浙江台州三梅中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷

三梅中学2020学年第一学期高一年级第一次数学检测试卷一．选择题（共14小题）1．下列关系中，正确的个数为（）①；②；③0＝{0}；④0∉N；⑤π∈Q；⑥﹣3∈Z．A．6 B．5 C．4 2．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则（∁UA）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}3．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（）A．{0，1} B．{1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}4．函数的对称轴为的充要条件的是（）A． B． C． D．5．已知函数f（x）与函数g（x）＝是相等的函数，则函数f（x）的定义域是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0）∪（0，1] C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（0，1）6．如果x+y＜0，且y＞0，那么下列不等式成立的是（）A．y2＞x2＞xy B．x2＞y2＞﹣xy C．x2＜﹣xy＜y2 D．x2＞﹣xy＞y27．设M＝x2，N＝x﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关8．集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为（）A．4 B．5 C．10 9．若m+n＞0，则关于x的不等式（m﹣x）（n+x）＞0的解集是（）A．{x|﹣n＜x＜m} B．{x|x＜﹣n或x＞m} C．{x|﹣m＜x＜n} D．{x|x＜﹣m或x＞n}10．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2 B．2 C．5 D．411．用C（A）表示非空集合A中的元素的个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|，已知集合A有三个真子集，B＝{x|（x2+ax）（x2+ax+2）＝0，x∈R}，若A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知集合有且只有两个子集，给下列四个命题：若不等式的解集为，则若不等式的解集为，且，则；那么，这四个命题中所有的真命题是（）A．④ B． C．④ D．④二．填空题（共5小题）13．命题“∀，”的否定是；14．已知条件p：a＞b，条件q：a2＞b2，则p是q的；15．当x＞0时，x+的最小值为；16如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝4米，AD＝3米．那么当BM=，矩形花坛AMPN的面积最小,最小值．若不等式组的解集中所含整数解只有﹣2，求k的取值范围．三．解答题（共7小题）18．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}．求：（1）A∩（∁UB）；（2）（∁UA）∩（∁UB）；19．已知集合A＝{a﹣2，2a2+5a，12}，且﹣3（1）求a．（2）写出集合A的所有子集．20．已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}，B＝{x|}，U＝R．（1）若a＝，求A∩B；A∪（∁UB）；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．21．已知（1）若2a+b=2，求ab的最大值；（2）若ab=a+b+3，求ab的取值范围．22．已知一元二次函数f（x）＝ax2+bx+c．（Ⅰ）若f（x）＞0的解集为（﹣3，4），解关于x的不等式bx2+2ax﹣（c+3b）<0；（Ⅱ）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，求的最大值．三梅中学2020学年第一学期高一年级第一次数学检测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．下列关系中，正确的个数为（）①；②；③0＝{0}；④0∉N；⑤π∈Q；⑥﹣3∈Z．A．6 B．5 C．4 【分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解．【解答】解：由元素与集合的关系，得：在①中，∈R，故①正确；在②中，，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N，故④错误；在⑤中，π∉Q，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z，故⑥正确．故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，考查注意实数集、有理数集、正自然数集的性质的合理运用，是基础题．2．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则（∁UA）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}【分析】由题意，集合∁UA＝{0，4}，从而求得（∁UA）∪B＝{0，2，4}．【解答】解：∵∁UA＝{0，4}，∴（∁UA）∪B＝{0，2，4}；故选：D．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．3．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（）A．{0，1} B．{1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|1≤2x＜4}＝{x|0≤x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．