2023-2024学年北京初三年级上册学期数学期末试卷有答案

2023-2024学年北京初三上学期数学期末试卷有答案

学校:班级：姓名：考号：

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有：个是符合题意的.

1.已知”=4。（而≠0）,则下列各式正确的是（）

a4a3aba4

ʌ.—=—B.—=—C.—=—D.—=—

b3h4343b

【答案】A

【解析】直接利用分式的基本性质即可得到3的值，再进行选择即可.

b

【详解】34=4b,等式两边同时除以3b.

,日。3

得：T=T,

b4

故选：A.

【点睛】本题考查分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行变形是解答本题关键.

2.抛物线y=（x-3p+l的顶点坐标是（）

ʌ.（3,1）B,（3,-1）C.（-3,1）D.（-3,-1）

【答案】A

【解析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标.

【详解】解：∙.∙y=（x-3y+l

此函数的顶点坐标为（3,1）

故选：A.

【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（χ-h）'+I；,顶点坐标是（h,k）,

对称轴是直线x=h.

3.如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数避二ɪ（约为0.618）,就称这个矩形为黄金矩形.若矩形ABCD

2

为黄金矩形，宽AD=逐-1,则长AB为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【解析】根据黄金矩形的定义，得出宽与长的比例即可得出答案.

【详解】解：黄金矩形的宽与长的比等于黄金数避二ɪ

2

.AD√5-l

''~∖B~2

.∙.AB=(小一1”先F=2∙

故选：C.

【点睛】本题考查新定义题型，给一个新的定义，根据定义来解题，对于这道题是基础题型.

4.将抛物线y=f先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为()

A.y-(x+3)^+5B.y=(x—3)一+5

C.y-(x+5)^+3D.y=(x—5)一+3

【答案】B

【解析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解.

【详解】解：将抛物线y=χ2先向右平移3个单位长度，得：y=(x—3)2,

再向上平移5个单位长度，得：J=(X-3)2+5.

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求

得平移后的函数解析式.

5.如图，ZDAB^ZCAE,请你再添加一个条件，使得ΔADESΔA5C.则下列选项不成立的是()

ADAEADDE

A.ZD=ABB.ZE=ZC

AB—AC^AB~~BC

【答案】D

【解析】先根据NΠ45=NC4E,可得NZME=NB4C，然后根据相似三角形的判定定理逐一解答即可.

【详解】./DAB=/CAE

.∙.ZDAB+ABAE=ΛCAE+ZBAE

，乙DAE=乙BAC

A、当添加条件ND=NB时则ΔADESΔABC,故选项A不符合题意;

B、当添加条件NE=NC时则A4DES∆ABC,故选项8不符合题意;

ΛΓ）Ap

C、当添加条件一=——时则ΔADESΛ8C,故选项C不符合题意；

ABACΔ

D、当添加条件∆笺Γ）=当DF时则AM）石和ΔA5C不一定相似，故选项。符合题意；

AEBC

故选：D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理.

6.如图，在AABC中D、E分别是边AB、AC上的点，且DE〃BC,若AD：DB=2：3,则AADE与aABC的面

积比等于（）

A.2：3B.4：5C.4：9D.4：25

【答案】D

【解析】先由平行线判定ADEABC,再根据相似三角形对应边成比例性质及已知条件AD：DB=2：3,

2

解得相似比为《，最后根据相似三角形面积比等于相似比平方解题即可.

【详解】DE//BC

.∖^ADE..ABC

ADDEAE

又AD：DB=2：3

.ADDEAE2

'AB-SC-AC-5

q

UADE

SABC

故选:D.

【点睛】本题考查相似三角形判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

7.已知二次函数y=α√+云+。的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量X的取值可以是

()

A.-4B.-2C.OD.2

【答案】B

【解析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0,2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2

上方所对应的自变量的范围即可.

【详解】解：；由图象可得抛物线的对称轴为x=T∙5

.•・点（0,2）关于直线X=T.5的对称点为（-3,2）

当-3Vχ<0时y>2

即当函数值y>2时自变量X的取值范围是-3<x<0.

