万或〃<3-2加，所以，

当”=3—20时，△〃///的面积Smm=(2-2贬『=12-8立.

-1»//、sinx峭

21.已知/(x)=or-----,xs0,—

cosxI2J

(1)若a=8,讨论〃x)的单调性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求°的取值范围.

【答案】(1)答案见解析.

(2)(-<»,3]

16

【小问1详解】

cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

f\x)=a-

cos6x

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a--------------=a------------

44

COSXCOSX

令cos?x=f,贝！I，w(0,l)

-j_

贝叮'(x)=g(/)="学cit~+2t3

X。£，,、,八8『+2-3(2/-1)(4/+3)

当a=8,/(x)=g(t)=————=——p-----

当fe

所以/(x)在上单调递增，在[苦)上单调递减

【小问2详解】

设g(x)=/(x)-sin2x

g(x)=/(%)-2cos2x=g(Z)-2^2COS2X-1)=—―2(2/-l)=«+2-4z+—g

23

设/(。=〃+2_々+——r

9⑺一年+品一丁肥一久-叱产小〉。

所以奴⑴="3.

「若ae(-oo,3],g'(x)=(p(t)<a-3<0

即g(x)在(0,上单调递减，所以g(x)<g(0)=0.

所以当a£(-8,3],/(x)<sin2x，