复习05求离心率和轨迹方程（八大考点）

复习05求离心率和轨迹方程一、求离心率的值或取值范围1.利用图形的几何性质（1）特殊三角形与离心率:一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等,通常数形结合,用几何法进行运算（2）平行四边形与离心率:可能存在四边形也可能利用圆锥曲线的对称性构造四边形,一般有:对边平行相等;两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.（3）圆与离心率:一般利用弦的中点与圆心的连线与弦垂直,直径所对的圆周角是,半径相等,圆与圆的位置关系等.2.利用坐标运算:如果从题目中的条件难以发掘几何关系,那么可考虑将点的坐标用进行表示,再利用条件列出等式求解3.借助题目中给出的不等信息或者平面几何图形中的不等关系:（1）题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求:例如圆与双曲线对横坐标的范围有要求.（2）根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系即可4.借助函数的值域求解范围：若题目中有一个核心变量,则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数,从而求该函数的值域即可二、求轨迹方程1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等）2.定义法：动点满足的几何条件符合基本轨迹（如圆、椭圆、抛物线和双曲线）的定义条件时，我们可以根据基本轨迹的方程写出轨迹方程，或设出标准方程，然后利用待定系数法求解3.相关点法：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点坐标满足某已知曲线方程，则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。4.点差法：圆雉曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆雉曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得等关系式,由于弦的中点的坐标满足且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程.考点01利用几何性质求解离心率【例1】设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据题意求出；再根据及椭圆的定义建立等式得出，即可得出答案.【详解】如图所示，由题意得：.因为，把代入椭圆方程可得，解得.取.则在中，.因为，所以，由椭圆定义可得：，整理得：，所以，即.则椭圆的离心率．故选：A．【例2】已知，分别是双曲线的左右焦点，A为双曲线的右顶点，线段的垂直平分线交双曲线于P，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义，结合勾股定理、离心率的定义进行求解即可.【详解】如图，设线段的垂直平分线与x轴的交点为B，不妨设P在第一象限，则，，再由勾股定理得：，所以，等式两边同除以整理可得得或舍去故选：A【点睛】关键点睛：本题的关键是根据双曲线的定义，结合勾股定理建立等式，得到双齐次方程.【变式11】如图所示，椭圆的左焦点为F，A，B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为．【答案】【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性，用椭圆的半焦距c表示出点的坐标，再代入椭圆方程求解即得.【详解】由四边形为菱形，得轴，由椭圆对称性得点关于y轴对称，连接，令椭圆半焦距为c，则，因此是正三角形，即，则点，即有，于是，即，整理得，而，解得，所以该椭圆的离心率为.故答案为：【变式12】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C上的一点，，的平分线与x轴交于点A，记，的面积分别为，，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根据题意分析可得，利用角平分线定理得，再根据双曲线的定义结合通径得到关于的齐次方程，从而得解.【详解】因为，则，可得，由题意知是的平分线，所以，又，所以，则，所以，整理得，故，得，即，所以.故选：B.【变式13】已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为.【答案】【分析】首先设，再根据题意和椭圆的定义求得，转化为关于的等式，进而求得椭圆的离心率.【详解】由题意得，又由椭圆的定义得，记，则，，则，所以，故，则，则，即等价于，得：或（舍）故答案为：考点02利用双余弦定理求解离心率【例3】已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点（B在x轴的上方），且满足．若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】设则,由双曲线的定义知,，在和中分别利用余弦定理,然后两式相减即可求解.【详解】设则,则,由双曲线的定义知,,在中,由余弦定理可得,，即，在中,由余弦定理可得,即两式相减可得,,所以离心率.故选:D【点睛】本题考查双曲线及其性质、直线与双曲线的位置关系,及三角形中的余弦定理;考查运算求解能力和转化与化归能力;双曲线定义的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.