故选:B.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键.

8.如图，二次函数、=0?+笈+或。#（））的图象经过4（0,1）,8（2,-1）和C（4,5）三点，下面四个结论中

正确的是（）

A.抛物线开口向下

B.当x=2时y取最小值一1

C.当，〃>-1时一元二次方程办2+次+C=机必有两个不相等实根

D.直线y=日+C（左片0）经过点A,C当AX+c<α√+6χ+c时X的取值范围是0<x<4

【答案】C

【解析】把A、B、C三点代入二次函数即可求出函数解析式，根据函数解析式依次判断即可.

【详解】把A、B、C三点代入二次函数得：

1-c

<-1-4a+2b+c

5=16α+40+c

a=1

解得：<b=-3

c=1

故函数解析式为：y=x2-3x+∖

•••开口朝上

故A不正确；

b3

函数对称轴为：X=——=—

2a2

35

，χ=一时函数值最小，y=-一

24

故B不正确；

由题意得：y=—时一元二次方程ax*+法+c=y有一个实根，y>一°时Or2+⅛r+c=y有两个不等

44

实根

∙.∙m>-∖

一元二次方程ɑr?+Zzx+c=∕7z必有两个不相等实根

故C正确；

∙.∙直线y=履+，（左HO）经过点A,c

，依据题意可知：履+c<αχ2+bχ+c时_x<0或χ>4；

故D错误；

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像及性质，以及一次函数，熟练掌握二次函数图像与性质以及一

次函数图像是解答本题的关键.

二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9.请写出一个开口向上且过点（0,-2）的抛物线表达式为—.

【答案】y=x2-2

【解析】令抛物线的对称轴为y轴，二次项系数为1,则抛物线的解析式可设为y=f+加，然后把已知点

的坐标代入求出加即可.

【详解】解：设抛物线的解析式为y=Y+加

把(0,—2)代入得加=一2

所以满足条件的抛物线解析式为γ=x2-2.

故答案为：y=f-2(答案不唯一)

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式

时要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.

Ao2

10.如图，在aABC中D为AB边上一点，DE〃BC交AC于点E,若而=］，AE=6,则EC=__.

【答案】9

ΛΓΛΓ)O

【解析】由平行线分线段成比例定理得出。；===彳，然后将EC代入计算即可.

ECDB3

An2

【详解】解：：DE〃BC——=-

...——AE=——AD=-2

ECDB3

AE262

---=一,即aπ----一解得EC=9.

EC3EC3

故答案为9.

ApΛ/)

【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理等知识点，根据DE〃BC得到不K==是解答本题的关键.

ECDB

11.将二次函数丁=/+4彳-1化为^=(%-力)2+上的形式，结果为y=.

【答案】(X+2)2-5

【解析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化

为顶点式.

【详解】解:y=x2+4χ-l=x2+4x+4-4-l=(x+2)2-5.

故答案为：(x+2)2-5.

【点睛】本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式:y=ax>bx+c

2

(a≠0,a、b、C为常数)；(2)顶点式：y=a(χ-h)+k;(3)交点式(与X轴)：y=a(X-XD(χ-χ2).

12.如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿

着树根和镜子所在的直线后退，当她后退Im时正好在镜中看见树的顶端.小英估计自己的眼睛到地面的距

离为L6m,则大树的高度是ɪn.

【答案】8

【解析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高.

【详解】如图:

VZABC=ZDBE,ZACB=ZDEB=90O

.,.ΔΛBC^ΔDBE

ΛBC：BE=AC:DE

即1：5=1.6：DE

DE=8m

故答案为：8.

【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列

出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

13.已知二次函数y=(x—2『+1,若点A(0,弘)和B(3,%)在此函数图像上，则外与丫2的大小关

系是弘_/.(填“>”，或“=”)

【答案】>

【解析［分别把点A、B的坐标代入抛物线解析式进行求解，然后问题可得解.

