2022-2023学年陕西省宝鸡市陇县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省宝鸡市陇县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

B.

2.关于二次函数y=（%-1/+5,下列说法正确的是（）

A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是（-1,5）

C.该函数有最大值，最大值是5D.当x>1时，y随x的增大而增大

3.如图，在△力BC中，=40°,将AABC绕点4逆时针旋转，得至!]AADE,点。恰好落在BC的延长线

上，则旋转角的度数（）

C.90°D.100°

4.在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放

回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（）

A■-2B-3CJ-D-4

5.如图，4B为。。的直径，弦CD1AB于点E,OF1BC于点F,^BOF=65°,贝！]/4。0为（）

A.70°B.65°C.50°D.45°

6.已知关于久的一元二次方程产-mnx+m+n=0,其中ri在数轴上的对应点如图所示，则这个方程

的根的情况是（）

n0m

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

7.如图，是。。的切线，B为切点,连接2。交。。于点C,延长/。交

。。于点。，连接若乙4=/。，且AC=3,贝的长度是（）

A.3

B.4

D.4<2

8.如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+b%+c与1轴交于点（一1,0），对称轴为直线久=1.则下列结论正

确的有（）

@abc>0；

②2a+6=0；

③函数y=ax2+bx+c的最大值为—4a；

④若关于％的方程a/++。=。+i无实数根，则一"<a<0.

C.3个D.4个

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

9.方程3/—2=5%的一次项系数是一

10.平面直角坐标系内的点P（%,4）与点Q（-5,y）关于原点对称，则y-％=

11.圆锥的底面半径为lan,母线长为3cm,则它的侧面展开图的圆心角的度数等于.

12.如图，48是。。的切线，B为切点，。/与。。交于点C,以点/为圆心、以。C的长为半径作群，分别

交AB,AC于点E,尸.若。C=2,48=4,则图中阴影部分的面积为

E

13.已知函数y=mx2+3mx+m—1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数小的值为

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

14.(本小题8分)

用指定的方法解方程.

(I)%2+4%-5=0(配方法)；

(2)2/+8x-1=0(公式法).

15.(本小题8分)

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3过点4(1,0)和B(2,-1).

(1)求二次函数的表达式；

(2)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴.

16.(本小题8分)

如图，。。是A/IBC的外接圆，48=60。，OPlAC^^P,OP=2,求4C的长.

17.(本小题8分)

尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.

已知AABC,AB>AC,在所给的图形中分别作出AABC的外接圆。和内切圆P.

AA

18.(本小题8分)

李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形.

(1)要使这两个正方形的面积之和等于58czn2,李明应该怎么剪这根铁丝？

(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cM2,你认为他的说法正确吗？请说明理由.

19.(本小题8分)

己知：如图，2B为。。的直径，CD与。。相切于点C,交48延长线于点D,连接AC,BC,4。=30。，CE

平分N4CB交。。于点E,过点B作BF1CE,垂足为F.

(1)求证：CA=CD；

(2)若力B=12,求线段BF的长.

20.(本小题8分)

有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg,

6kg,7kg,7kg,8kg.现将这五个纸箱随机摆放.

(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是；

(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为

15kg的概率.

21.(本小题8分)

如图，点。是△ABC的边4C上一点，以点。为圆心，。4为半径作O。，与BC相切于点E,交4B于点。，连

接。E,连接。。并延长交CB的延长线于点尸，4AOD=4E0D.

(1)连接4F,求证：4F是。。的切线；

(2)若FC=10,AC=6,求。。的半径.

22.(本小题8分)

如图，抛物线y=/+6x+c与x轴的两个交点分别为4(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

(3)设点P是抛物线上的一个动点，是否存在满足S“4B=6的点P?如果存在，请求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8.是中心对称图形，故本选项符合题意；

C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：B.