【例4】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意设，结合椭圆定义，且分别在、中利用余弦定理并结合以及离心率公式即可求解.【详解】由题意不妨设，则，又由椭圆定义可知，所以，在中由余弦定理有，，在中由余弦定理有，，由图可知，所以，即，解得，所以椭圆的离心率是.故选：A.【变式21】已知为双曲线的右焦点，点，在上，，为坐标原点，，则的离心率为.【答案】【分析】设，则，，结合双曲线定义求得，，分别在中求得，构建等式即可求解.【详解】如图，由，不妨设，则，.设双曲线的左焦点为，连接，.由双曲线的定义可知，，.由可知，，则①.在中，②.在中，③.由①②，所以，所以；由①③，得，所以.所以，解得，所以，所以，故.故答案为：【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用余弦定理得到关于的方程组，从而得解，进而得到关于的齐次方程，由此得解.【变式22】已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，为上一点．若平分，且，，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】方法一：画图，根据双曲线定义，以及已知条件结合三角形面积公式，正弦二倍角公式，余弦定理求解即可.方法二：画图，根据双曲线定义，角平分线性质以及余弦定理求解即可.【详解】方法—：如图所示：依题意可得，，则，，令，由平分，，得：，所以,即，因为，所以，又，所以，所以，由余弦定理得：，即，解得或（舍去），则双曲线的离心率.方法二：如图所示：由已知得．又，所以，，因为平分，所以由三角形内角平分线的性质可知：，可得，又，所以，所以，即化简可得，所以，即或（舍去）；故选：A．【变式23】已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为.【答案】/【分析】由题意，，结合椭圆定义可将这些长度以及用同一个参数表示，然后分别在在、中，对利用余弦定理，结合离心率公式化为其次方程即可得解.【详解】如图所示：由题意，，，所以不妨设，而由椭圆定义有，所以，所以，在中，由余弦定理有，在中，由余弦定理有，交叉相乘得，即，所以.故答案为：.【点睛】关键点睛：解决问题的关键在于表示出以及，然后利用余弦定理即可顺利得解.考点03与斜率乘积相关求解离心率【例5】已知双曲线的左顶点为，点均在双曲线上且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出坐标后结合题意表示出斜率之积，计算可得，由即可得离心率.【详解】设，则，，则，由在双曲线上，故，即有，故，即有，即，故.故选：A.【例6】已知点是椭圆上一点，过点作椭圆的切线，则的方程为．若与（为坐标原点）的斜率之积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，求得斜率建立方程，结合离心率的计算公式，可得答案.【详解】由的方程为，得的斜率为．又因为直线的斜率为，所以，即，所以椭圆的离心率为．故选：B．【变式31】双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为.【答案】【分析】根据斜率公式即可结合双曲线的方程求解得，进而可求解.【详解】双曲线的右顶点为，则，又点，均在上，且关于轴对称，设，，又直线，的斜率之积为，则，即，①又，即，②联立①②可得：，即，即．故答案为：【变式32】已知双曲线的两个顶点分别为，点P在双曲线上且异于点，若直线的斜率之积为8，则双曲线的率心率为.【答案】3【分析】设，，应用斜率两点式得，结合点P在双曲线上、即可求离心率.【详解】设，，则，又，则，故双曲线的率心率为.故答案为：【变式33】椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再结合可求出离心率.【详解】由题意得，设，因为点，是上的任意两点，且关于轴对称，所以，，所以，所以，因为，所以，所以，所以离心率，故选：C考点04利用坐标法求解离心率【例7】已知A、F分别为椭圆的左顶点和左焦点，B、C是椭圆上关于原点对称的点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，可得的中点的坐标，由三点共线得，即可求解.【详解】由题意得，设，则的中点，∵三点共线，∴，即，整理得，∴．故选：A.【例8】已知双曲线的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点B，且有，则双曲线C的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】计算出点坐标，然后带入椭圆方程，化简即可得到关系的方程，进而得出.【详解】不妨设双曲线的一条渐近线为,因为左焦点,所以直线的方程为,与两式联立可得,设，因为,即，所以,将点坐标代入双曲线方程得：,上式整理得,即离心率.故选：A.【变式41】已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足，则椭圆的离心率为．【答案】/【详解】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数、椭圆的离心率公式进行求解即可.【解答】设，由，设A（x1，y1），B（x2，y2），F2（c，0），设直线的方程为，代入椭圆的方程中，得，因为，所以有，而，所以有，于是有故答案为：【变式42】已知过原点的直线与双曲线交于两点，点在第一象限且与点关于轴对称，，直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出点的坐标，得点的坐标，求出直线的斜率可得，再由得，又得，根据之间的关系求离心率.【详解】设，则，根据可得，则，因为，所以，又，所以，故双曲线的离心率.故选：A.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用直线斜率之间的关系、得到之间的关系.【变式43】已知椭圆：的左､右焦点分别为，，是椭圆的上顶点，直线与直线交于点A，若，则椭圆的离心率为.【答案】【分析】根据，坐标，写出直线的方程，再求得点A，由求解即可.【详解】