【详解】解：由题意得：

当x=0时则有ʃ,=(0-2)2+l=5;当X=3时则有必=(3—21+1=2；

%>内；

故答案为>.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

ARΛΓ)O

14.如图，在.AfiC中点7)、E分别在边AC、Afi上,且---=----——,若Z)E=4cm,则BC=cm.

ACAB3

AFΛΓ)O

【解析】由——=——=一再结合公共角/A=NA,可证得。ADESaABC,再根据相似三角形的性质即可求

ACAB3

得结果.

C、,AEAD2

【详解】解rl：：NA=NA—=—=-

ACAB3

/.aADEs▲ABC

.AEDE2

"ΛC^BC-3

•；DE=4cm

BC=6cm.

故答案为：6.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，数量掌握并灵活应用相似三角形的判定和性质是解题的关键.

15.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与X轴的两个交点的坐标分别是(-3,0),(2,0),则方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的解是...

【答案】.Xi=-3,×2~2

【解析】解：；抛物线y=a(+bx+c(arθ)与X轴的两个交点的坐标分别是(T,0),(2,0)

.∙.当X=T或x=2时y=0

即方程OX2+∕zx+c=O的解为Xl=-3,X2—2.

故答案为：x∣=—3,X2=2.

16.如图，将等边4ABC折叠，使得点C落在AB边上的点I)处，折痕为EF,点E,F分别在AC和BC边上.若

CE

ΛC=8,ΛD=2,则aAED周长为,方的值为.

【解析】根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：，DF+CF+CD=10,DF+BF+BD=BC+BD=14,再证明

ΔAED-ΔBDF,由相似三角形周长的比等于相似比，即可得出结果.

【详解】解：∙.∙AABC是等边三角形

.∙.BC=AB=AC=8,ZABC=NACB=NBAC=60°

=AD=2

.∙.BD=6

由折叠的性质可知：CE=DE,CF=DF,ZEDF=ZC=60o

.∙.AE+DE+AD=AC+AD=10,即AAED周长为10

故答案为：10;

.∙.DF+BF+BD=BC+BI)=14

,.∙ZEDF=ZBAC=ZABC=60°

ΛZFDB+ZEDΛ=ZAED+ZEDΛ=120o

ZFDB=ZAED

∙.∙∕B=∕A=60°

ΛΔΛED^ΔBDF

.AEADED

"~BD~~BF~~DF

.AE+AD+EDEDCE

"BD+BF+DF^DF^CF

*CE105

••—

CF147

故答案为：一.

7

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性

强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键.

三、解答题(共6道小题，每小题5分，共30分)

17.如图，AC,BD相交于的点0,且/ABO=/C.求证：^AOBsaDOC.

【答案】见解析

【解析】利用对顶角相等得到NAOB=/COD,再结合已知条件及相似三角形的判定定理即可求解.

【详解】证明：VAC,BD相交于的点O

二ZAOB=ZDOC

又,：ZABO=ZC

ΛΔAOB<^ΔDOC.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：若一对三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似，由

此即可求解.

18.己知：二次函数y=χJl.

(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

(2)画出它的图象.

【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,-1).

(2)图像见解析.

【解析】(1)根据二次函数y=a(χ-h)2+k,当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h,k)及对

称轴x=hi

(2)可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与X轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象.

【小问1详解】

解：(1)Y二次函数y=χ2-1

抛物线的开口方向向上，顶点坐标为(0,-1),对称轴为y轴；

【小问2详解】

解：在y=χ2-1中令y=0可得X?-1=0.

解得X=-I或1,所以抛物线与X轴的交点坐标为(T,0)和(1,0)；

令X=O可得y=-l,所以抛物线与y轴的交点坐标为(0,-1)；

又顶点坐标为(0,-1),对称轴为y轴

再求出关于对称轴对称的两个点

将上述点列表如下：

X-2-1012

V=X2-130-103

描点可画出其图象如图所示：

【点睛】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标.以及二次函数抛物线的画法.解题的关

键是把二次函数的一般式化为顶点式.描点画图的时候找到关键的几个点，如：与X轴的交点与y轴的交

点以及顶点的坐标.

19.二次函数的部分图像如图所示，求这个二次函数的表达式.