略5．已知函数f（x）与函数g（x）＝是相等的函数，则函数f（x）的定义域是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0）∪（0，1] C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（0，1）【分析】根据条件知f（x）的定义域和g（x）的定义域相同，从而解不等式组即可得出函数f（x）的定义域．【解答】解：f（x）＝g（x）；解得，x≤1，且x≠0；∴f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]．故选：B．【点评】考查函数定义域的概念及其求法，以及函数相等的概念．6．如果x+y＜0，且y＞0，那么下列不等式成立的是（）A．y2＞x2＞xy B．x2＞y2＞﹣xy C．x2＜﹣xy＜y2 D．x2＞﹣xy＞y2【分析】由x+y＜0，且y＞0，可得x＜﹣y＜0．再利用不等式的基本性质即可得出x2＞﹣xy，xy＜﹣y2．【解答】解：∵x+y＜0，且y＞0，∴x＜﹣y＜0．∴x2＞﹣xy，xy＜﹣y2，因此x2＞﹣xy＞y2．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．7．略8．集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为（）A．4 B．5 C．10 【分析】根据题意，集合中的元素满足x是整数，且是整数．由此列出x与y对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解答】解：由题意，集合{x∈Z|y＝∈Z}中的元素满足x是整数，且y是整数，由此可得x＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x共有12个，故选：D．【点评】本题求集合中元素的个数，着重考查了集合元素的性质和用大写字母表示数集等知识，属于基础题．9．若m+n＞0，则关于x的不等式（m﹣x）（n+x）＞0的解集是（）A．{x|﹣n＜x＜m} B．{x|x＜﹣n或x＞m} C．{x|﹣m＜x＜n} D．{x|x＜﹣m或x＞n}【分析】由m+n＞0得出m＞﹣n，解不等式（m﹣x）（n+x）＞0即可．【解答】解：m+n＞0时，m＞﹣n，不等式（m﹣x）（n+x）＞0可化为（x﹣m）（x+n）＜0，解得﹣n＜x＜m，∴该不等式的解集是{x|﹣n＜x＜m}．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．10．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2 B．2 C．5 D．4【分析】根据题意，分析可得+＝+＝++3，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b＝1，则+＝+＝++3≥2×+3＝5，当且仅当b＝3a＝时等号成立，即+的最小值为5；故选：C．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．11．略同类题型：用C（A）表示非空集合A中的元素的个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|，已知集合A有三个真子集，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0，x∈R}，若A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（）A．1 B．2 C．3 【分析】集合A有三个真子集，分析C（A）＝2，又由A*B＝1，分析易得C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）•（x2+ax+2）＝0有一个根或3个根；分析方程（ax2+3x）•（x2+ax+2）＝0的根的情况，可得a可取的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A有三个真子集，可知集合A中有2个元素，则C（A）＝2，又由A*B＝1，则C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）•（x2+ax+2）＝0有一个根或3个根；若（ax2+3x）•（x2+ax+2）＝0，则必有ax2+3x＝0或x2+ax+2＝0，若ax2+3x＝0，则x＝0或ax+3＝0，当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意；当a≠0时，ax2+3x＝0对应的根为0和﹣；故①需x2+ax+2＝0有两等根且根不为0和﹣，当△＝0时，a＝±2，a＝2，此时B＝{0，﹣2，﹣}，C（B）＝3，符合题意；a＝﹣2，此时B＝{0，2，}，C（B）＝3，符合题意；②当﹣是x2+ax+2＝0的根时，解得a＝±3；a＝3，此时B＝{0，﹣1，﹣2}，C（B）＝3，符合题意；a＝﹣3，此时B＝{0，1，2}，C（B）＝3，符合题意；综合可得：a可取的值为0，±3，±，故选：D．【点评】本题考查集合的表示方法，关键是依据C（A）的意义，分析集合中元素的个数，进而分析方程（ax2+3x）•（x2+ax+2）＝0的根的情况．12．略填空题：：：14．已知条件p：a＞b，条件q：a2＞b2，则p是q的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【分析】分别举例说明由a＞b，不一定得到a2＞b2，由a2＞b2，不一定有a＞b，则答案可求．【解答】解：由a＞b，不一定得到a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2；反之，由a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2．∴p是q的既不充分也不必要条件．