根据中心对称图形的概念求解.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重

合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.【答案】D

【解析】解：y=(x-l)2+5中,

/的系数为1,1>0,函数图象开口向上，A错误；

函数图象的顶点坐标是(1,5),B错误；

函数图象开口向上，有最小值为5,C错误；

函数图象的对称轴为％=1,x<1时y随*的增大而减小；x〉l时，y随x的增大而增大，。正确.

故选：D.

通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及单调性即可求解.

本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：由旋转的性质可知，NB4D的度数为旋转度数，AB=AD,^ADE=ZB=40°,

在△ABD中，

■•1AB=AD,

/-ADB=Z_B——40°,

•••^BAD=100°,

故选D

由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求

解.

本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：画树状图得：

开始

红绿

Z\/\

红绿灯绿

•••共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的只有1种情况，

•••两次都摸到红球的概率是1

4

故选：D.

画出树状图，共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的只有1种情况，利用概率公式求解即可.

此题考查的是用树状图法求概率的知识.树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两

步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数

与总情况数之比.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了垂径定理和圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦

所对的两条弧是解此题的关键.

求出N4BC的度数，求出求的度数，根据垂径定理求出泥=筋，再求出答案即可.

【分析】

解:OF1BC,

.­.乙BFO=90°.

•••4BOF=65°,

•••乙B=90°-65°=25°,

部的度数是2x25°=50°,

,弦CD148,AB为。。的直径，

AC=AD>

筋的度数是50。,

.­./.AOD=50°.

故选C.

6.【答案】A

【解析】解：由数轴得m>0,n<0,m+n<0,

■■■mn<0,

(mn)2-4(m+n)>0,

••.方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

先由数轴得出rn,n与0的关系，再计算判别式的值即可判断.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0(a40)的根与△=匕2一4ac有如下关系：当△>0

时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当△<()时，方程无实数根.

7.【答案】C

【解析】解：如图，连接。B,

•••4B是。。的切线，B为切点，X"'X

...…，/

・•.AB2=OA2-OB2,\/j

•・・。8和OD是半径，!/y

・•・乙D=Z-OBD,AB

•・•乙4=，

Z-A—Z-D=Z-OBD,

:△OBD~4BAD,AB=BD,

•••OD：BD=BD：AD,

BD2=OD-AD,

即。屋—082=。。•AD,

设。。=x,

•・•AC=3,

AD=2%+3,OB=x,OA=x+3,

・•.(%+3)2-%2=x(2x+3),解得％=3(负值舍去),

OA=6,OB=3,

222

・•.AB=OA-OB=27f

AB=3AA3>

故选：C.

连接。B,贝1」。81AB,由勾股定理可知，AB2=OA2-OB2@,由。B和。。是半径，所以乙4=ZD=

乙OBD,所以AOBDsABAD,AB=BD,nJMBD2=0D-AD,所以。4?—。^2=。。♦4。，设。。=%,

则4D=2x+3,OB=x,OA^x+3,所以(久+3尸一/=久©%+3),求出久的值，即可求出。力和0B的

长，进而求得力B的长.

本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质

与判定，得出△OBDsABAD是解题关键.

8.【答案】C

【解析】【分析】

①根据抛物线的开口方向与位置分别判断出a,b,c的正负，即可得结论；

②根据抛物线的对称轴判断即可；

③设抛物线的解析式为丫=a(x+1)Q-3),可知当x=l时，y的值最大，最大值为一4a；

④根据③中的最大值以及二次函数与方程的关系即可得出答案.

本题考查二次函数的性质，二次函数与方程的关系，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

【解答】

解：•••抛物线开口向下，

a<0,

抛物线交y轴于正半轴，

c>0,

|1

•/——>1b

2M

Z)>0,

•••abc<0,故①错误；

•・・抛物线的对称轴是直线％=1,

b

-1,

2n

2a+b=0,故②正确；

••・抛物线交工轴于点(-1,0),由对称性可知抛物线与％轴的另一交点为(3,0),

・•・可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(%-3),

.,.当x=l时，y的值最大，最大值为ax(1+1)x(1-3)=—4a,故③正确；

・关于x的方程ax?+bx+©=a+1无实数根，

.•・由③可知，函数最大值为-4a,

a+1>-4a,解得a>一丁

又ra<0,

—<a<0,故®)正确.

