（人教A版2019必修第一册）高一数学《考点题型 技巧》精讲与精练高分突破 4.5 函数的应用(二)【附答案解析】

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)4.5函数的应用(二)【考点梳理】考点一：函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．知识点二：函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．重难点技巧：用二分法求方程的近似解考点三：二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．考点四：用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．重难点技巧：函数模型的应用考点五：函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)考点六：应用函数模型解决问题的基本过程1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；3．求模——求解数学模型，得出数学模型；4．还原——将数学结论还原为实际问题．【题型归纳】题型一：函数零点存在定理1．（2023·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）下列区间中，包含函数的零点的是（）A． B． C． D．2．（2020·福建莆田市·莆田二中高一期末）已知实数，满足，则函数的零点所在区间是()A． B． C． D．3．（2023·长沙市明德中学高一开学考试）函数的零点所在的大致区间为（）.A． B． C． D．与题型二：函数的零点分布问题（参数）4．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）已知函数，若方程有4个解时，实数a的取值范围为（）A． B．C． D．5．（2023·江西高安中学高一月考）已知，函数，若函数图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2020·南京市第十三中学高一月考）已知，若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数t的取值范围是（）A．(－1，1] B．[－3，2) C．(－1，2) D．(－3，1)题型三：用二分法求函数f(x)零点近似值7．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）A． B． C． D．8．（2020·淮北市树人高级中学）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.59．（2023·定远县育才学校高一期中（理））设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间（）A． B．C． D．题型四：函数与方程的综合问题10．（2020·江西省兴国县第三中学高一月考）函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（）A．（1，10） B．（10，12） C．（5，6） D．（20，24）11．（2023·湖南高一期末）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．12．（2023·全国高一专题练习）已知，函数的定义域为，若函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．题型五：应用函数模型（对数函数与指数函数）13．（2023·上海）某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2019年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)（）A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年14．（2023·上海徐汇·高一期末）人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：）满足，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）A．36dB B．63dB C．72dB D．81dB15．（2023·全国高一专题练习）“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米．已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（）A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年【双基达标】一、单选题16．（2023·贵州师大附中高一开学考试）在下列区间中，方程的解所在区间为（）A． B． C． D．17．（2020·深圳实验学校高中部高一月考）已知是二次方程的两个不同实根，是二次方程的两个不同实根．若，则（）A．介于和之间 B．介于和之间C．与相邻，3与相邻 D．与相间排列18．（2020·安徽立人中学（文））已知函数，若函数对任意的都有三个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．19．（2023·全国高一专题练习）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）A． B． C． D．20．（2023·蒙城第一中学高一开学考试）如图，正方形的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．21．（2023·广西桂林市·高一月考）已知12是函数的一个零点，则的值是（）A．1 B．0 C．2 D．+122．