高中数学北师大版练习第二章4-1第2课时函数奇偶性的应用

第2课时函数奇偶性的应用水平1·题组一利用函数的奇偶性求参数的值或范围1．已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b等于()A．－1 B．1C.0 D．2【解析】选A.因为一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1.2．函数f(x)在x∈(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A.[－2，2] B．[－1，1]C.[0，4] D．[1，3]【解析】选D.因为f(x)为奇函数，f(1)＝－1，所以f(－1)＝1.因为－1≤f(x－2)≤1，所以f(1)≤f(x－2)≤f(－1).又因为f(x)在x∈(－∞，＋∞)上单调递减，所以－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.3．设定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在x∈[0，1)上单调递增，且有f(1－m)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2m))<0，则实数m的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))【解析】选A.由于函数f(x)的定义域为(－1，1)，则有，解得0<m<eq\f(3,4).又f(1－m)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2m))<0，函数f(x)为奇函数，所以f(1－m)<－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2m))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2m)).因为函数f(x)是奇函数，且在x∈[0，1)上单调递增，所以函数f(x)在定义域(－1，1)上单调递增，则有1－m<－eq\f(1,2)＋2m，解得m>eq\f(1,2)，所以实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))).·题组二函数的奇偶性和单调性的综合应用1．若偶函数f(x)在区间[3，6]上单调递增且f(6)＝9，则它在区间[－6，－3]上()A.最小值是9 B．最小值是－9C.最大值是－9 D．最大值是9【解析】选D.因为f(x)是偶函数且在区间[3，6]上单调递增，所以f(x)在区间[－6，－3]上单调递减．因此，f(x)在区间[－6，－3]上最大值为f(－6)＝f(6)＝9.2．f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是()A.f(x)＋f(－x)是偶函数且是增函数B.f(x)＋f(－x)是偶函数且是减函数C.f(x)－f(－x)是奇函数且是增函数D.f(x)－f(－x)是奇函数且是减函数【解析】选C.A错误，设f(x)＝x，是增函数，但f(x)＋f(－x)＝x－x＝0是常数函数；同理B错误；C正确，设g(x)＝f(x)－f(－x)，则g(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－g(x)，函数g(x)是奇函数．任取x1，x2∈R，且x1<x2，则－x1>－x2，g(x1)＝f(x1)－f(－x1)，g(x2)＝f(x2)－f(－x2)，因为f(x)是定义在R上的增函数，所以f(x1)<f(x2)，f(－x1)>f(－x2)，即－f(－x1)<－f(－x2).所以f(x1)－f(－x1)<f(x2)－f(－x2)，即g(x1)<g(x2).所以函数g(x)＝f(x)－f(－x)是增函数，D错误．3．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是________．【解析】设h(x)＝f(x)g(x)，补全f(x)，g(x)的图象(图略)，由图象可知：当－4<x<－2时，f(x)>0，g(x)<0，此时h(x)<0；当0<x<2时，f(x)<0，g(x)>0，此时h(x)<0，所以h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2).答案：(－4，－2)∪(0，2)·题组三函数的基本性质的综合应用1．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1<0且x1＋x2>0，则()A.f(－x1)>f(－x2)B.f(－x1)＝f(－x2)C.f(－x1)<f(－x2)D.f(－x1)与f(－x2)的大小不确定【解析】选A.因为x1<0，x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递减，所以f(x2)<f(－x1)，因为f(x)是偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1).2．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝－x2＋2x，在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为__________．【解析】由已知可得函数f(x)的图象，如图，要使f(x)在x∈[－1，a－2]上单调递增，必须所以1<a≤3，所以实数a的取值范围是(1，3].答案：(1，3]3．已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有eq\f(f（a）＋f（b）,a＋b)>0成立．若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【解析】任取x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2，则－x2∈[－1，1].因为f(x)为奇函数，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)，由已知得eq\f(f（x1）＋f（－x2）,x1－x2)>0，又x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在x∈[－1，1]上单调递增．因为f(1)＝1，且f(x)在x∈[－1，1]上单调递增，所以在x∈[－1，1]上，f(x)≤1.f(x)≤m2－2am＋1等价于m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1，1]成立．