【答案】y=~X2~2X+3

【解析】根据函数图象知，该函数经过点(-3,0),(0,3)且对称轴为X=T,所以利用待定系数法可求得

该二次函数的解析式.

【详解】解抛物线的对称轴为直线x=T,过点(-3,0),(0,3)

设抛物线表达式为：y=α(x+iy+k(α≠0),将(-3,0),(0,3)代入

4。+Z=O

得〈

。+女=3

ci=-1

解得:

k=4

，抛物线表达式为y=—(x+lf+4=-X2-2X+3.

【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，熟练掌握二次函数顶点式，是解题的关键.

20.如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有aABC和ADEF.求证：AABCsaDEF.

【答案】见解析

【解析】分别求出两个三角形的三边，根据三边分别成比例的三角形相似即可判定.

【详解】解：∙∕⅛ΔABCΦAB=3,BC=√2-AC=亚

在aDEF中DE=3亚，IiF=2,DF=W

3血和A。=正.也

√2jAB

.BC===不11-

"~EF~2，~DE3√22DF^√10一2

.BCABAC

-----=ΛΔABC^ΔDEF.

EF~DE~~DF

【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.

21.已知抛物线>=占+bx+c("O)图像上部分点的横坐标X与纵坐标y的对应值如下表:

X...-2-10123・・・

y•••50-3一4-30・・・

(1)求此抛物线的解析式，并画出图像;

(2)结合图像直接写出当0WxW4时y的范围.

【答案】(1)y=x2-2x-3,图见解析

(2)-4≤y≤5

【解析】(1)根据表格得出抛物线过点(1，-4)、(—1,0)和(3,0),将点坐标代入抛物线解析式求出a、b、

c即可，再利用描点法画函数图像；

(2)利用图像可直接得到答案.

【小问1详解】

解：∙.∙设二次函数的解析式为y=0χ2+H+c(a≠o)

由题意得：当X=O时丁=一3

∙'∙C=—3

・；x=l时y=-4,当X=-1时y=0

[α-⅛-3=0

.∙.〈

Q+力一3二—4

∙*∙y=犷—2x—3；

・・,当％=4时y=5

根据表格描点(一2,5),(-1,0),(0,-3),(l,-4),(2,-3),(3,0),(4,5),用平滑曲线连结，抛物线图像如图:

【小问2详解】

解：由图可得，抛物线的顶点为（1,T）

当0WxW4时T≤y≤5.

【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图像，根据图像求函数值范围，熟练掌握

待定系数法和描点法画函数图像是解题关键.

22.如图，在aABC中NACB=90°，CD是斜边AB上的高.

（1）求证：ΔACDc×>ΔCBD;

（2）若AD=3,BD=2,求CD的长.

【答案】（1）见解析（2）√6

【解析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.

（2）利用相似三角形的性质证明CD⅛∖D∙DB,可得结论.

【小问1详解】

证明：YCDLAB

JZCDA=ZCDB=90o

・・・ZΛCB=90o

ΛZACD+ZBCD=90o,NBCD+NB=90°

ZACD=ZB

ΛΔACD^ΔCBD.

【小问2详解】

解：VΔACD<^ΔCBD

•_AD____CD

"CD~~BD

.∙.CD2=ΛD∙DB

∙.*AD=3,BD=2

.,.CD2=6

VCD>O

∙*∙CD=ʌ/ð.

【点睛】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，

属于中考常考题型.

四、解答题（共3道小题，每小题6分，共18分）

23.图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时水面宽度为多少

【答案】2√6

【解析】根据己知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=T代入抛物线解析式得出

水面宽度，即可得出答案.

【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为y=Ο√（a≠o）.

：图象经过点（2,-2）

/.-2=4a

解得：CI=---.

2

・ɪ9

・・y=一—厂.

2

当y=-3时X-±√6.

答：当水面高度下降1米时水面宽度为2的米.

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关

键，难度一般.

24.如图，在口ABCD中连接DB,F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E,且/EDB=NA.