（2020·南京航空航天大学附属高级中学高一月考）已知函数，下列说法中正确的是（）A．当时，函数有2个零点B．当时，函数有2个正零点C．若函数在上有2个零点，则D．若函数有2个零点，且其中一个大于-1，另一个小于-1，则23．（2020·贵州遵义·蟠龙高中高一月考）已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（）A． B． C． D．24．（2023·江苏省如东高级中学高一月考）已知函数若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．25．（2020·淮北市树人高级中学）已知函数，若存在三个实数，使得成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【高分突破】一：单选题26．（2020·安徽立人中学（文））若函数在区间内只有一个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．27．（2023·广东潮州·高一期末）已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（）A． B． C． D．28．（2023·内蒙古赤峰·高一期末（文））函数的零点所在的大致区间是（）A．（8，9） B．（9，10） C．（10，11） D．（11，12）29．（2020·浙江）已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则的取值范围为（）A． B． C． D．30．（2023·全国）已知函数，则方程的根的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．631．（2023·全国）已知函数，，则函数的零点个数为（）个．A．7 B．8 C．9 D．1032．（2023·广东高一期末）表示不超过x的最大整数，例如，．若是函数的零点，则（）A．1 B．2 C．3 D．433．（2023·全国高一专题练习）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是（）A．y＝0.2x B．y＝（x2＋2x）C．y＝ D．y＝0.2＋log16x34．（2023·全国高一课时练习）已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（）A． B．C． D．二、多选题35．（2023·全国）设函数，若实数，，满足，且（a）（b）（c）．则下列结论恒成立的是（）A． B． C． D．36．（2020·江苏省平潮高级中学）如图，某河塘浮萍面积y（）与时间t（月）的关系式为，则下列说法正确的是（）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第4个月时，浮萍面积会超过25C．浮萍面积蔓延到80只需6个月D．若浮萍面积蔓延到10，20，40所需时间分别为，，，则37．（2020·江苏姜堰中学高一月考）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（，、为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（）A．B．储存温度越高保鲜时间越长C．在的保鲜时间是小时D．在的保鲜时间是小时38．（2022·云南昆明·高一期末）已知函数关于的方程的实数解个数，下列说法正确的是（）A．当时，方程有两个实数解B．当时，方程无实数解C．当时，方程有三个实数解D．当时，方程有两个实数解39．（2020·辽宁大连市·大连八中高一期中）已知函数，则下列判断正确的是（）A．为奇函数B．对任意，则有C．对任意，则有D．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是40．（2023·揭阳第一中学高一期末）下列几个说法，其中正确的有（）A．己知函数的定义域是，则的定义域是B．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为C．已知关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是或D．若函数在区间上的最大值与最小值分别为和，则三、填空题41．（2020·张家口市第一中学高一月考）方程的根为，方程的根为，则__________42．（2023·河北张家口·高一期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0℃，那么t后物体的温度θ（单位：）可由公式（k为正常数）求得.若，将55的物体放在15的空气中冷却，则物体冷却到35所需要的时间为___________.43．（2023·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考）已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________44．（2023·浙江学军中学高一竞赛）已知，若关于x的方程仅有一解，则a的取值范围是_______．45．（2023·北京清华附中高一期中）小明用记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当第天半小时内到家时，记，当第天不能半小时内到家时，记；用记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第天半小时内到家时，记，当预测第天不能半小时内到家时，记；记录完毕后，小明计算出，其中，那么该交通软件预测准确的总天数是______．四、解答题46．（2023·河南郑州市·郑州十一中高一期中）已知函数，且是偶函数.（1）求的值；（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.47．（2022·云南昆明·高一期末）2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口．