综上，正确的结论有②③④共3个.

故选：C.

9.【答案】-5

【解析】解：3/—2=5久，

化为一般式为：3——5x—2=0,

方程3/-2=5久的一次项系数是-5,

故答案为：-5.

根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即

可.一元二次方程的一般形式是：。/+族+。=。(£1,64是常数且。70)特别要注意。40的条件.这是

在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中a/叫二次项，版叫一次项，。是常数项.其中a,6,c分

别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.

10.【答案】-9

【解析】解：,:点P(K,4)与点Q(-5,y)关于原点对称，

x—y=—4,

y—x=—4—5=—9,

故答案为：-9.

根据题意得x=5,y=-4,将其代入y-x中进行计算即可得.

本题考查了原点对称，代数式求值，解题的关键是掌握原点对称，正确计算.

11.【答案】120°

【解析】解:设圆心角为n,底面半径是1,

则底面周长=2兀=喧，

・•・n=120°.

故答案为：120。.

利用圆周长公式和弧长公式求解.

考查圆锥的计算，掌握圆锥的底面周长等于它的侧面展开扇形的弧长是解题的关键.

12.【答案】4一兀

【解析】【分析】

本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及扇形面积的计算是解题的关键.

连接。B,根据切线的性质可得N0B4=90。，从而可得NB04+N4=90。，根据题意可得0B=0C=4E=

AF=2,然后利用阴影部分的面积=A40B的面积-（扇形BOC的面积+扇形E4F的面积），进行计算即可解

答.

【解答】

解:连接0B,

•••AB是O。的切线，B为切点,

,­.4OBA=90°,

.­./.BOA+/.A-90°,

由题意得:

OB=0C=AE=AF2,

・•・阴影部分的面积=44。3的面积扇形BOC的面积+扇形EAF的面积）

1907rx2?

=2AB-0B--360

1

=—X4x2—7T

=4—兀.

”•【答案】1或3

【解析】解：,函数y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点,

①过坐标原点，m-1=0,血=1,

②与％、y轴各一个交点,

，4=0,TnW0,

(3m)2—4m(m-1)=0,

解得TH=0或TH=-7,

综上所述：m的值为1或一.

函数y=771/+3?71%+TH-1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m-1=0,

m=1,②与％、y轴各一个交点，得出4=0,znWO.

本题考查抛物线与％轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清

题意，分情况讨论是解题关键.

14.【答案】解：(1)/+4%-5=0,

即久2+4%=5,

・,•/+4%+4=9,

即(％+2)2=3,

•,•%+2=±3,

解得：%1=1,外=-5;

(2)2/+8%-1=0,

a=2,Z)=8,c=—1,A=b2-4ac=64+8=72,

_-b±Jb2-4ac_-8±6<2,

,•*=五=-4-

解得：%]=-2+次=-2-

【解析】(1)根据题意，用配方解一元二次方程即可求解.

(2)根据题意用公式法解一元二次方程即可求解.

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

15.【答案】解：(1)把点做1,0)和3(2,-1)代入y=a/+入+3中,

彳曰(0=a+b+3

向：l-l=4a+2b+3，

解得：仁=1屋

3=-4

••・抛物线的解析式为y=产一4x+3；

(2)1,,y=%2—4%+3=(%—2)2-1,

•••该抛物线的顶点为(2,-1),

对称轴为直线x=2.

【解析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2)利用配方将抛物线的一般式化成顶点式即可确定顶点和对称轴.

本题主要二次函数的图象与性质，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，能把抛物线的一般式转化

成顶点式.

16.【答案】解：：。。是AABC的外接圆，NB=60。，

AN40C=120°,

•••OPLAC,

AP=PC,AAOP=jzXOC=60°,

在RtAAOP中，4。4P=30。，OP=2,

•••OA=20P=4,AP=VOA2-OP2=V42-22=20,

：.AC=4<3.

