（江西版）高考数学总复习 第七章7.3 空间图形的基本关系与公理 理 北师大版（含详解）

一、选择题1．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()．A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M2．如下图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()．A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)3．平面α∥平面β，直线a⊂α，给出下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a只与β内的一条直线平行；④a与β无公共点．其中正确的命题有()．A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()．A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥βB．若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线C．若α∩β＝m，n∥m，且nα，nβ，则n∥α且n∥βD．若α⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥α5．已知直线l，m，平面α，β，则下列命题中假命题是()．A．若α∥β，l⊂α，则l∥βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(1,2)，则下列结论中错误的是()．A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A－BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题7．如图，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有__________．8．关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；③若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β；④若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β.其中假命题的序号是__________．9．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．11．如图，在几何体P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2.(1)当AD＝2时，求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)若PC与AD所成的角为45°，求几何体P－ABCD的体积．12．如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．

参考答案一、选择题1．D解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．2．D解析：连接D1C，AC，易证A1B∥D1C，∴∠AD1C即为异面直线A1B与AD1所成的角．设AB＝1，则AA1＝2，AD1＝D1C＝eq\r(5)，AC＝eq\r(2)，∴cos∠AD1C＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).3．B解析：①③错误，②④正确．4．C解析：∵n∥m，m⊂α，n⊄α，∴n∥α；同理可知n∥β.故C正确．5．C解析：若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m异面，故C是假命题．6．D解析：由AC⊥平面DBB1D1，可知AC⊥BE，故A正确．由EF∥BD，EF⊄平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正确．A到平面BEF的距离即A到平面DBB1D1的距离为eq\f(\r(2),2)，且S△BEF＝eq\f(1,2)BB1×EF＝定值，故VA－BEF为定值，即C正确．二、填空题7．②④解析：①③中，GM∥HN，所以G，M，N，H四点共面，从而GH与MN共面；②④中，根据异面直线的判定定理，易知GH与MN异面．8．①③④解析：①中的m，n可以平行、相交或异面，是假命题；②是真命题；③中n可以在α或β内，假命题；④中n可以不与α，β垂直，假命题．9．60°解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝eq\r(2)a，DE＝eq\r(2)a，FE＝eq\r(6)a，根据余弦定理，得cos∠FDE＝eq\f(2a2＋2a2－6a2,2×\r(2)a×\r(2)a)＝－eq\f(1,2)，所以∠FDE＝120°.所以PC与AB所成角的大小是60°.三、解答题10．解：在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA.又∵FD1⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．如图所示．11．(1)证明：当AD＝2时，四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.(2)解：PC与AD成45°角，AD∥BC，则∠PCB＝45°.∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB.∴BC⊥PB.∴∠CPB＝90°－45°＝45°.∴BC＝PB＝2eq\r(2).∴几何体P－ABCD的体积为eq\f(1,3)×(2×2eq\r(2))×2＝eq\f(8\r(2),3).12．(1)解：取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq\r(2).因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.所以MN＝eq\r(MG2＋NG2)＝eq\r(6).(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面M