根据题意知，，，，则直线的方程为，联立，得，设直线与x轴交于点M，因为，，所以，所以，所以离心率.故答案为：考点05利用不等关系求解离心率范围【例9】已知过点可作出双曲线的两条切线，切点都在双曲线的同一支上，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意，点必须在渐近线轴和双曲线围成的区域内（不包括边界），可得，结合的关系求解即可.【详解】要满足题意，点必须在渐近线轴和双曲线围成的区域内（不包括边界），如图，所以，得，∴，∴，，即．故选：D．【例10】点M是椭圆上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据题目条件可知圆的半径为，画出图形由是钝角三角形可得，即可求得椭圆离心率的取值范围.【详解】依题意，不妨设为右焦点，则，由圆Ｍ与x轴相切于焦点F，M在椭圆上，易得或，则圆的半径为.过M作轴垂足为N，则，，如下图所示：，均为半径，则为等腰三角形，∴，∵为钝角，∴，即，所以得，即，得，得，故有，从而解得.故选：B【变式51】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为.【答案】【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，可知直线的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即，设，则，根据可知，在中，由余弦定理可知，即，则，故故答案为：【变式52】已知椭圆的两个焦点为，，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积记为，且，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，计算即可得到离心率范围.【详解】连接，，由题意得，，，又，所以四边形为矩形，故，所以，故，又，由勾股定理得，即，则，故，即，故，，解得，又上存在关于坐标原点对称的两点，，使得，故，所以，即，所以，，解得，综上，的离心率的取值范围是.故选：C.【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).【变式53】已知双曲线的左､右焦点分别为.(1)该双曲线虚轴的一个端点为，若直线与它的一条渐近线垂直，求双曲线的离心率.(2)若右支上存在点，满足，求双曲线的离心率的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）根据两点表示斜率和两直线的位置关系可得，，建立关于离心率的方程，解之即可；（2）由题意设，根据双曲线的定义可得，利用余弦定理可得，结合建立不等式，解之即可求解.【详解】（1）依题意，则；渐近线斜率：，直线与该双曲线的一条渐近线垂直，，，而，，解得，又，所以；（2）设.依题意，解得，由余弦定理得，即，得.考点06利用函数的值域求解离心率范围【例11】设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围.【详解】设，，由椭圆的定义可得，，可设，可得，即有，①由，可得，即为，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，则时，取得最小值；或4时，取得最大值.即有，得.故选：C【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出，代入公式；②根据条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.【例12】设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得，所以.在中，，由余弦定理可得，整理可得，，两边同时除以可得，.又，，所以有，所以，.因为，所以，所以，所以，，，所以，.则，故.故选：C.【变式61】已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是．【答案】【分析】利用余弦定理将角度的范围转化为关于椭圆离心率的不等式即可.【详解】因为是以为底边的等腰三角形，所以，所以，，，在中，由余弦定理得：，故，即，即，不等式，即，解得(舍去)或不等式，即所以.故答案为：【变式62】设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为【答案】【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理进行、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】设，因为两个曲线在第一象限内交于点，所以有，解得，因为，所以由余弦定理可知：，因为，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，所以设，于是有，化简得：，因为，所以，所以，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是利用两种曲线的定义和余弦定理.