故选：B．【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查不等式的性质，是基础题．填空题：：：15．当x＞0时，x+的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．4【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：当x＞0时，x+＝4，当且仅当x＝2时取等号，因此其最小值为4．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二．填空题（共2小题）13．略17．若不等式组的解集中所含整数解只有﹣2，求k的取值范围[﹣3，2）．【分析】解二次不等式x2﹣x﹣2＞0可得x∈（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），由2x2+（5+2k）x+5k＝（2x+5）（x+k），分类讨论k与的大小关系，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：x2﹣x﹣2＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）∵2x2+（5+2k）x+5k＝（2x+5）（x+k）＜0当k＜时，2x2+（5+2k）x+5k＜0的解集为（﹣，﹣k），此时若不等式组的解集中所含整数解只有﹣2则，﹣2＜﹣k≤3，即﹣3≤k＜2当k＝时，2x2+（5+2k）x+5k＜0的解集为∅，不满足要求当k＞时，2x2+（5+2k）x+5k＜0的解集为（﹣k，﹣），不满足要求综上k的取值范围为[﹣3，2）故答案为：[﹣3，2）【点评】本题考查的知识点是不等式的综合应用，集合的运算，熟练掌握集合运算的结果，是解答的关键．三．解答题（共7小题）填空题：：：16．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝4米，AD＝3米．（1）要使矩形AMPN的面积大于64平方米，则DN的长应在什么范围内？（2）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【分析】（1）设DN的长为x（x＞0）米，则AN＝（x+3），再由三角形相似求得AM，则SAMPN＝AN•AM＝，由矩形AMPN的面积大于64平方米，解不等式即可得DN的长的范围；（2）由（1）得SAMPN＝，展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：（1）设DN的长为x（x＞0）米，则AN＝（x+3）米．∵，∴AM＝，则SAMPN＝AN•AM＝，由矩形AMPN的面积大于64，得：＞64，又x＞0，得：x2﹣10x+9＞0，解得：0＜x＜1或x＞9，即DN长的取值范围是：（0，1）∪（9，+∞）；（2）由（1）知，矩形花坛AMPN的面积为：S＝＝＝4x+≥2＝36，当且仅当4x＝，即x＝3时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值36．故DN的长为3米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为36平方米．答：（1）要使矩形AMPN的面积大于64平方米，则DN的长的范围：（0，1）∪（9，+∞）；（2）当DN的长为3米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为36平方米．【点评】本题考查函数模型的选择及运用，考查学生的计算能力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．18．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}．求：（1）A∩B；（2）（∁UA）∩B；（3）∁U（A∪B）．【分析】（1）找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集；（2）找出全集U中不属于A的元素，求出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，即可确定出所求的集合；（3）找出既属于A又属于B的元素，确定出A与B的并集，找出U中不属于并集的元素，即可确定出所求的集合．【解答】解：集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，（1）A∩B＝{5}；（2）∁UA＝{1，3，6，7}，则（∁UA）∩B＝{1，3，7}；（3）A∪B＝{1，2，3，4，5，7}则∁U（A∪B）＝{6}．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．19．已知集合A＝{a﹣2，2a2+5a，12}，且﹣3（1）求a．（2）写出集合A的所有子集．【分析】（1）由﹣3∈A，则﹣3＝a﹣2或﹣3＝2a2+5a．由此能求出（2）由A＝{﹣，﹣3，12}，能写出A的子集．【解答】解：（1）∵﹣3∈A，则﹣3＝a﹣2或﹣3＝2a2+5∴a＝﹣1或a＝﹣．当a＝﹣1时，a﹣2＝﹣3＝2a2+5a，集合∴a＝﹣1（舍去），当a＝﹣时，经检验，符合题意，故a＝﹣；（2）由（1）知A＝{﹣，﹣3，12}∴A的子集为：Φ，{﹣}，{﹣3}，{12}，{﹣，﹣3}，{﹣3，12}，{﹣，12}，{﹣，﹣3，12}．【点评】本题考查实数值的求法，考查集合的所有子集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集体合中元素的性质的合理运用．20．省略同类题型：：：已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}，B＝{x|0＜x＜1}，U＝R（1）若a＝，求A∩B；A∪（∁UB）；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．【分析】（1）把a的值代入A求出解集，找出A与B的交集，求出A