设g(a)＝－2m·a＋m2，①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为关于a的一次函数，若g(a)≥0对a∈[－1，1]恒成立，则必有g(－1)≥0，且g(1)≥0，即解得m≤－2或m≥2.综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).易错点一没有搞清分段函数及奇偶性的概念致错1．关于函数f(x)＝的性质描述正确的是()A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)是奇函数，也是偶函数D.f(x)不是奇函数，也不是偶函数【解析】选D.当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)，当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－f(x)，但是f(0)＝3，所以f(x)不是奇函数，也不是偶函数．2．已知函数f(x)＝，则不等式f(|2x－1|)≤4的解是__________；不等式2f(x)≥f(4－x2)的解是________．【解析】容易作出函数f(x)＝的图象如下，显然函数f(x)在x∈R上单调递增，又4＝22＝f(2)，所以f(|2x－1|)≤4⇒f(|2x－1|)≤f(2)，所以|2x－1|≤2，－2≤2x－1≤2，所以－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(3,2).x≥0，2f(x)＝2x2＝(eq\r(2)x)2＝f(eq\r(2)x)；x<0，2f(x)＝－2x2＝－(eq\r(2)x)2＝f(eq\r(2)x).所以x∈R时，2f(x)＝f(eq\r(2)x)，2f(x)≥f(4－x2)⇒f(eq\r(2)x)≥f(4－x2)，所以eq\r(2)x≥4－x2，x2＋eq\r(2)x－4≥0，(x＋2eq\r(2))(x－eq\r(2))≥0，所以x≥eq\r(2)或x≤－2eq\r(2).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤\f(3,2)))))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\r(2)或x≤－2\r(2)))))【易错误区】分段函数的奇偶性要分段讨论，不能只验证一部分．易错点二判断含参函数的奇偶性时忽略对参数的讨论致错(多选)已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，则函数f(x)的性质为()A.a＝0时，是偶函数B.a≠0时，既不是奇函数也不是偶函数C.f(x)的最小值为a2＋1D.f(x)的最小值为1【解析】选ABC.因为a＝0时，f(x)＝x2＋|x|＋1是偶函数，所以A正确；因为a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，所以f(a)－f(－a)＝－2|a|≠0，所以f(x)不是偶函数，f(a)＋f(－a)＝2a2＋2|a|＋2≠0，所以f(x)不是奇函数，所以B正确；因为f(x)＝a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，所以f(x)在x≥a时单调递增，在x<a时单调递减，所以f(x)的最小值为f(a)＝a2＋1.所以C正确，D错误．【易错误区】对分段函数的奇偶性和单调性都要分类讨论，因为参数会影响函数的性质．所以不要忽略对参数的分类讨论．水平1、2限时30分钟分值60分战报得分______一、选择题(每小题5分，共30分)1．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有()A．f(x)·f(－x)>0 B．f(x)·f(－x)<0C.f(x)<f(－x) D．f(x)>f(－x)【解析】选B.因为函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2<0.2．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋3在x∈(0，＋∞)上有最大值10，则f(x)在x∈(－∞，0)上有()A.最小值－4B．最大值－4C.最小值－1D．最大值－3【解析】选A.由已知对任意x∈(0，＋∞)，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋3≤10.对任意x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞).又因为φ(x)，g(x)都是奇函数，所以f(－x)＝aφ(－x)＋bg(－x)＋3≤10，即－aφ(x)－bg(x)＋3≤10，所以aφ(x)＋bg(x)≥－7，所以f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋3≥－7＋3＝－4.3．设函数f(x)＝eq\f(（1＋x）2,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝()A.0B．1C．2D．3【解析】选C.因为f(x)＝eq\f(（1＋x）2,x2＋1)＝1＋eq\f(2x,x2＋1)，函数eq\f(2x,x2＋1)是奇函数，图象关于坐标原点对称，所以f(x)的图象关于(0，1)对称，所以最大值与最小值的和为2.4．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝2－x，则f(2022.5)等于()A.0.5B．2.5C．－0.5D．－2.5【解析】选B.因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(2022.5)＝f(4×505＋2.5)＝f(2.5)＝－f(0.5)＝f(－0.5)＝2＋0.5＝2.5.5.(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的是()A.这个函数有两个单调增区间B.这个函数有三个单调减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值－7【解析】选BC.根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示，由图象可知这个函数有三个单调增区间，有三个单调减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7.6．(多选)若函数f(x)对任意x∈R都有f(x)＋f(－x)＝0成立，m∈R，则下列的点一定在函数y＝f(x)图象上的是()A.(0，0) B．(－m，－f(m))C.(m，－f(－m)) D．(m，f(－m))【解析】选ABC.