D

（1）求证：ΔBDF<^ΔBCD;

Λβ

（2）如果5O=3√L8C=9求一的值.

BE

4

【答案】（1）见解析（2）y

【解析】（1）根据平行四边形对角相等可得NA=NC，又∕EDB=∕A,等量代换可得NC=NEoβ,再结

合公共角ZDBC=NFBD,即可证明ABDFs^BCD;

（2）根据（1）的结论，列比例式代入数值计算可得BF=5,进而求得尸C,根据平行四边形的性质可得

Λβ

CD//AE,进而证明，进而即可求解一的值.

BE

【小问1详解】

证明：四边形ABCZ）是平行四边

ZA=ZC

ZEDB=ZA

ZC=ZEDB

又NDBC=NFBD

.∙∙ΔBDF^ΔBCD;

【小问2详解】

解：ZXBDFS^BCD；

BDBF

'~BC~~BD

BD=3√5BC=9

.∙.M=幽=㈣=5

BC9

：.FC=BC—BF=9—5=4

四边形ABC。是平行四边

AB=CDDC//AB

：.DC//AE

FDCS_FEB

.ABDCFCA

~BE~~BE~~BF^1>

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题

的关键.

25.下面给出六个函数解析式：y=gfy=Gχ2+l和y=-χ2-1∣χ∣y=2/—3∣χ∣T

y——x2+2I%I+1y——3x~一∣x∣-4.

小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质。下面是小

明的分析和研究过程，请补充完整：

（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如y=_______，其中X为自变量；

（2）如图，在平面直角坐标系Xay中画出了函数y=-∕+2∣χ∣+l的部分图象，用描点法将这个函数的

图象补充完整；

（3）对于上面这些函数，下列四个结论：

①函数图象关于y轴对称

②有些函数既有最大值，同时也有最小值

③存在某个函数，当x>〃？（m为正数）时y随X的增大而增大，当x<一加时y随X的增大而减小

④函数图象与X轴公共点的个数只可能是O个或2个或4个

所有正确结论的序号是;

（4）结合函数图象，解决问题：若关于X的方程―/+2∣χ∣+l=-χ+上有一个实数根为3,则该方程其

它的实数根为.

【答案】（1）ax1+b∖x∖+c（a≠0）;（2）图象见详解；（3）①③；（4）%=0,々=-1

【解析】（1）观察六个二次函数解析式的特点，可知：它们都具有共同的特点：一次项的X含有绝对值，

即可；

(2)根据求绝对值法则，当x<0时y=-∕+2∣χ∣+l=-χ2-2χ+ι,再用描点法，画出图象，即可.

(3)结合六个二次函数的额图形和性质，逐一判断，即可；

(4)先求出k的值，再令X=-Y+2∣χ∣+l,%=-％+1在同一坐标系中画出图象，根据两个函数图

象的交点坐标，即可得到答案.

【详解】(1)观察六个二次函数解析式的特点，可知：它们都具有共同的特点：一次项的X含有绝对值，

即：y=ax2jt-b∖x∖+c(a≠0)

故答案是：ax2+b∖x∖+c(a≠0);

(2)当x<0时y=—无~+21XI+1=—广—2x+1,根据描点法，如图所不：

(3)Vy=^x2,y=JI√+ι关于y轴对称

,1

-√——x(x≥0)

N=<；图象关于y轴对称

-X2-F-χ(x<O)

心2一31吐黑图象关于y轴对称

I+2小1=［之晨；图象关于y轴对称

y=-3χ2—4=12'一图象关于y轴对称.