目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线．某校数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①（其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率，表示年后的人口数，单位：万人）．根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型．经检验，1950~1959年的实际人口数与此模型基本吻合，如图．（1）若你是该小组成员，请求出①式的人口增长模型，并以该模型计算从1950年末开始，大约多少年后我国人口达到13亿？（年数取不小于的最小整数）（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为（其中表示经过的时间，表示第年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．（ⅰ）求满足的正整数的最小值；（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．参考数据：，，，．48．（2023·四川省新津中学高一考试）声音通过空气的振动所产生的压强叫做声压强，简称声压，单位为帕(Pa)．把声压的有效数值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫做声压级．声压级以符号表示，单位为分贝(dB)，公式为：(声压级)(dB)，式中为待测声压的有效值，为参考声压，在空气中参考声压一般取值为Pa．根据上述材料，回答下列问题：（1）若某两人小声交谈时的声压有效值Pa，求其声压级；（2）已知某班开主题班会，测量到教室内最高声压级达到90dB，求此时该教室内声压的有效值．49．（2023·广西桂林市·高一月考）已知函数是偶函数．（1）求实数的值；（2）设，若最多有一个实数解，求实数的取值范围．50．（2023·广东高一期末）已知函数（其中且）的图象关于原点对称．（1）求，的值（2）当时，关于的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围．51．（2023·全国高一专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，.（1）若，求的值（用表示）；（2）解不等式；（3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.【答案详解】1．C解:函数在上单调递减，且，的零点在内.故选：C2．B【详解】∵，，∴，，∴，且为增函数，故最多只能有一个零点，∵，，∴，∴在内存在唯一的零点.故选：B.3．B【详解】在上单调递减，，，所以，所以函数的零点所在的大致区间为.故选：B4．A【详解】根据函数，做出其大致图像如下：设，根据函数图像有：当时，方程有2个实数根；当时，方程有3个实数根；当时，方程有2个实数根；当时，方程有1个实数根；当时，方程没有实数根；当若的零点个数为4个时，方程有两个不等实数根，且满足，或，或；令，，①当时，则，即，解得；②当时，则，即，无解；③当，时，则，即，解得，综上：，故选：A.5．C解：方程的根为，方程的根为或，所以当时，方程有一个根；当时，方程有两个根；当时，方程有三个根；当时，方程有两个根.故选：C6．D当时,；当时,.设，关于x的方程有三个不同的实数解，即函数f(x)和有3个不同的交点.作出函数f(x)的图像，由图像可知，当直线y=x+t经过点(-1,0)时,两个函数有两个交点,此时t=1.当x≥-1时，当直线y=x+t与抛物线相切时，两个函数有两个交点，由得，判别式，即4+8+4t=0，所以t=-3，此时直线y=x-3与抛物线相切，所以要使函数f(x)和g(x)=x+t有3个不同的交点则-3<t<1,即t的取值范围是(-3,1).故选:D.7．C解：设，当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，又（2），（3），故（2）（3），故方程在区间上有解，即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.故选：C．8．C解：根据二分法，结合表中数据，由于，，所以方程的一个近似根所在区间为所以符合条件的解为1.4故选：C9．A取，因为，所以方程近似解，取，因为，所以方程近似解，故选：A.10．B解：函数的图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等∴a∈（0，1），b∈（1，10），c∈（10，12）∴由f（a）＝f（b）得|lga|＝|lgb|，即﹣lga＝lgb，即ab＝1∴abc＝c由函数图象得abc的取值范围是（10，12）故选：B．11．D由，得，所以问题转化为函数的图象与直线有4个不同的交点，函数的图象如图所示，所以，得，所以的取值范围为，故选：D12．A由题意可知：令，利用参数分离法得，令,则函数在区间上有两个不同的零点，转化为函数的图像与直线在区间上有两个交点，作出函数的草图，如图所示：由图可知，的取值范围是：故选：A.13．B设经过x(x∈N*)年，该校全年投入的科研经费超过2000万元，依题意得1300×(1+0.12)x>2000，即1.12x>，因此x>又x∈N*，故x≥4，即从2023年起，该校全年投入的科研经费超过2000万元.故选：B.14．B解：设一般两人小声交谈时声音强度为，则，即，所以，则老师声音的等级约为．故选：．15．C【详解】由题可知：∴∴∴（天）∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年.故选：C.16．C【详解】令且定义域上单调递增，∴，，，，∴，则.故选：C17．D【详解】不妨假设，，根据，则，，或，，∵是二次方程的两个不同实根，如图:或∴，或∴，与，相间相列故选：D．18．