【变式63】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到，设，结合双曲线的定义得到，则，构造函数，利用导数法求解.【详解】解：因为，，∴，又，∴．设，则，，∴，∴，则，∴．∴，则，设，则，∴在上单调递增，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．考点07直接法求轨迹方程【例13】已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是.【答案】或【分析】设出点的坐标，利用已知列出方程化简即得.【详解】设点，依题意，，即，整理得，所以的轨迹方程是或.故答案为：或【例14】动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是．【答案】【分析】利用直接法建立等式，化简即可.【详解】解：动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，所以，即，展开整理得．故答案为：．【变式71】已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程;【答案】【分析】设点的坐标为，进而利用得到动点的轨迹方程.【详解】设点的坐标为，因为，所以，化简得.故动点的轨迹方程为.【变式72】在平面内，已知动点M到两个定点，的距离的比值为2.(1)求动点M的轨迹方程，并说明其轨迹C的形状；(2)直线与轨迹C交于两点，求过该两点且面积最小的圆的方程.【答案】(1)；轨迹C是以为圆心，半径为2的圆(2)【分析】（1）直接设出坐标，根据两点间的距离公式列出等式化简即可得解.（2）直线与圆的两个交点分别为，，故所求圆即为以为直径的圆，通过联立直线与圆的方程，由韦达定理、弦长公式即可得所求圆的圆心、半径，由此即可得解.【详解】（1）设点，则，化简得，即，所以轨迹C是以为圆心，半径为2的圆.（2）设直线与圆的两个交点分别为，.由得，，，设的中点为，则，，即中点为.所以，故最小的圆是以为直径的圆，其圆心坐标为，半径的平方为，故所求圆的方程为.【变式73】如图，线段的两个端点分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化.(1)求点的轨迹方程；(2)动点在曲线外，且点到曲线的两条切线相互垂直，求证：点在定圆上.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）令，根据已知有，利用向量的坐标表示列方程得到，结合即可求轨迹方程；（2）若，切线斜率存在且不为0，令切线为，联立曲线方程得到一元二次方程，根据得，又即可得，再由切线垂直及根与系数关系得到轨迹，最后验证切线斜率不存在或为0的情况即可证.【详解】（1）由题设，令，则，由，点是上一点，且，所以，故，即，则，所以.（2）令，若切线斜率存在且不为0，令切线为，则，联立与，得，所以，即，所以，则，又点到曲线的两条切线相互垂直，若两切线斜率分别为，故，即，若切线斜率不存在或为0，则坐标为或或或，它们都满足，综上，点在定圆上.考点08定义法求轨迹方程【例15】的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为.【答案】【分析】由题意，结合双曲线的定义即可求解.【详解】设，，由于动点的轨迹方程为则，故点M到定点与到定点的距离差的绝对值为8，则动点的轨迹是以为焦点的双曲线，由于，，则，故M的轨迹方程为：，故答案为：.【例16】已知动圆与圆外切，同时与圆内切；则动圆圆心的轨迹方程为.【答案】【分析】结合圆与圆的位置关系与椭圆定义即可得.【详解】由，即，半径为，，即，半径为，有，故圆与圆为内含关系，设动圆半径为，由动圆与圆外切，故，由动圆与圆内切，故，又圆与圆为内含关系，故点在圆内部，故，有，故动圆圆心的轨迹为以、为焦点，为长轴长的椭圆，则半长轴长为，半短轴长为，故动圆圆心的轨迹方程为.故答案为：.【变式81】已知圆：，圆：．(1)求经过点以及圆与圆交点的圆的方程；(2)若动圆和圆、圆均外切，求点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设出所求圆的方程，根据点坐标求得所求圆的方程.（2）根据双曲线的定义求得点的轨迹方程.【详解】（1）设所求圆方程为：，，将代入上面方程，得，解得，所以该圆方程为：，化简为：.（2）由题圆：，圆心，半径，圆：，圆心，半径，又因为圆和圆，圆均外切，令，圆的半径为，则，，所以，所以点在以，为左右焦点，以2为实轴长的双曲线靠近点的一支上，且，所以，，，所以点坐标满足如下关系：，解得．所以点的轨迹方程为：．【变式82】已知圆：，圆：.若动圆与外切，且与圆内切.(1)判断圆和的位置关系；(2)求动圆的圆心的轨迹方程.【答案】(1)内切(2)【分析】（1）借助圆的标准方程可得圆心和半径，进而判断两圆的位置关系；（2）借助圆与圆相切的性质，结合椭圆的定义即可得.【详解】（1）圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，可得，可知，所以圆和内切.（2）设动圆的半径为R，因为动圆与圆外切且与圆内切，则，且，由椭圆的定义可知，动点在以、为焦点，为长轴长的椭圆上，设椭圆的方程为，半焦距为，则，，则，又因为圆与圆内切，则点C不能在切点处，即椭圆应去掉点，所以动圆的圆心的轨迹方程为．【变式83】平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】设点，可得出，分、两种情况讨论，化简可得出点的轨迹方程.【详解】设点，因为平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则，当时，则有，即，等式两边平方整理可得；当时，则有，即，等式两边平方可得.