【解析】根据圆周角定理得出乙4。。=120。，根据垂径定理以及勾股定理即可求解.

本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握性质定理是解题的关

键.

17.【答案】解：如图1所示，作力B,BC的垂直平分线，交于点。，以。为圆心，。4为半径作。。，。。即

为所求，

图I

如图所示，分别作乙4。8,N4BC的角平分线交于点P,过点P作PM1BC,以PM为半径P为圆心，作。

p,则OP即为所求.

【解析】分别作△ABC的角平分线交点P,以及两边的垂直平分线的交点0,再作出AABC的外接圆。和内

切圆P,即可求解.

本题考查了作三角形的外接圆和内切圆，掌握基本作图是解题的关键.

18.【答案】解：(1)设剪成的较短的这段为疣小，较长的这段就为(40-x)cm,由题意，得

弓产+(*2=58,

解得：%!=12,x2=28,

当x=12时，较长的为40-12=28cm,

当x=28时，较长的为40-28=12<28(舍去).

答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cM的两段；

(2)李明的说法正确.理由如下：

设剪成的较短的这段为mem,较长的这段就为(40-7n)czn,由题意，得

(»+(竽)2=48，

变形为：m2—40m+416—0,

4=(-40)2-4X416=-64<0,

•••原方程无实数根，

・•・李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.

【解析】(1)设剪成的较短的这段为xcm,较长的这段就为(40-乃°皿就可以表示出这两个正方形的面

积，根据两个正方形的面积之和等于58062建立方程求出其解即可；

(2)设剪成的较短的这段为mem,较长的这段就为(40-ni)cni.就可以表示出这两个正方形的面积，根据两

个正方形的面积之和等于48°血2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确.

本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本

题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键.

19.【答案】（1）证明：连接0C,

••・CD与。。相切于点C,

・・・Z.OCD=90°,

•・•乙D=30°,

・•・乙COD=90°-ZD=60°,

1

乙4="COD=30°,

•••Z.A=Z.D=30°,

・•.CA=CD；

(2)解：•.TB为O。的直径，

•­,乙ACB=90°,

•••乙4=30°,AB=12,

BC=^AB=6,

■：CE平分

1

・•・乙BCE=^ACB=45°,

•・•BF1CE,

•••Z-BFC=90°,

BF=CF,

•••由勾股定理得，BF=号BC=6X苧=3/2>

二线段BF的长为371.

【解析】(1)连接0C,利用切线的性质可得NOCD=90%然后利用直角三角形的两个锐角互余可得

ACOD=60%从而利用圆周角定理可得44=30。，最后根据等角对等边，即可解答；

(2)根据直径所对的圆周角是直角可得乙4cB=90。，从而利用(1)的结论可得BC==6,再利用角平

分线的定义可得NBCE=45。，然后在RtABCF中，利用勾股定理进行计算即可解答.

本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适

当的辅助线是解题的关键.

20.【答案】|

【解析】解：(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6即的概率是常

故答案为：|；

(2)画树状图如下：

开始

66778

和1213131412131314131314151313141514141515

共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15即的结果有4种，

・••所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率为4=

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，再由概

率公式求解即可.

此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以

上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

21.【答案】(1)证明：在AZ。尸和AE。尸中，

0A=0E

乙AOD=乙EOD,

OF=OF

.^AOF^^EOF(SAS),

•••Z.OAF=Z-OEF,

•••BC与。。相切，

•••OE1FC,

・•・^OAF=(OEF=90°,

即。414F,

•・•。4是。。的半径，

・•.AF是。。的切线；

(2)解：在RtZkCZF中，Z.CAF=90°,FC=10,AC=6,

・•.AF=ylFC2-AC2=8，

・・・BC与。。相切，AF是。。的切线，

Z.0EC=^FAC=乙90。，

•・•Z.0CE=/-FCA