-3√+%-4(x<0)

•••①正确;

1,

：y=有最小值，没有最大值

y=百/+1有最小值，没有最大值

y=-χ2-g∣χ∣有最大值，没有最小值

y=2/—3|x|-l有最小值，没有最大值

y=-尤2+2∣x∣+l有最大值，没有最小值

y=-3/—∣χ∣-4有最大值，没有最小值

，②错误;

2

2(2Y—3x—l(x≥0)

-：y=2x-3∖x∖-l=∖ɔ图象关于y轴对称

^11[2X2÷3x-l(x<0)

33

当工＞一时y随X增大而增大，当天＜-9时y随X的增大而减小

22

・・・③正确；

1

vy=-χ92图象与X轴有1个公共点

y=√3X2+1的图象与X轴没有公共点

y=-f—；次|的图象与X轴有1个公共点

^=2/一3|刈-1的图象与乂轴有2个公共点

y=-f+2IXI+1的图象与X轴有2个公共点

y=-3x2-∣XI-4的图象与X轴没有公共点

，④错误

故答案是：①③；

(4)∙.∙关于X的方程一/+21XI+1=-无+氏有一个实数根为3

Λ-32+2×∣3∣+1=-3+⅛,解得：k=l

令M=-X2+21x∣+1y2=-x+1

函数图象如图所示：

.∙.关于X的方程—Y+2Ix∣+1=-x+左的其他两个实数根为：X1=O,X2=-I

故答案是：玉=O,工2=—1

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据题意，画出二次函数图象，是解题的关键.

五、解答题(共3道小题，第26题6分，第27、28题，每小题7分，共20分)

26.已知关于X的二次函数y=Y-2a+2.

(1)求该抛物线的对称轴(用含t的式子表示)；

⑵若点—3,m),N“+5,〃)在抛物线上，则mn；(填“>”，或“=”)

(3)P(Xl,χ),Q(%,%)是抛物线上的任意两个点，若对于T≤X<3且X2=3,都有y≤%,求t

的取值范围.

【答案】(l)x=t(2)<

(3)t≤l

【解析】(1)根据对称轴的表达式直接求解即可；

(2)利用抛物线的对称性和增减性进行判断即可；

(3)根据二次函数的增减性进行判断解答即可.

【小问1详解】

b—21

解：二次函数的对称轴为：X=-一=——=t

2a2

小问2详解】

解：*.*a=1>0

.∙.χ<r时y随X的增大而减小，x>t,y随X的增大而增大

根据抛物线的对称性可知：M点关于对称轴对称的点为：(t+3,m)

,.∙t<t+3<t+5

.,.ιn<n

故答案为：＜

【小问3详解】

解：若对于-l≤x∣＜3且々=3,都有

点P在Q点的左侧，且对称轴在P,Q中间

对称轴一定在水平距离上距离/更远或相等

.∙.呼R（距离相等时号=,，刈更远时亨＞t）

3÷3.3-1

—>t且r——2t

22

Λ3>t且INt

Λt≤l.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟记二次函数对称轴的表达式，以及二次函数的增减性是解题

的关键.

27.在等腰直角aABC中∕ACB=90°,P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP,延长BC至点Q,

使得CQ=CP,过点Q作QHJ_AP于点H,交AB于点祝

（1）若NPAC=α,求NAMQ的大小（用含ɑ的式子表示）.

（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）NAMQ=45°+α;（2）线段MB与PQ之间的数量关系：PQ=&MB,理由见解析.

【解析】（1）由直角三角形性质，两锐角互余，可得NAMQ=I80°-ZAHM-ZPAM,解得NAMQ=45°+a；

（2）由题意得AP=AQ=QM,再证RtAAPC丝RtAQME,.全等三角形对应边相等得出PC=ME,得出aMEB为等腰

直角三角形，则PQ=gBM.

【详解】（1）NAMQ=45°+a.理由如下:

,/ZPAC=ɑ，ΔACB是等腰直角三角形

ΛZPΛB=45°-ɑ,ZΛIIM=90o

ΛZAMQ=180o-/AHM-/PAM=45°+ɑ；

(2)线段MB与PQ之间的数量关系：PQ=√2MB.

理由如下：

连接AQ,过点M作MEI.QB

VAC±QP,CQ=CP

NQAC=NPAC=α

ΛZQAM=ɑ+45o=ZAMQ

.,.AP=AQ=QM

在RtΔAPC和RtΔQME中

ZMQE=PAC

<ZACP=NQEM

AP=QM

ΛRtΔAPC^RtΔQME

ΛPC=ME

.∙.