综上所述，点的轨迹方程为或.故选：D.考点09相关点法求轨迹方程【例17】已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为．【答案】【分析】设，，根据题意，得到，代入椭圆方程，即可求解.【详解】解：设是所求轨迹上的一点，且，因为，且，可得，即，可得，代入椭圆，可得，整理得，所以点的轨迹方程为.故答案为：.【例18】△ABC的三个顶点坐标是A（0，1），B（2，1），C（3，4）；(1)△ABC的外接圆方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为（6，2），端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系数法可求圆的方程；（2）定义代入法求线段MN的中点P的轨迹方程．【小题1】设△ABC的外接圆方程为.把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得:解此方程组，得.∴△ABC的外接圆方程是【小题2】设点，，∵点P是MN的中点，∴.∵点M在上运动，∴.即，整理得：.所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.【变式91】已知圆．(1)直线l过点且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）当斜率不存在时，直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆的弦长公式有，和点到直线距离公式，可求得，故可得直线l的方程；（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.利用已知，代入点的坐标化简得，.而，代入可得的轨迹方程.【详解】（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.②若直线不垂直于轴，设其方程为，即.设圆心到此直线的距离为，则，得，∴，，故所求直线方程为.综上所述，所求直线方程为或.（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.∵，∴，即，.又∵，∴.由已知，直线轴，∴，∴点的轨迹方程是.【变式92】已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点，离心率为．已知(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）设椭圆的标准方程，根据题意求出，即得答案.（2）设，根据中点坐标公式推出，结合P是椭圆上的动点，利用代入法即可求得答案.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，其焦距为，由左焦点，则得，离心率为，则，故椭圆标准方程为；（2）设，则，，故，代入中，即，即线段PA中点M的轨迹方程为.【变式93】已知圆和点，动圆M经过点A且与圆C内切，(1)求动圆圆心M的轨迹方程；(2)作轴于P，点Q满足﹐求点Q的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得，根据椭圆的定义可得解；（2）设出点，点，根据坐标化可得，再由点在上代入可得解.【详解】（1）设动圆的半径为R，圆C的方程可变为，可得圆心，半径，由动圆经过点且与圆C内切，则，，即得，又，所以圆心是以点为左右焦点的椭圆，其方程为.（2）设点，点，则，又，得，整理得，又，代入运算得，所以点的轨迹方程为.考点10点差法求轨迹方程【例19】直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是．【答案】【分析】利用点的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点M在椭圆内即可得出取值范围.【详解】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）．由题意知，则，∴点的轨迹方程为．又点在椭圆内，∴，解得：，故答案为：.【例20】斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是．【答案】(或).【分析】设直线为联立双曲线，根据交点情况有求m范围，再应用韦达定理求出弦的中点坐标，进而确定其轨迹方程，注意范围.【详解】设直线为，与双曲线交点为，联立双曲线可得：，则，即或，所以，故，则弦中点为，所以弦的中点的轨迹方程为(或).故答案为：(或)【变式101】已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，．(1)求曲线的方程；(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；【答案】(1)(2)；【分析】(1)根据椭圆的定义，可以直接写出动点P的轨迹方程；(2)由条件可知M是线段AB的中点，按照圆锥曲线中点弦的思路，运用点差法即可求解.【详解】（1）因为动点到两定点，的距离之和为，所以曲线是以，为焦点的椭圆，，，所以，，所以曲线的方程为；（2）因为，所以为中点，设，当的斜率存在且不为0时，将，代入椭圆方程中得：两式相减得，即，所以，即，，整理得；当的斜率不存在或为0时，有或，也满足；所以点的轨迹方程是；综上，曲线的方程为，点的轨迹方程是.【变式102】求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程.【答案】（或）.