因为任意x∈R满足f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)是奇函数，又x∈R，所以令x＝0，则f(－0)＝－f(0)，得f(0)＝0，所以点(0，0)，点(－m，－f(m))与(m，－f(－m))也一定在y＝f(x)的图象上．二、填空题(每小题5分，共20分)7．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b均不为零)，且f(5)＝10，则f(－5)＝________．【解析】令g(x)＝ax3＋bx(a，b均不为零)，易知g(x)为奇函数，从而g(5)＝－g(－5).因为f(x)＝g(x)＋4，所以g(5)＝f(5)－4＝6，所以f(－5)＝g(－5)＋4＝－g(5)＋4＝－2.答案：－28．下列函数中是奇函数的为________．(填序号)①f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；②f(x)＝；③f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x2)；④f(x)＝|x－1|－|x＋1|.【解析】①因为f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))要有意义，则eq\f(1－x,1＋x)≥0且1＋x≠0，解得－1<x≤1，所以，函数y＝f(x)的定义域为(－1，1]，不关于原点对称，因此，函数y＝f(x)是非奇非偶函数．②当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2×(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x).所以函数y＝f(x)为奇函数．③由题意可得，所以－2≤x≤2且x≠0，所以，函数y＝f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称，又f(－x)＝eq\f(\r(4－（－x）2),（－x）2)＝eq\f(\r(4－x2),x2)＝f(x)，所以函数y＝f(x)为偶函数．④对于任意实数x，都有f(－x)＝|－x－1|－|－x＋1|＝|x＋1|－|x－1|＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．答案：②④9．已知函数f(x)＝是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，m＋\f(1,2)))上单调递减，则实数a＝________；实数m的取值范围用区间表示为________．【解析】因为函数f(x)＝是奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－a＋(－1)＋1＝0，解得a＝1；因此f(x)＝，根据二次函数的性质，可得，当x>0时，函数f(x)＝x2－x在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递减，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增；又因为f(0)＝0，所以由奇函数的性质可得：函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减；因为函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，m＋\f(1,2)))上单调递减，所以只需：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，m＋\f(1,2)))⊆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，即，解得－eq\f(1,2)≤m≤0.答案：1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))10．已知函数f(x)是定义在[a－1，2a]上的偶函数，且当x>0时，f(x)单调递增，则关于x的不等式f(x－1)>f(a)的解集为________．【解析】由题意可得a－1＋2a＝0，所以a＝eq\f(1,3)，所以f(x－1)>f(a)等价于|x－1|>eq\f(1,3)，所以x<eq\f(2,3)或x>eq\f(4,3).所以所求的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))三、解答题11．(10分)设定义域为R的函数f(x)＝(1)在平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间(不需证明)；(2)若方程f(x)＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围；(3)设定义域为R的函数g(x)为奇函数，且当x>0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．【解析】(1)如图．单调增区间：[－1，0]，[1，＋∞)，单调减区间(－∞，－1]，[0，1].(2)在同一坐标系中同时作出y＝f(x)，y＝－2a的图象，由图可知f(x)＋2a＝0有两个解，须－2a＝0或－2a>1，即a＝0或a<－eq\f(1,2).(3)当x<0时，－x>0，所以g(－x)＝(－x)2－(－2x)＋1＝x2＋2x＋1，因为g(x)为奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝－x2－2x－1，且g(0)＝0，所以g(x)＝设f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，都有eq\f(f（a）＋f（b）,a＋b)>0.(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；(2)解不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))；(3)如果g(x)＝f(x－c)和h(x)＝f(x－c2)这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围．【解析】(1)任取－1≤x1<x2≤1，则eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＝eq\f(f（x2）＋f（－x1）,x2＋（－x1）)>0，所以f(x2)>f(x1)，所以f(x)在x∈[－1，1]上单调递增．因为a，b∈[－1，1]，且a>b，所以f(a)>f(b).(2)因为f(x)是x∈[－1，1]上单调递增，所以由不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<fe