A【详解】欲使函数对任意的都有三个零点，画出函数的图像可知时，的最大值，解得或，又函数的对称轴必须在轴的左侧，故得．故选：A19．D在直角坐标系中画出这几对数据的散点图，观察图形的变化趋势，这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，递增的速度比较快，排除B、C两个选项，当时，不符合A选项．故选：D.20．C解：①当点在上运动时，∵正方形边长为4，点E是AB的中点，∴，∵P点经过的路径长为x，∴，∴；②当在边上运动时，，∴；③当点在边上运动时，∴；综上，故选：．21．B由题意知：，可得，∴，则.∴.故选：B22．AA选项：当时，，故函数有两个零点，故A正确；B选项：若，则，没有零点，故B错误；C选项：若函数在上有2个零点，则有，解得：，故C错误；D选项：由题意可知，当时，，解得：，故D错误.故选：A.23．B【详解】因为对任意，都有，且，所以在上单调递增，且；因为恒成立，所以，解得，所以的零点为，故选：B.24．C【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图，方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则，由，得：，即，而，，则，于是得，显然时，，当时，，所以的取值范围是.故选：C25．C【详解】令，不妨设，作出函数的图象如图所示，由图知：，，所以，，又，所以，即，所以故选：C.26．C【详解】时，化为，函数只有一个零点，不合题意，可排除选项A，B；时，化为，不合题意，可排除选项D，故选：C．27．D【分析】作出函数的图象，结合图象即可求出的取值范围.【详解】作函数和的图象，如图所示，可知的取值范围是，故选D．28．C【详解】因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递增，而，，，，，因此，，，，结合零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间是，故选：C29．A【详解】作出图象，如图所示，令，当时，与图象有1个交点，即有1个根，当时，与图象有2个交点，即有2个根，则关于的方程转化为，由题意得，解得，方程的两根为，因为关于的方程有三个不同的实数，则，解得，满足题意.故选：A30．D令，则方程化为，解得或，作出函数的图象，如图所示，由图可知，方程的根的个数为6．故选：D.31．D解：令得，令得或，解得或或．或或．作出的函数图象如图所示：由图象可知有4个解，有两个解，有4个解，共有10个零点．故选：．32．B【详解】因为函数在定义域上连续的增函数，且，又∵是函数的零点，∴，所以，故选：B．33．C因为三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，所以可以看出来不是线性增加，故选项A不符合题意；对于选项B：把分别代入解析式中，得，不符合题意；对于选项C：把分别代入解析式中，得，符合题意，对于选项D：把代入解析式中，得，把代入解析式中，得，把代入解析式中，得，跟选项C来比，选项C更近似，故选：C34．D【详解】作出函数的图象，如图所示:设，则.因为，所以，所以，所以，即.当时，解得或，所以.设，因为函数在上单调递增，所以，即，所以.故选：D.35．ABC解：根据函数表达式作出函数图象；设（a）（b）（c），则；，则，，；选项A，，正确；选项B，，正确；选项C,设，则；设，由，，在均为增函数，则函数在上单调递增，则（2）；所以成立，正确；选项D：取，有，错误；故选：ABC．36．BD由题意，函数过点和点，代入函数关系式，可得，解得，所以函数的关系式为，因为函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，所以A不正确；当时，，浮萍的面积超过了，所以B正确；当时，，浮萍的面积蔓延到只需要个月，所以C不正确；令，可得；令，可得；令，可得，所以，所以D正确.故选：BD.37．AC因为在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，所以易知是减函数，结合复合函数的单调性可知，A正确，则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；，，则，，故，C正确，，D错误，故选：AC.38．CD方程即，作出函数的简图，由图可知：当时，函数的图象与直线有2个交点，即方程有2个实数解；当时，函数的图象与直线有3个交点，即方程有3个实数解，故A错误；当时，函数的图象与直线有1个交点，即方程有1个实数解，故B错误；当时，函数的图象与直线有3个交点，即方程有3个实数解，故C正确；当时，函数的图象与直线有2个交点，即方程有2个实数解，故D正确.故选：CD.39．CD对于A，，即，则不是奇函数，即A不正确；对于B，时，在上递增，时，在上递增，并且，于是得在R上单调递增，对任意，，则，B不正确；对于C，时，，时，，时，综上得：对任意，则有成立，C正确；对于D，因，则0不是的零点，时，，令，，依题意函数的图象与直线有两个公共点，时，，时，，于是得，由对勾函数知，在上递减，在上递增，又在上递减，在上递增，如图：直线与的图象有两个公共点，，直线与的图象有两个公共点，，从而得函数的图象与直线有两个公共点时或，所以实数的取值范围是，D正确.故选：CD40．AD解：对于A，因为函数的定义域是，所以由，得，所以的定义域是，所以A正确；对于B，当时，由，得恒成立，因为，所以，所以，所以B错误，对于C，令，因为关于的方程的一根比1大且另一根比1小，所以，即，得，所以C错误，对于D，，其定义域为，因为，所以为奇函数，所以的最大值与最小值的和为0，所以最大值与最小值的和为8，所以D正确，故选：AD41．2是方程的根，就是和图象交点的横坐标；是方程的根，就是和图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出函数，，的图象，如图所示：由图可知，是和图象交点的横坐标，是和图象交点的横坐标，因为与互为反函数，所以图象关于直线对称，故点，也关于直线对称，所以点，为，，而点，又在上