【分析】可设直线的方程为，且设该直线被双曲线截得的弦AB对应的中点为，，，联立直线与双曲线的方程，根据判别式与韦达定理可得，再消元求解即可.【详解】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，故可设直线的方程为，且设该直线被双曲线截得的弦AB对应的中点为，，.由得.则，即，且，所以，即，，且，，所以，.由，即，，代入消去k得.又，且，，故或.故弦AB的中点的轨迹方程为（或）.【变式103】已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.【答案】.【分析】方法1：利用点差法，设点作差，要考虑斜率不存在的情况；方法2：可设出直线的方程，将其与抛物线方程联立，可得一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式，消参即可得轨迹方程，同时要考虑斜率不存在的情况.【详解】方法1：设，，弦的中点为，则，当直线的斜率存在时，.因为两式相减，得.所以，即，即.当直线斜率不存在，即轴时，的中点为，适合上式，故所求轨迹方程为.方法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），由得.所以所以.设，，的中点为，则，.所以.所以消去参数，得.当直线的斜率不存在时，即轴时，的中点为，适合上式，故所求轨迹方程为.一、单选题1．在椭圆（）中，，分别是左，右焦点，为椭圆上一点（非顶点），为内切圆圆心，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设的内切圆半径为，由，得，可求椭圆的离心率.【详解】椭圆（）中，，分别是左，右焦点，为椭圆上一点（非顶点），为内切圆圆心，设的内切圆半径为，则，，由，得，即，∴椭圆的离心率为.故选：B.【点睛】方法点睛：为内切圆圆心，设的内切圆半径为，利用表示出和，结合椭圆的性质和，求得，可得椭圆的离心率.2．一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【详解】设动圆M的半径为r，依题意：，点M到定直线的距离为，所以动点M到定点的距离等于到定直线的距离，即M的轨迹为以F为焦点，为准线的抛物线，所以此动圆的圆心M的轨迹方程是.故选：D．3．双曲线：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与双曲线的一个交点满足，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直线的方程，可得，进而得到，，再利用双曲线的定义，以及双曲线的离心率的定义，即可求解.【详解】由题意直线过点且倾斜角为，则，又，，可得，因为，所以，，由双曲线定义，，即，解得.故选：A.4．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的定义直接求解即可.【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且，所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆，设椭圆方程为，焦距为，则，解得，故动点P的轨迹方程为.故选：B5．不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点差法求出，再结合进行计算得出结果.【详解】设为坐标原点，在椭圆中，设，则，所以，因为关于对称，所以，所以，由线段的中点的坐标为，得出．所以，又，∴，即，又，∴，所以所求离心率为.故选：C．6．若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设PQ的中点为，根据中点坐标公式可得，表示出点P的坐标，代入曲线方程即可求解.【详解】设PQ的中点为，则，解得，即，又点P在曲线上，所以，即，所以PQ的中点的轨迹方程为.故选：A7．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点，记点关于轴的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】画出图形，由已知条件和几何关系确定，进而确定点，又点在直线上，代入即可求出，最终算出离心率.【详解】设，连接，与轴交于点，由对称性可知，又，所以是正三角形，且.因为，所以，所以，所以，所以，又点在直线上，故，所以，所以.故选：B.二、多选题8．过双曲线（，）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，且该直线与轴的交点为，若（为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据题意求出长，利用求出双曲线离心率范围，即可得出结果.【详解】不妨设双曲线的渐近线方程为，右焦点，则点到渐近线的距离为，在方程中，令，得，所以，由，可得，则，即，即，解得，又因为．所以.故选：ABD．9．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的左支没有公共点，则双曲线的离心率可能为（

）A． B． C．2 D．3【答案】AB【分析】求出双曲线的渐近线与之间的距离，根据直线和圆的位置关系，列不等式，即可求得双曲线离心率范围，即可判断答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，则与直线间的距离为，由于点是直线上任意一点，圆与双曲线的左支没有公共点，故，即双曲线离心率，结合选项，可知A，B正确，故选：AB三、填空题10．已知圆，定点为，M为圆C上一动点，点P是线段的中点，点N在上，点N不在x轴上，且满足，则点N的轨迹方